器.514延彩方和原了物军中的多作现象 月是10 量子跃迁和选逸 阅读：s.Coleman,Aspects of Symmetry 1.亚糖老的在戒 考一个量子粒子从重燕密深穿过势条到连法态，wKD方法用韩书势-(x)中的架 其路径来描述势垒下的运动。光进行替换U八x)U(x),编后寻找一个下山的经典路径 (从原来粒子所在的局域层低点开给)，从另一山弹回，然后回到最初的位置。这个弹回路 径的作用量S决定了进途率W。Ae产， )利用路径积分表述来证明这个方法的正确性。证明弹回路径作用量S,等于WKB作 用量Swm-2、2mU(x-E )寻找描述从以下三次势中量子通遗的弹回路径 U(x)=o-hx (1) 其中粒子最初板约束在局域最低点x==√a/3站。 上 Bounce path xft) Ui) 图1：从亚2奢逐晖的学奥弹国路径 2.有限温度的选边。周期弹包轨道。 儿阳题日【的设定（图1）。在付限出度时，发生选边的可能 ()直接从基态量子遂穿. (i间进过Arrhenius热激发桂过势生。 (回)两者都有，通过量子邃穿和热激发的新合。 在是后一种情况中，粒子热敌发到亚稳势井的高隆级E。,然后在此能级遂穿势孕。在高能 领拾穿面对势孕较纸较竿，是热滋发到此雀然的概本出不共，再者相早衡
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#10 量子跃迁和逃逸 阅读：S. Coleman, Aspects of Symmetry 1. 亚稳态的衰减 考虑一个量子粒子从亚稳态遂穿过势垒到连续态。WKB 方法用翻转势 −U(x) 中的经 典路径来描述势垒下的运动。先进行替换U(x) → −U(x) ，然后寻找一个下山的经典路径 （从原来粒子所在的局域最低点开始），从另一边弹回，然后回到最初的位置。这个弹回路 径的作用量 * S 决定了逃逸率 * 1 S W Ae h − = 。 a) 利用路径积分表述来证明这个方法的正确性。证明弹回路径作用量 * S 等于 WKB 作 用量 ∫ S = m U x − E dx WKB 2 2 ( ( ) ) 。 a) 寻找描述从以下三次势中量子逃逸的弹回路径 3 U(x) = ax − bx （1） 其中粒子最初被约束在局域最低点 x = − a / 3b 。 图 1：从亚稳态遂穿的经典弹回路径 2. 有限温度的逃逸。周期弹回轨道。 用题目 1 的设定（图. 1），在有限温度时，发生逃逸的可能 （i）直接从基态量子遂穿。 (ii) 通过 Arrhenius 热激发越过势垒。 (iii) 两者都有，通过量子遂穿和热激发的混合。 在最后一种情况中，粒子热激发到亚稳势井的高能级 En ，然后在此能级遂穿势垒。在高能 级遂穿面对势垒较低较窄，但是热激发到此能级的概率也不高，两者互相平衡
墨.5引4根常志和原子物理中的多体现象 月题10 )在有限温度，总遂穿几率可以写为 W=∑e (2) 其中B=1/T,假设能领E,考的根近，这样求和可以用积分代替，忽略前系数A的修量依 赖性，证明求和的极小值对应与能量E使得 ■- 25vsn(E)=B (3) E 注意到量：意义为经典的运动时间.这样在有限温度时，对逃逸率做出主要贡献的弹日路径 是虚时的周期函数，+)=()： b)讨论三次势(1)的逃逸率对时间的依懒。从高温开始（小B),证明在这种情况下 鞍点轨道是一个常数，)=名，其中x是势像最高处的坐标。子找一个临界B,在 此处常数解不再稳定，变为一个震动解。面出lnW对B的示意图，标出Ams区和量子 遂穿区， 3.Jesephso■结中超流的衰减 考地一个由做好电阻分路并外加电流I的osephs@0结。这个问题的虚时作用量是 t- 其中U()=J(0-cos8. )写出截点方程邵/60=0·通过与经具运动方程比较，即 CP+Ry+J.sin0=I,2eV=0,寻找m和n的关系，以及结的电容和电阻。 b)经典的来说，只要有效势U()-I旧具有局域极小，超流就能特线。《对于 Jsn8=I的一个稳定解，因为日=0，就没有电压，也就没有耗敬.)这要求外电流的范 围一J。<」<」。，在这种情况下，超流的赛减由量子和热流落米控制。这个衰减由系统(4) 从U()一1旧的局域极小中遂穿出去来描述。为了得到衰减率，我们需要得到一个时中的 弹回路径，正如没有耗散《刀=0)的题目1一样。对于耗酸系统的遂穿我们要对这些结果 做什么修正？
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#10 a) 在有限温度，总遂穿几率可以写为 ∑ − − = n S E n E WKB n n W e A e ( ) 1 β h （2） 其中 β = 1/T 。假设能级 En 考的很近，这样求和可以用积分代替，忽略前系数 An 的能量依 赖性，证明求和的极小值对应与能量 E 使得 τ = β ∂ ∂ ≡ − E SWKB (E) （3） 注意到量τ 意义为经典的运动时间。这样在有限温度时，对逃逸率做出主要贡献的弹回路径 是虚时的周期函数， x(t + β) = x(t) 。 b) 讨论三次势（1）的逃逸率对时间的依赖。从高温开始（小 β ），证明在这种情况下 鞍点轨道是一个常数， max x(t) = x ，其中 max x 是势垒最高处的坐标。寻找一个临界 β c ，在 此处常数解不再稳定，变为一个震动解。画出lnW 对 β 的示意图，标出 Arrhenius 区和量子 遂穿区。 3. Josephson 结中超流的衰减 考虑一个由欧姆电阻分路并外加电流 I 的 Josephson 结。这个问题的虚时作用量是 ∫ ∫∫ ′ − ′ − ′ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − dtdt t t t t U I dt m S 2 2 2 ( ) ( ( ) ( )) 4 ( ) 2 θ θ π η θ θ θ & 其中 (θ ) = (1− cosθ ) c U J 。 a) 写出鞍点方程 δS /δθ = 0 。通过与经典运动方程比较，即 CV R V J I + + c = − sinθ 1 & ， θ & 2eV = h ，寻找 m 和η 的关系，以及结的电容和电阻。 b) 经典的来说，只要有效势 U(θ ) − Iθ 具有局域极小，超流就能持续。（对于 J I csinθ = 的一个稳定解，因为θ = 0 & ，就没有电压，也就没有耗散。）这要求外电流的范 围 c c − J < J < J 。在这种情况下，超流的衰减由量子和热涨落来控制。这个衰减由系统（4） 从U(θ ) − Iθ 的局域极小中遂穿出去来描述。为了得到衰减率，我们需要得到一个虚时中的 弹回路径，正如没有耗散（η = 0 ）的题目 1 一样。对于耗散系统的遂穿我们要对这些结果 做什么修正？
尊.514覆聚务和原了物用中的多体现象 习题*0 Ckn和Le指出，对于过阻尼区（功>m/r,其中T是遂穿(3）的时间)弹 回路径可以构造为解析形式。在这种情况下，通过量铜估计。我们可以说明动能项刷/2 比起托散项小恩多，所以可以题略。在经典稳定点辐建，我们可以敏进一步的近似，有效势 可以被替换为三次势(1)，其中a=J,-1,6=二J,x=B-8: 6 证明在过阻尼区，酸点方程具有洛伦益函数型的解 )=B+ + 计算A和r并由此计算作用量，将结果与上面对=0的结果比较： e)考虑过阻尼ccon结在有限温度的衰减。估计在b》部分中T-0的解核本质改 变的图度。通过ln用对B的依赖关系来描述从量子莲穿区到Arrhenius区转变
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#10 Caldeira 和 Leggett 指出，对于过阻尼区（η >> m /τ ，其中τ 是遂穿（3）的时间）弹 回路径可以构造为解析形式。在这种情况下，通过量纲估计，我们可以说明动能项 / 2 2 θ m & 比起耗散项小很多，所以可以忽略。在经典稳定点福建，我们可以做进一步的近似，有效势 可以被替换为三次势（1），其中a J I = c − ， c b J 6 1 = , = θ −θ 0 x 。 证明在过阻尼区，鞍点方程具有洛伦兹函数型的解 0 2 2 ( ) τ θ θ + = + t A t 计算 A 和τ 并由此计算作用量，将结果与上面η = 0 的结果比较。 c) 考虑过阻尼 Josephson 结在有限温度的衰减。估计在 b）部分中 T=0 的解被本质改 变的温度。通过lnW 对 β 的依赖关系来描述从量子遂穿区到 Arrhenius 区转变