麻省理工学院 电子工程和计算机科学 6.011:通信，控制和信号处理导论 2004,春 期末考试 星期二，5月18日9：00上午一12：00中午 ·考试为用春考试，可以携带四页8与×1「的笔记，要求尺寸小于等于85×1，单面 双面均可，阻是只允许四项。 笔记必须是手写的（即，材料不能是复印的答案。表格。书等）： 考试时间为3小封。 ·不允许携带计算器。 ·我们不提供变换表。 ·考试有七道恩，每道题和各部分的分数己经给出。注意每道愿占有不同的分数比例。 ●问选不按难度排序，我鉴荐你觉所有的司造。然后按照最适合你的顺序解地， ·请保持试卷整洁一看不清的内容我们将无法评分： ·我们试着提供足够的空白以供答题。然面，提供的空白大小不代表解答月题的长度，简 复中肯的回答比沉长但不得要领的回答更好， 所有的工作和答案必领写在试卷提供的空白处。欢迎使用我门提供的草稿低，但是当提交试 委的时，我们仅接受试委。绝对不会有例外。 期末考试评分 同其他考试一样，在期末考试的平分中我们关生的是对可想相关材的理解程度。当我们对 何题的每个部分进行评分时，将根据你的工作评估你的理解程度并评分。 我们对保的理解程度的评结基于你所提供的答案。如果没有解释，正确的最终结果将不 会得到满分，甚至不得分。最终结果不正确，但是有一个理解透彻的答案和解释银可修料到 满分《或者接近满分)
麻省理工学院 电子工程和计算机科学 6.011：通信，控制和信号处理导论 2004，春 期末考试 星期二，5 月 18 日 9：00 上午－12：00 中午 z 考试为闭卷考试，可以携带四页 '' 1 '' 8 11 2 × 的笔记，要求尺寸小于等于 '' 1 '' 8 11 2 × ，单面 双面均可，但是只允许四页。 z 笔记必须是手写的（即，材料不能是复印的答案，表格，书等）。 z 考试时间为 3 小时。 z 不允许携带计算器。 z 我们不提供变换表。 z 考试有七道题，每道题和各部分的分数已经给出，注意每道题占有不同的分数比例。 z 问题不按难度排序，我们推荐你浏览所有的问题，然后按照最适合你的顺序解题。 z 请保持试卷整洁－看不清的内容我们将无法评分。 z 我们试着提供足够的空白以供答题。然而，提供的空白大小不代表解答问题的长度，简 短中肯的回答比冗长但不得要领的回答更好。 所有的工作和答案必须写在试卷提供的空白处。欢迎使用我们提供的草稿纸，但是当提交试 卷的时，我们仅接受试卷。绝对不会有例外。 期末考试评分 同其他考试一样，在期末考试的评分中我们关注的是对问题相关材料的理解程度。当我们对 问题的每个部分进行评分时，将根据你的工作评估你的理解程度并评分。 我们对你的理解程度的评估基于你所提供的答案。如果没有解释，正确的最终结果将不 会得到满分，甚至不得分。最终结果不正确，但是有一个理解透彻的答案和解释很可能得到 满分（或者接近满分）
麻省理工学院 电子工程和计算机科学系 6.011通信，控制和信号处理导论 2004存 星期二，5月18日 全名： 分数 评分人 1 2(a) 2(b) 3(a) 3(b) 3(e) 4(a) 4(6) 5(a) 5(b) 5(e》 6(a) 6(b) 6(e】 6(d) 7(a) 7(b) 总计
麻省理工学院 电子工程和计算机科学系 6.011 通信，控制和信号处理导论 2004 春 星期二，5 月 18 日 全名： 分数 评分人 1 2（a） 2（b） 3（a） 3（b） 3（c） 4（a） 4（b） 5（a） 5（b） 5（c） 6（a） 6（b） 6（c） 6（d） 7（a） 7（b） 总计
在考试中，你可能发联下面公式可能有用： ·帕塞瓦尔恒等式： a-(d m,方a(。) ·如果两个随机变量X和Y中心化（即：零均值）和归一化（即：单位方差）： P=X-丛 伊=y-丝 它门的联合概率密度是： v2-20w+w2 2x-pexp 20-p) 其中，4，和出分别是X和Y的均值，Gx和a,分别是X和Y的标准差，P是X和了的 相关系数，定义如下 p=g,am=ET]小-44 0x0, 口n是X和Y的特方差。 ·柯西一施瓦盐不等式，对于任意两个平方可积橘数()和b()成这 仁a0)b间src0h()d 当a()=协()时等号成立。其中青是常量。 ·双变量高斯随机变量X和Y的MMSE: 立a()=4+p(-4r) ·三角不等式： cos(x+y)=cos(✉)eos(y）-sin(x)sin(yj
在考试中，你可能发现下面公式可能有用： z 帕塞瓦尔恒等式： [ ] ( ) 2 2 2 1 2 j n x n Xe d π π ∞ Ω =−∞ ∑ = ∫ Ω z 单变量高斯 PDF： ( ) 2 1 1 exp 2 2 X x m f x πσ σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ z 如果两个随机变量 X 和Y 中心化（即：零均值）和归一化（即：单位方差）： X X X V μ σ − = Y Y Y W μ σ − = 它们的联合概率密度是： ( ) ( ) 2 2 , 2 2 1 2 , exp 2 1 2 1 V W v vw w f vw ρ π ρ ρ ⎛ ⎞ − + = −⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 其中，μ X 和 μY 分别是 X 和Y 的均值，σ X 和σ Y 分别是 X 和Y 的标准差， ρ 是 X 和Y 的 相关系数，定义如下： , [ ] XY XY X Y X Y E XY σ ρ σ μμ σ σ = =− σ XY 是 X 和Y 的协方差。 z 柯西－施瓦兹不等式，对于任意两个平方可积函数 a t( ) 和b t( ) 成立 ( () ()) () () 2 2 2 a t b t a t dt b t dt ∞ ∞∞ −∞ −∞ −∞ ≤ ∫ ∫∫ 当 a t kb t () () = 时等号成立，其中 k 是常量。 z 双变量高斯随机变量 X 和Y 的 MMSE： ( ) ( ) ˆ Y MMSE Y X X Yx x σ μ ρ μ σ =+ − z 三角不等式： cos cos cos sin sin ( ) x += − y x y xy ( ) ( ) ( ) ( )
问思1(6%) x()和y)是实值联合广义平稳随机过程。x)的白相关函数是R(:)=©.阐述是否 可能找到一个y)使互功率滞密度S.(@)如图1一I所示（注意在。=1时幅度是 j=) Snlu) 丽1-1 如果你的答案是不，解释为什么不。如果保的答案是是，解释如何构迹y(): 是 否 解释和差理：
问题 1（6％） x ( )t 和 y t( ) 是实值联合广义平稳随机过程。x (t) 的自相关函数是 Rxx ( ) e τ τ − = 。阐述是否 可能找到一个 y t( ) 使互功率谱密度 S j xy ( ω) 如图 1－1 所示（注意在 ω =1 时幅度是 j = −1 ） 图 1－1 如果你的答案是不，解释为什么不。如果你的答案是是，解释如何构造 y t( ) 。 是 否 解释和推理：
问题2(12%) 信号x()是零均值的广义平稳随机过程，自相关函数是R.(:),定义随机过程y(): y()=x(e0s(2xI+) 说明在下列情况下y()是否为广义平稳的。请判断，的答案。你可能发现下面三角恒等式 非常有用： cos(a±=cos(a)eos()干sin(asin() (a)(6%)如果=0 wss 不是W5s 解释并推理： (b)(6%)如果◆在区间[02x]服从均匀分布并独立于x(): wss 不是WSS 解释并推理：
问题 2（12％） 信号 x ( )t 是零均值的广义平稳随机过程，自相关函数是 Rxx (τ )。定义随机过程 y t( ) ： yt xt t ( ) = ( )icos 2( π φ+ ) 说明在下列情况下 y t( ) 是否为广义平稳的。请判断你的答案。你可能发现下面三角恒等式 非常有用： cos cos cos sin sin ( ) α β ± = (α ) (β ) ∓ (α ) (β ) （a）（6％）如果φ = 0 WSS 不是 WSS 解释并推理： （b）（6％）如果φ 在区间[0 2π ]服从均匀分布并独立于 x (t) 。 WSS 不是 WSS 解释并推理：
问题3(15%) 在图3一1中是一个AM系饶，被传输的序列可是一个零均值的广义平稳随机序列，。自 相关雨数为Rm]= Palse odulator C/D p(t).T s(t] r(t] 国5一1：AM系接 信道引入如性婴声)对接收到的信号()进行采样秋取可网小，然后通过一个无记化的 仿射系统F对可进行处理，输出可是对[四的估计， 相关的关系为： ·s0=∑网t-n) ·r0=Σap-m)+n ·b[u=r(nT) ·)是零均值的Wss噪声，自相关函数为R,(:)=e书并与[网独立. ·可可-名+[ (a)(5%)如果P()如图3一2所示，米r()中是香存在符间串扰(1S). P(t) 周3-2 r()中是香存在S1? 否 解释：
问题 3（15％） 在图 3－1 中是一个 PAM 系统，被传输的序列 a n[ ]是一个零均值的广义平稳随机序列，自 相关函数为 [ ] 1 2 m R m aa ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 图 3－1：PAM 系统 信道引入加性噪声η (t) ，对接收到的信号 r t( ) 进行采样获取b n[ ] 。然后通过一个无记忆的 仿射系统 F 对b n[ ] 进行处理，输出 a n ˆ[ ]是对 a n[ ]的估计。 相关的关系为： z ( ) [ ] ( ) n s t a n p t nT ∞ =−∞ = − ∑ z ( ) [ ] ( ) () n r t a n p t nT t η ∞ =−∞ = −+ ∑ z b n r nT [ ] = ( ) z η ( )t 是零均值的 WSS 噪声，自相关函数为 R ( ) Ne τ ηη τ − = 并与 a n[ ]独立。 z a n k kb n ˆ[ ] = +0 1 [ ] （a）（5％）如果 p (t) 如图 3－2 所示，求r t( ) 中是否存在符间串扰（ISI）。 图 3－2： r t( ) 中是否存在 ISI？ 是 否 解释：
(b)(5%)对于这部分段设已经选择p()使r()中不存在玛间串扰，并且P(O)=1.系 统F的输出d可具有如下形式，可=k+点[可，求k和k最小化均方误差8， s-Ea可-a] k= k= 详细岁豫：
（b）（5％）对于这部分假设已经选择 p (t) 使 r t( ) 中不存在码间串扰，并且 p ( ) 0 1 = 。系 统 F 的输出 a n ˆ[ ]具有如下形式， a n k kb n ˆ[ ] = +0 1 [ ] 。求 0 k 和 1 k 最小化均方误差ε ， ( ) [] [] 2 ε E an an ˆ ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ 0 k = 1 k = 详细步骤：
(©)(5%)对于这部分假段已经选择P()）使r()中不存在码间串优，并且p(0)=I:保 现在发射机端，己知可并试图估计接收机璃的m.机表示发射机端对b[可的估计， 求最小化均方误差马，的机可： =[-个] 可= 详细步豫：
（c）（5％）对于这部分假设已经选择 p (t) 使 r t( ) 中不存在码间串扰，并且 p ( ) 0 1 = 。你 现在发射机端，已知 a n[ ]并试图估计接收机端的b n[ ] 。 [ ] ˆ b n 表示发射机端对b n[ ] 的估计， 求最小化均方误差 T ε 的 [ ] ˆ b n ： ( [] []) 2 ˆ ε T E bn bn ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ [ ] ˆ b n = 详细步骤：
问题4(12%) 考虑如下信号： 0-三apt-n)easa时+2pt-nr)easa时 其中人=/2x=kHz,万=码/2x=3kHz,并且 p(r)=sinc(0.5-10't) 其中1单位为秒。 设该信号通过频率响应为H()。)(如下图)的信道进行传输： ∠H02r H() 2.5 -2 -6-4 46/2 64202古2 25 Frequeney (Hz) Froqquency (kHz) 图4-1：H(@)的频事响应 ()(6%)画出信道的群时延草图(，的函数) )(msee) 2 2 6 Frequmncy (kHs) (b)(6%)给出信道输出y()的表达式， 0= 详细步耀：
问题 4（12％） 考虑如下信号： () ( ) ( ) 1 2 cos cos n n n n s t a p t nT t b p t nT t ω ω ∞ ∞ =−∞ =−∞ = − +− ∑ ∑ 其中 1 1 f = = ω / 2 1kHz π ， 2 2 f = = ω / 2 3kHz π ，并且 ( ) ( ) 3 p tc t = sin 0.5 10 i 其中t 单位为秒。 设该信号通过频率响应为 H j ( ) ω （如下图）的信道进行传输： 图 4－1： H j ( ω) 的频率响应 （a）（6％）画出信道的群时延草图（ω 的函数） （b）（6％）给出信道输出 y t( ) 的表达式。 y t( ) = 详细步骤：
问题5(16%) 在一个数字通信系饶，由0和1组成的鞋立同分布比特流[四通过一个存在错说，无记忆的 信道进行传输。P表示传输0的概率，P表示传输1的概半，且P=1一B。1棱接收成0的 鬣率为孑0故接收成1的概率为厅·我们通过一个无记忆的非线性系统H对接收到的信 号可进行处理。获取s[的估计值可整个系烧的描述如图5一1 binary memoryless channel →网 0 图5-li (a)(6%)根据B求H使P最小化，其中P被定义为在给定时刻厅[问不等于[州的概 米。 H: 详细步理： (b)《6%)使用(a)中的系统，计算最小化P的所有B的值。 B 详细步骤： (©)(4%)在这部分，假设系统H己经设计好，并已知P, ,】和接收机的操作特性(R0C) 10 如下
问题 5（16％） 在一个数字通信系统，由0 和1组成的独立同分布比特流 s n[ ]通过一个存在错误，无记忆的 信道进行传输。P0 表示传输0 的概率，P1表示传输1的概率，且 1 0 P P =1− 。1被接收成0 的 概率为 1 4 ，0 被接收成1的概率为 1 4 。我们通过一个无记忆的非线性系统 H 对接收到的信 号 r n[ ] 进行处理，获取 s n[ ]的估计值 s n ˆ[ ]。整个系统的描述如图 5－1 图 5－1： （a）（6％）根据 P0 求 H 使 Pe 最小化，其中 Pe 被定义为在给定时刻 n s n[ ]不等于 s n ˆ[ ]的概 率。 H ： 详细步骤： （b）（6％）使用（a）中的系统，计算最小化 Pe 的所有 P0 的值。 P0 = 详细步骤： （c）（4％）在这部分，假设系统 H 已经设计好，并已知 1 10 PM = 和接收机的操作特性（ROC） 如下：