18.0852002年测试2的答案 1问题1(40分) 这足关于具有在上=产，点处具有单位脉冲的非马定卷挂株（由两种材料 制成)的问感： 云ae密=c- (0)=0 (1)=0 程设 ={仕S )在r=三处.u和都连线.则一定有一个跳跃.()在x=兰 处，〔象平常一样)是连续的，而D跳了1.我们面料兽跳了一下除非这 样的一跳”仰然”为0. b A.0<x w(z) B,<E< 其中三个常数A,B和C由边界茶作(1)-0决定.进j C=0, 由如在x=生点的连缕姓，有 4B-A-0, 再由侧上--1，得 40-4B=-1. 这一具有三个方程和三个未知量的系统容易求解，得A=1,B一上，C=0综 上
18.085 2002 ✁✂ 2 ✄☎✆ 1 ✝✞ 1(40 ✟) ✠✡☛☞✌✍✎ x = 3 4 ✏✑✌✍✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜ ✢✣✤✥✦✧ ★✩) ✖✪✫✬ − d dx(c(x) du dx) = δ(x − 3 4 ) u(0) = 0 w(1) = 0 ✭✮ c(x) = ( 1, x 1 2 a)(i) ✎ x = 1 2 ✑✯ u ✰ w ✱✲✳✴✵ ux ✶ ✙✍✶✷✸✹✴ (ii) ✎ x = 3 4 ✑✯ u ✢✺✻✼✶✽ ✾ ✡ ✲✳✖ ✯✿ w ✸❀ 1. ❁❂❃✧ du dx ✸❀✶❄❅✗✠ ✽ ✖ ✶✸ ” ❆❇ ” ❈ 0. b) w(x) = A, 0 < x < 1 2 B, 1 2 < x < 3 4 C, 3 4 < x < 1 ❉❊❋ ✷ ✼● A,B ✰ C ✣❍■❏❑ w(1) = 0 ▲ ✙ ✯▼✿ C = 0, ✣ w ✎ x = 1 2 ✏ ✖ ✲✳◆✯ ✍ 4B − A = 0, ❖✣ [w] + − = −1, P 4C − 4B = −1. ✠ ✶ ✌✍❋ ✷◗❘✰ ❋ ✷❙❚❯✖❱❲❳❨❩❬ ✯P A = 1, B = 1 4 , C = 0. ❭ ❪ ✯
1, (x)= 9 0、 <E<1 c 〔r+D0心r心 F, 1<￥<1 其中三个常数D.E和F都是由边界条件()=D决定的： D=0 由“在不-子点的连统件 7x号+E-日-D=0 11 由在点r=的连线件 F-ix1-E-0 我们发现D=0.E=三，F=品，所以 问题2(30分) ()容易登证 千家一十+0-1 所以 其实部和虚部分别为
w(x) = 1, 0 < x < 1 2 1 4 , 1 2 < x < 3 4 0, 3 4 < x < 1. c) u = x + D, 0 < x < 1 2 1 4 x + E, 1 2 < x < 3 4 F, 3 4 < x < 1 ❉❊❋ ✷ ✼● D,E ✰ F ✱ ✡✣❍■❏❑ u(0) = 0 ▲ ✙✖✬ D = 0, ✣ u ✎ x = 1 2 ✏ ✖ ✲✳◆✬ 1 4 × 1 2 + E − 1 2 − D = 0, ✣ u ✎ ✏ x = 3 4 ✖ ✲✳◆✬ F − 1 4 × 3 4 − E = 0. ❁❂❫❴ D = 0, E = 3 8 , F = 9 16 , ❵❛ u = x, 0 < x < 1 2 1 4 x + 3 8 , 1 2 < x < 3 4 9 16 , 3 4 < x < 1 ✝✞ 2 ❜30 ✟ ❝ a) (i) ❳❨❞❡ ( x x 2 + y 2 − i y x 2 + y 2 )(x + iy) = 1. ❵❛ 1 z = x x 2 + y 2 − i y x 2 + y 2 , ❉❢❣✰❤❣✐❥❈
a红，=+ ,=于 回)在坐标下，有 所以 u(r.0)==cos0. r)=-上simR. b)曲线红，)=具有如下方程： 本 此方程等价于 2+g2-2r=0. 或者 r2-2x+1+2-1 最洛有 (x-12+2-1. 癸似地，曲线（红，）=号可由 2+g+1-1 第中烧在》在点半轻为1的图面c明-专 T'b
u(x, y) = x x 2 + y 2 , s(x, y) = −y x 2 + y 2 . (ii) ✎❦❧♠❄✯ ✍ 1 z = 1 reiθ = 1 r e −iθ = 1 r (cos θ − isin θ). ❵❛ u(r, θ) = 1 r cos θ, s(r, θ) = − 1 r sin θ. b) ♥ ♦ u(x, y) = 1 2 ✌✍♣❄◗❘✬ x x 2 + y 2 = 1 2 . q ◗❘rs☞ x 2 + y 2 − 2x = 0. t✉ x 2 − 2x + 1 + y 2 = 1 ✈✇✍ (x − 1)2 + y 2 = 1. ①②③ ✯♥ ♦ s(x, y) = 1 2 ④ ✣ x 2 + (y + 1)2 = 1 ⑤⑥✴♥ ♦ u(x, y) = 1 2 ❈✶✷❊⑦✎ (1, 0) ✏✯⑧⑨❈ 1 ✖⑩ ✯✿ s(x, y) = 1 ✡ 2 ✶✷❊⑦✎ (0, −1) ✏✯⑧⑨❈ 1 ✖⑩✴ c) ✎ u(x, y) = 1 2 ✠ ✶ ❣✐❶❷ u0 = 1 2 . ❴ ✎❸❉❹❣✐✴ ❺❻ u ✖ r ✓ ♦❼❽✴ ❾❿➀➁ ✯ ✎❻✠ ✶ ❣✐❼❽✖◗➂✯ u ➃❫➄➅➆✴➇✐➈➉➊ ✯ ④➋➌❈ ∂u ∂n = 0 t w · n = 0
问题320分州 品一 器 因方煮可交换马上可以现察击出，=图为F是胡和的，所以十，一 … (r.++co 20 ur=0)=月 (调和函数等于它临近点的平均值) =20=0)- 高近山年果我们贸计京样的顶部或经卫解位为
✝✞ 3(30 ✟) a). ✍ ux = ∂ 2F ∂y∂x uy = ∂ 2F ∂y2 sx = ∂ 2F ∂x2 sy = ∂ 2F ∂x∂y ➍ ❈➎➏● ④ ❽❾ ✯ ➐❪ ④❛➑➒⑥ ux = sx. ➍ ❈ F ✡➓✰ ✖ ✯❵❛ ux+sx = ∆F = 0. b) ➔ →➣☞✓↔↕✖➙❞✡ ➔♥ ♦ v ↕ = ∂v2 ∂x − ∂v1 ∂y = 0. ➛➜➝➞✓↔➃ ✡➟➠➡➢✴ (i)v(x, y) = (x 2 , y2 ) : ✡ , u = 1 3 x 3 + 1 3 y 2 , ∆u = 2x + 2y 6= 0 (ii)v(x, y) = (y 2 , x2 ) : ➤ (iii)v(x, y) = (x + y, x − y) : ✡ , u = 1 2 x 2 + xy − 1 2 y 2 , ∆u = 0 c)(i) u(r, θ) = 1 2 + r cos θ + r 2 cos 2θ (ii) u(r = 0, θ) = 1 2 (➓ ✰➥● r ☞❺➦➧✏ ✖✻➨➩ ➫ ) u(r = 1 2 , θ = 0) = 5 4 . ➭➯ ✪✫ 1d) ♣➲❁❂➳➵➸✜✖➺❣➛❯ P, ❬➻❈ w(x) = G, 0 < x < 1 2 −P x + H, 1 2 < x < 3 4 −P x + I, 3 4 < x < 1
同样的三个条件快定常数：山)=0 1-P=0 在=专处的连续性 4(-5P+川-G=0, 在=跳跃 47-4H=-1 合成系统决定末知微数：G=GP+1,H=P+和1=P:
❻ ✽ ✖❋ ✷ ❏❑▲ ✙✼●✬ w(1) = 0: I − P = 0, w ✎ x = 1 2 ✑ ✖ ✲✳◆✬ 4(− 1 2 P + H) − G = 0, w ✎ x = 3 4 ✸✹✬ 4I − 4H = −1 ➼✩❱❲▲ ✙ ❙❚✼●✬ G = 6P + 1, H = P + 1 4 ✰ I = P: w(x) = 6P + 1, 0 < x < 1 2 P(1 − x) + 1 4 , 1 2 < x < 3 4 P(1 − x), 3 4 < x < 1