麻省理工 电子工程和计算机科学 6.01:通信，控制和信号处理导论 测试2.2003.春 试卷 ·测试是闭委的，但是允许携带两张便条。 ·在每张答题卷上写上自己的名学。 ·在评分中只考虑容避卷，写在其他地方的答案不会按考虑，艳对没有例外。 ·干练的工作和清楚的解释是有价值的，请写出所有的相关工作和推理过程。你可能首先 在草稿纸上演算然后转到容题纸上，如果你需要额外的草纸请让我们知道。 ●测试总分是0分，三个问题的分数如试卷所示（但是我们希里你们知道如果你们的答 案和共同错误表明修政分数权重更合适，我们保留评分时稍微修改分数的权力，)
麻省理工 电子工程和计算机科学 6.011：通信，控制和信号处理导论 测试 2 ，2003，春 试卷 z 测试是闭卷的，但是允许携带两张便条。 z 在每张答题卷上写上自己的名字。 z 在评分中只考虑答题卷，写在其他地方的答案不会被考虑，绝对没有例外。 z 干练的工作和清楚的解释是有价值的，请写出所有的相关工作和推理过程。你可能首先 在草稿纸上演算然后转到答题纸上，如果你需要额外的草纸请让我们知道。 z 测试总分是 50 分，三个问题的分数如试卷所示（但是我们希望你们知道如果你们的答 案和共同错误表明修改分数权重更合适，我们保留评分时稍微修改分数的权力。）
问思1(36分) 1() System 1 h()=2() System 2 +2() ()假设上面柜图中的系统1传输函数为： 0点 ()求系统1的一阶状态空间模型，用，()来坐状态变量，且表示式为 y(0)=4)+x0 ()系统1的状态空间模型： ·可达吗？ ·可观吗7 ·新近稳定吗？ (b)假设上框图中的系统2被一阶状态空间模型精述为 (0=(0+5() 5(0)=24(0 其中丛是一个参数且我们规定“1 ()求系绕2的传输函数以()？ ()如果存在。“取装么值时系统2的状态空同模型！ ·不可达2 ·不可观？ ●渐近稳定？ (c)(i)组合(a》和(6)中的状态空回模型得到系绕二阶状志空间模型为： g()=Ag0+ba,O),)=cg0)+4() 40)] 对于上图中的整个系统使用 作为整个系统得状志矢量g(),无()为整输入 9(0J 片()为整体输出
问题 1（36 分） （a）假设上面框图中的系统 1 传输函数为: 1 ( ) 1 1 1 1 s H s s s = = + − − （i） 求系统 1 的一阶状态空间模型,用 q t 1 ( ) 来坐状态变量,且表示式为: y1 11 (t qt xt ) = + ( ) ( ) （ii） 系统 1 的状态空间模型： z 可达吗？ z 可观吗？ z 渐近稳定吗？ （b）假设上框图中的系统 2 被一阶状态空间模型描述为 ( ) ( ) ( ) 2 22 qt qt xt = + μ ( ) ( ) 2 2 y t qt =2 其中 μ 是一个参数,且我们规定 μ ≠1. （i） 求系统 2 的传输函数 H s 2 ( )？ （ii） 如果存在， μ 取甚么值时系统 2 的状态空间模型： z 不可达？ z 不可观？ z 渐近稳定？ （c）（i）组合（a）和（b）中的状态空间模型得到系统二阶状态空间模型为: q t Aq t bx t () () = + 1 ( ), 2 1 ( ) ( ) ( ) T y t c q t dx t = + 对于上图中的整个系统,使用 ( ) ( ) 1 2 q t q t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 作为整个系统得状态矢量 q t( ) , x1 ( )t 为整体输入, y t 2 ( ) 为整体输出
(i)使用(c(i)中的常()，片()计算传递函数H(s),并且确认它等于H,(s)H(s) 这部分有点多余，但是对你检查《©》(i)的答案很重要。 《iim)求《c)(i)中A的特任值，检查这个特任值是否和你在(e》(i)中期望所得到 的一政，和这些转狂值关联的特征向量是什么？ 存在4值，可以找到非零初始状态g(0),使得零输入解g()(定义为：x()=0) 在1+0时套减为D,求出所有符合条件的“，对于每个4指出所有满足上述条件的 初始状态。 (w》如果存在的话。(c)()中的“取什么值： ·不可达？一郑个自然顿半不可达？ ·不可观？—郑些自然频率不可观？ 用前一页框图中的零极点相消解释你的结果。 (d)假设你可以测状态变量g,()和g:(),选并 x()=g4()+g9() 闲环系统的结果可以被描述为二阶1T状态空间横里。如阿选择g和名将使闭环自然（特 征)领率为一1士1？请用：来表示你的答案〔如果你的答案正确，你会发现“=2时 8=0,83=-5:4=1时B,=1,83=-5).如果存在，求4为年值时，8，和域8有限， 并且使你的答案和（©）(w)的结果相均合， (©)假设我们只可以观到输入，()和输出乃()，请指出一种方式来估计状态变量4() 和()，使得真实值和佔计值的误差可以用两个指爱复诚项的线性组合来表示，其中两个 指数项的时间常熟为0.5和0.25，这种估计方法对所有的：都冠用吗？是后使你的容案和（©） ()的结果相吻合
（ii）使用（c）（i）中的 x1 ( )t , y t 2 ( ) 计算传递函数 H s( ) ，并且确认它等于 H sH s 1 2 () () ， 这部分有点多余,但是对你检查（c）（i）的答案很重要。 （iii）求（c）（i）中 A 的特征值，检查这个特征值是否和你在（c）（i）中期望所得到 的一致，和这些特征值关联的特征向量是什么？ 存在 μ 值，可以找到非零初始状态 q (0) ，使得零输入解 q t( ) （定义为: x t 1 ( ) ≡ 0 ） 在t → ∞ 时衰减为 0。求出所有符合条件的 μ ，对于每个 μ 指出所有满足上述条件的 初始状态。 （iv）如果存在的话，（c）（ii）中的 μ 取什么值： z 不可达？——哪个自然频率不可达？ z 不可观？——哪些自然频率不可观？ 用前一页框图中的零极点相消解释你的结果。 （d）假设你可以测状态变量q t 1 ( ) 和 q t 2 ( ) ，选择 x1 11 2 2 (t gq t g q t ) = + ( ) ( ) 闭环系统的结果可以被描述为二阶 LTI 状态空间模型。如何选择 1 g 和 2 g 将使闭环自然（特 征）频率为 − ±1 1j ？请用 μ 来表示你的答案（如果你的答案正确，你会发现 μ = 2 时 1 g = 0 , 2 g = −5；μ =1时 1 g =1, 2 g = −5）。如果存在，求 μ 为何值时， 1 g 和/或 2 g 有限， 并且使你的答案和（c）（iv）的结果相吻合。 （e）假设我们只可以观测到输入 x1 (t)和输出 y t 2 ( ) ，请指出一种方式来估计状态变量 q t 1 ( ) 和 q t 2 ( ) ，使得真实值和估计值的误差可以用两个指数衰减项的线性组合来表示，其中两个 指数项的时间常熟为0.5和0.25。这种估计方法对所有的 μ 都适用吗？最后使你的答案和（c） （iv）的结果相吻合
问题2(7分) 非线性封不变状态空同模型形式知下： 4(0)=g() 4()=-g)+x0 这里B是正常量。 (a)知果第入x()是一个正常量x>0,分别求出()和()的可能平衡值4和耳。 (b》如果实际输入与其平衡值有很小的偏离)=x)一x,且年果状志变量也与其相应 的均衡值有偏离。分划为乐，()=9()-和年()=%()-可·求一个找性的门状态 空间颅覆可以近拟地摧述这些小偏离间的联系。换句话说，找出一个L门状态学间颅型。以 4()和函（口）作为状态变量，)作为输入。线性化的模型是渐近稳定的吗？【线性化惯 型的推导中，(1+5了老1+3G,s宋1可能会有南助】 问题3(7分) 对CT信号进行DT处理的标准系统，其中CD转换署以时闻间隔T对连线时间信号x,()进 行采样，理想的DC转换署以T为间隔产生川网川的带限斩值。 ze(t) rin 封用 Me(t) CD H(c D/C 假设两个转换器中的1T离散时间系统是一个陷波滤波卷。即，顿响H(a),在Q=士2 时为0.（其中>0称为陷被期率）并且在口<对内其他地方为非零，假设这个输入信 号形式如下： x()=cos(w1+8) 求出所有的一注意是所有的一.的值，快输出，)为0
问题 2（7 分） 非线性时不变状态空间模型形式如下： qt qt 1 2 ( ) = ( ) ( ) ( ) 3 2 1 q t q t xt =− + β ( ) 这里 β 是正常量。 （a）如果输入 x ( )t 是一个正常量 x > 0 ，分别求出 q t 1 ( ) 和 q t 2 ( ) 的可能平衡值 1 q 和 2 q 。 （b）如果实际输入与其平衡值有很小的偏离 x() () t xt x = − ，且如果状态变量也与其相应 的均衡值有偏离，分别为 q t q t qt 1 11 ( ) = − ( ) 和 qt qt q 2 22 ( ) = ( ) − 。求一个线性的 LTI 状态 空间模型可以近似地描述这些小偏离间的联系。换句话说，找出一个 LTI 状态空间模型，以 q t 1 ( ) 和 q t 2 ( ) 作为状态变量， x( )t 作为输入。线性化的模型是渐近稳定的吗？【线性化模 型的推导中， 3 (1 ) 1 3 + ≈+ ε ε ， ε 1可能会有帮助】 问题 3（7 分） 对 CT 信号进行 DT 处理的标准系统，其中 C/D 转换器以时间间隔T 对连续时间信号 ( ) c x t 进 行采样，理想的 D/C 转换器以 T 为间隔产生 y n[ ]的带限插值。 假设两个转换器中的 LTI 离散时间系统是一个陷波滤波器。即，频响 ( ) j H e Ω ，在Ω = ±Ω0 时为 0，（其中 0 Ω > 0 称为陷波频率）并且在 Ω < π 内其他地方为非零，假设这个输入信 号形式如下： x t wt c in ( ) = cos( +θ ) 求出所有的——注意是所有的—— win 的值，使输出 ( ) c y t 为 0