180852002年秋测试1答案 详解 问题1 令r一（达，m)b-(6,,点m）.则 -店-[ 我想医求解〔间无法解出) [28-[] 粗路来说，A”A总是正定的.准确地说应该除苹一种极增帝形：1=…=m 在=…=m的极编情形时，A的秩为1〔所有的测量选取同一时间并且 m个点位于同一条垂直古线上)，A'A是半正定的. 对矩阵AFA有： A-%] - 路] 质量的中心在原点（即∑=工=），则 ra=[8] -a] 解合成系绕 xe8]-xk 得到
18085 2002 ✁✂✄ 1 ☎✆ ✝✞ ✟✠ ✡ 1 x = (t1, · · · , tm),b = (b1, · · · , bm). ☛ A = 1 t1 · · · · · · 1 tm ; b = b1 · · · bm . ☞✌✍✎✏✑ ✒✓✔✕✑✖ ✗ 1 t1 · · · · · · 1 tm " C D # = b1 · · · bm . ✘✙✚✛✜AT A ✢✣✤✥✦✧★✩✪✛✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵ ✶ t1 = · · · = tm. t1 = · · · = tm ✦ ✱✲✳✴✷✜ A ✦✸✹ 1 ✒✺✻✦✼✽✾✿❀✯✷❁❂❃ m ❄❅❆❇❀✯❈❉❊❊❋● ✗✜ ■❏❑ ATA ✣❍✤✥✦✧ A TA ✻✵ A TA = " m P P ti ti P t 2 i # , A T b = " P P bi biti # . ▲ ✽✦▼◆✶❖❅ (P P ti = P bi = 0), ☛ A TA = " m 0 0 P t 2 i # , A T b = " 0 P biti # . ✑◗❘❙❚ " m 0 0 P t 2 i # " C D # = " 0 P biti # . ❯❱
-[安 C一0这实表明最小半方线b一：经过原点， 对同一古线上的所有点一定有下列之一成立： 1.(从儿何上考 ba-b1 b3-b2 妇-1g-经 2必在A的列空间里.这等价于存在A的列集合中的两个元素c和d 使得 c+dli. 但是 4-- 此-d酰-d 4-与-4与 再一欢获得条作1. 3.利用Gauss消元法 a-] 6- 为了使系绕可解必有 -]-[☆] 仍与1警价. 4.矩阵[M月是奇异的： 1 1h
" C D # = P 0 P tibi t 2 i , C = 0 ❲ ✯❳❨❩❬❭❪❫❴❋ b = Dt ❵❛❖ ■ ❅✧ ❀ ✯❊❋●✦ ✺✻❅ ✯ ✥ ✻❜❝❞✯❘❡✵ 1. (❢❣❤●✐❥) b2 − b1 t2 − t1 = b3 − b2 t3 − t2 . 2.b ❦ ✶ A ✦ ❝❧❁♠ ✧❲♥♦❇♣✶ A ✦ ❝q◗ ✈❯ ▼✦r❄st c ✉ d bi = c + dti . ✓ ✣ bi − bj ti − tj = dti − dtj ti − tj = d, ✇✯①②❯❈③ 1. 3. ④⑤ Gauss ⑥s✕ 1 t1 1 t2 1 t3 " c d # = b1 b2 b3 , 1 t1 0 t2 − t1 0 t3 − t1 " c d # = b1 b2 − b1 b3 − b2 , ✹⑦✈❙❚⑧✑❦ ✻ " t2 − t1 t3 − t1 # d = " b2 − b1 b3 − b1 # , ⑨⑩ 1 ♥♦✧ 4. ❏❑ [A b] ✣❶❷✦✵ [A b] = 1 t1 b1 1 t2 b2 1 t3 b3
这一矩阵所对的行列太一定为0，因为 d[A创=1-+--b+ 51等价临条作色-6--低-- 让我们指出坐标轴.矩阵A是2×3的： 后 则度矩可CA -*0E 给出。合成系统变为 [a-[] 所以 对S=0有 [a-阿[ 当5=0时. =]
❲ ✯❏❑✺■✫ ✦❸❝❹✯ ✥✹ 0, ❺✹ det[A b] = b2t1 − b1t2 + b1t3 − b3t1 − b2t3 + b3t2 = (b3 − b1)(t2 − t1) − (b2 − b1)(t3 − t1). ❻❯❱⑩ 1 ♥♦✦❈③ ❼❽ ✧ 2 ❾☞✌❿✖➀➁➂✧ ❏❑ A ✣ 2 × 3 ✦ ✵ A = 1 0 −1 1 0 −1 . ☛➃➄❏❑⑧➅➆❛ K = ATCA = " 1 −1 0 0 1 −1 # 1 0 0 0 1 0 0 0 S 1 0 −1 1 0 −1 = " 2 −1 −1 S + 1 # ➇✖ ✧ ◗❘❙❚➈✹ " 2 −1 −1 S + 1 # " x1 x2 # = " mg mg # ✺➅ " x1 x2 # = " 2 −1 −1 S + 1 #−1 " mg ng # = 1 2S+1 " S + 1 1 1 2 # " mg mg # = mg " S+2 2S+1 3 2S+1 # . ■ S = ∞ ✻ " x1 x2 # = mg " 1 2 0 # ➉ S = 0 ✷✜ " x1 x2 # = mg " 2 3 #
至于张力，有 -w- 卡禁割 所以，当S=0时， 并且当S=0时 l A= 0兵
➊ ❇➋➌✜✻ y = CAx = 1 0 0 0 1 0 0 0 S 1 0 −1 1 0 −1 x = mg 1 0 −1 1 0 S " S+1 2S+1 3 2S+1 # = = mg S+2 2S+1 − S−1 2S+1 − 3S 2S+1 . ✺➅✜➉ S = ∞ ✷✜ y = mg 1 2 − 1 2 − 3 2 . ❂❃➉ S = 0 ✷✜ y = mg 2 1 0 . ➍➎✵➉➏➐➑➒ y ✦ ✱➓➔✷✜→❱❭➣✷↔→✎✿ ✱➓ ↕ ❼❽ 3 ➙❄➛➜❢❜➏✻➓➝❅ ❿➞●➏✻➓➝❅✧☛ A ✣ 8 × 5: A = −1 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 ➉➝❅ 6 ✉ 7 ➟ ✪✷✜❴➠ Ax = 0 ➡ ✻➢➤✑ ✧➥ ✯❴➏✜ AT y = 0 ➦ ✻ ✉ ✴❘✯❄➧✯➨➩✦➫➭➯❡ ✦ ✑ ✧❺✹ ➝ ❅ 6 ✉ 7 ➲➟✪✜➦ ✻✻➳✦ 3 ❄➧✵ (1,2,3),(3,4,5,6) ✉ (6,7,8). ❺✹➡✻➵➸✜➺❜❙❚➻➼➇☞✌➵➽ x:
ATCA=-f 或（不要求形成A”CA) 则y可由 =-CAr 幕不医宋科 1- 则y为（不要求） = 01120 仅仅过视家图形以出 点那移到二为
A TCAx = −f ➾ (→✎✏✴❘ AT CA) 2 −1 −1 0 0 −1 3 −1 −1 0 −1 −1 3 0 −1 0 −1 0 3 −1 0 0 −1 −1 3 x = − 1 0 0 0 0 , ☛ y ⑧➚ y = −CAx ➇✖ ✑ ✧ x(→✎✏) ❯ x = − 2 −1 −1 0 0 −1 3 −1 −1 0 −1 −1 3 0 −1 0 −1 0 3 −1 0 0 −1 −1 3 −1 1 0 0 0 0 = 3 2 1 1 1 2 1 2 . ☛ y ✹ (→✎✏): y = −1 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 3 2 1 1 1 2 1 2 = 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 . ➪➪➆ ❛➶➹➘✴➴⑧➅❬✩➷✖ ➬✶ ✧ ❾☞✌➮❲❄➘✴➱✃✯❄❐❒✜❮➦ ✻ 10 ➄✦❰Ï (➙r❄➝ ❅ ❰Ï 2) ➅Ð 8 ❄Ñ✧❐❒❏❑ A ✹ 8 × 10 ✦✧ ❲❄❐❒➦✻ r❄ÒÓ✧ 1. Ô ✲ ✦Õ❄➝ ❅➲❰❱✯ Ñ✧ 2. Ô ✲ ×✴ØÙ ✦Ö ✦❰❱✯ Ñ✧ÚÛ✜❲r✰ ÒÓ✦Ü➎Ý◗Þ✣ ✯ ❄ÒÓ✜✓→ ✣ ✯ ❄➯❡ ✦ÒÓ✧■ßà✦áâ✾ã❭❴ä✦åæç➀➁❙❂❃⑤ ➆è✦ ❴❹ ✥é ê ➚ ➄✧☛❲r❄ÒÓ⑧➚
11 0 1 1 0 1 = 0 1 0 0 0 0 给出. (a因为A不是满秩的，K=ATA仅仅是半正定的. )般答笨是手要和0西都止交，个待别的阴子是垂白力量的果 合.否则相等且相反的平行力作月在第2和第3个节点上
x0 = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ; 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 . ➇✖ ✧ (a) ❺✹ A → ✣ë✸✦✜ K = ATA ➪➪✣❍✤✥✦✧ (b) ✯ìíî✣ f ✎ ✉ x0,x1 ➲✤ï✧✯ ❄ðñ✦òó✣❉❊➌✽✦q ◗ ✧ô☛➫♥❃ ➫õ✦❫ ❸➌✃ ⑤ ✶ö 2 ✉ ö 3 ❄ ➝ ❅ ● ✧