麻省理工学院 物理系 物理学8033 200年12月18日 测验2 姓名— 1.完成下面8个问愿， 2. 每个问思大约挥是13分。 3。闭卷考试：1允许带两页笔记（常用公式）： 4.如果可能，解题时先给出公式，最后一步代入数据。 问题 得分 等缓 1 2 3 4 5 6 7 8 总分
麻省理工学院 物理系 物理学 8.033 200 年 12 月 18 日 测验 2 姓名 1． 完成下面 8 个问题。 2． 每个问题大约都是 13 分。 3． 闭卷考试；但允许带两页笔记（常用公式）。 4． 如果可能，解题时先给出公式，最后一步代入数据。 问题 得分 等级 1 2 3 4 5 6 7 8 总分
一些可能用到的公式和积分 =[)'+(）+) -(当)会 6=） dr ds /0-2顶=re() ds 0-2=1-2w房 =s+aln(s a) (s-a) =0, where 1-∑（微） constant Coulomb's Law 4p no free magnetic poles Faraday's Law: ×E=-18E c ol Ampere's Law PxB=▣了+18E eot
一些可能用到的公式和积分
题山 “闵可夫斯基图” 利用下面空白的闵可夫斯基图简要说明以下问题： ()标出P事件的x·(用表示)值，然后“校准”x’轴。同时，指出A事件和B事 件是不是同时的，如果是。则是在哪个参考系中？简要说明你的答案。 (b》以图中标出的一个事件为例说明概念“倒易时间延缓”。一定要说明这个事件的坐标， “倒易”是指每一个观测者都会发现在另一个参考系中运动的时钟都比他地自己的 慢。事作A和事件B在S”参考系中相差15，而在S参考系中事件A和事件C相隔 Lys. cr B A (©)图中虚线代表S'参考系中两个静止的刚体棒。在图中画出两个事件（事件A和事 件B)的例子，在S'参考系中它们会屈服(yd)于棒的长度：同时，画出另外两 个事件（事件C和事件D),在S参考系中它们会屈服(yid)于棒的长度一分别 说明两种情况。通过在图中西一些线说明棒在5”参考系中的运动状志
问题 1 “闵可夫斯基图” 利用下面空白的闵可夫斯基图简要说明以下问题： （a） 标出 P 事件的 x′（用γ表示）值，然后“校准”x′轴。同时，指出 A 事件和 B 事 件是不是同时的，如果是，则是在哪个参考系中？简要说明你的答案。 （b） 以图中标出的一个事件为例说明概念“倒易时间延缓”。一定要说明这个事件的坐标。 “倒易”是指每一个观测者都会发现在另一个参考系中运动的时钟都比他/她自己的 慢。事件 A 和事件 B 在 S′参考系中相差 1s，而在 S 参考系中事件 A 和事件 C 相隔 1/γ s。 （c） 图中虚线代表 S′参考系中两个静止的刚体棒。在图中画出两个事件（事件 A 和事 件 B）的例子，在 S′参考系中它们会屈服（yield）于棒的长度；同时，画出另外两 个事件（事件 C 和事件 D），在 S 参考系中它们会屈服（yield）于棒的长度—分别 说明两种情况。通过在图中画一些线说明棒在 S′参考系中的运动状态
但题2 “相对论动力学” 一个氣核，相对论因子为y，与频率为？的光子束相撞。氘楼由被束簿的电子和一个中子组 成，其结合能Q-2.0MeV,在这个间题中，我们门取质子和中子有相同的质量m=1GVe2(它 们是相互独立的)。 ()找出光政分裂可以爱生（也算是，在一个光子作用下，氟核分裂成一个质子和一个 中子)，而取最小值的一般表达式。假定光子在碰撞后酒失。《你的容案中可以有 y'和”) (b) 如果为kV,找出光政分裂可以发生的，的最小植。在这部分问题中，可以忽略 了项。你应该得到一个y的近似数值。 间题3 “火箭问愿” 一个火箭最初静止在S参考系中，然后开始沿x方向加速。它初态的静止质量是M,燃料 消耗完之后，末态的静止质量是场。10。在火箭(S”)瞬时的静止参考系中，燃料已 恒定速率”。（假定运小于光速）喷射。同时，在火箭参考系（以火箭本身为参考系）中， 静止质量的减少率为dM,/扩。它可能随时间变化，也可能不变。 (a)写出或推导出火箭在瞬时静止参考系中的运动方程。 (b》用火黄运动方程和加速度的近似变换求出火箭在S参考系中的加速度。 (©)用山和由'的近似关系计算方程式中的时同间隔。 ()求出火箭的末速率（在S参考系中）山，用燃料消耗完后的速率作自变量。求出 必需的积分之后，你可以精确地求解，也可以利用素勒领数展开并简化答案
问题 2 “相对论动力学” 一个氘核，相对论因子为γ ，与频率为ν 的光子束相撞。氘核由被束缚的电子和一个中子组 成，其结合能 Q=2.0MeV。在这个问题中，我们取质子和中子有相同的质量 m0≅1GeV/c 2 （它 们是相互独立的）。 （a） 找出光致分裂可以发生（也就是，在一个光子作用下，氘核分裂成一个质子和一个 中子），而γ 取最小值的一般表达式。假定光子在碰撞后消失。（你的答案中可以有 γ′和β′） （b） 如果 hν=1keV，找出光致分裂可以发生的γ 的最小值。在这部分问题中，可以忽略 Q2 项。你应该得到一个γ 的近似数值。 问题 3 “火箭问题” 一个火箭最初静止在 S 参考系中，然后开始沿 x 方向加速。它初态的静止质量是 Minit，燃料 消耗完之后，末态的静止质量是 Mfin=Minit/10。在火箭（ S′′ ）瞬时的静止参考系中，燃料已 恒定速率 Vex（假定远小于光速）喷射。同时，在火箭参考系（以火箭本身为参考系）中， 静止质量的减少率为 dM / dt′ 0 ，它可能随时间变化，也可能不变。 （a） 写出或推导出火箭在瞬时静止参考系中的运动方程。 （b） 用火箭运动方程和加速度的近似变换求出火箭在 S 参考系中的加速度。 （c） 用 dt 和 dt′的近似关系计算方程式中的时间间隔。 （d） 求出火箭的末速率（在 S 参考系中）u，用燃料消耗完后的速率 Vex作自变量。求出 必需的积分之后，你可以精确地求解 u，也可以利用泰勒级数展开并简化答案
可能用到的积分： 圆4 “电场和磁场中的相对论” 用库仑定律的矢量形式。电场变换，时空延钟变换。以及孩义相对论的基本假定，证明点密 废知的变换与一个4维矢量下，P代}的变换相以，其中了是电演密度。这个问愿中，假定 S'参考系相对于3参考系沿着它们共同的x轴方白向右运动。 (a)以库仑定律为出发点，库仑定律的形式是：7-E=4即，其中 .E.E+5,E 在 求出S”参考系中微分0/，8/，0/正的变换。下面给出了一个很好的开端1 品=（品-） (b》现在，变换方程式中的电场分量， E,■ E,=1(E+3E) E=1(E-3B) (c)把相关的P,p,以及结合起米.尤其是，求出关于e”,”,y和B的表 达式。所有的麦克斯韦方程式都在常用公式和积分表中给出了，也许你会用到其中 的一部分。你还会发现下面的式子对于计算旋度是很有用的。 包L题5 “简单论述题” (a)用能量变换推导相对论多普勒公式 (b》解释多普勒顿移和时间廷缓的本质不月： (e) 重力场中一个连在弹簧上的校子，其较格朗日量（拉氏量）是： C=1/2m2一mg:-12W3,其中，k是弹簧系数，g是重力加速度。如果粒子的
可能用到的积分： 问题 4 “电场和磁场中的相对论” 用库仑定律的矢量形式，电场变换，时空延伸变换，以及狭义相对论的基本假定，证明点密 度ρ 的变换与一个 4 维-矢量{J , ρc} r 的变换相似，其中 J r 是电流密度。这个问题中，假定 S′参考系相对于 S 参考系沿着它们共同的 x 轴方向向右运动。 （a） 以库仑定律为出发点，库仑定律的形式是：∇ ⋅ E = 4πρ r r ，其中 z E y E x E E x y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ ⋅ ≡ r r 求出 S′参考系中微分∂ / ∂x,∂ / ∂y,∂ / ∂z 的变换。下面给出了一个很好的开端： （b） 现在，变换方程式中的电场分量： （c） 把相关的ρ，ρ′，以及 J′结合起来。尤其是，求出ρ关于ρ′，J′，γ 和β 的表 达式。所有的麦克斯韦方程式都在常用公式和积分表中给出了，也许你会用到其中 的一部分。你还会发现下面的式子对于计算旋度是很有用的。 问题 5 “简单论述题” （a） 用能量变换推导相对论多普勒公式。 （b） 解释多普勒频移和时间延缓的本质不同。 （c） 重力场中一个连在弹簧上的粒子，其拉格朗日量（拉氏量）是： ，其中，k 是弹簧系数，g 是重力加速度。如果粒子的
运动路轻使得路轻积分取极值，用欧拉方程求出粒子的运动方程。（不用解 这个方程，》 (》以施瓦席度规为出发点，求出光速，类似于施瓦席妃录记录的径向光建 包丽6 “牛镜字宙论” 以关于宇宙演化的标度因子的方程式作出发点： a2=属 w+2+1-u-0a 其中，是现在的哈勃常数(H。:T0m/s·C),2,和分别是物质和暗能量密度， 单位是临界密度（物质和脆量的密度与临界密度之比）。为了与我们知道的字宙参量相联系， 取值如下：07,0.3。由以上方程式作出发点完成下面的计算： (a)当标度因子急的取什么值时，字宙加速因子和减速因子完全改变？ (b) 用以上的任何信息说明字宙会维续感胀还是会重新爆增。· (e) 求出哈勃常数（字古演化的标度因子的一个参量）的精确表达式，也就是，求出战： 把你的答案用现在的喻钻常数品表示出来。 ()计算出现在宇宙年龄的机分表达式。不用计算积分， (e) 写出标度因子a和红移：的关系。用这个表达式和上而的表达式推导出关于一个 红移物体年龄的积分表达式。（这个积分式只有一个自变量：，） 题7 “施瓦席度规下的国轨道” 一个没有动力的太空船的静止质量是m:由于一个质量很大()的黑测的作用，它沿半径 为的圆轨道运动。利用城瓦房度规回答下面同愿： (a)写出随瓦席度规的有效劳〔参考附录单)。 (心》用有效势推导太空船的动量和它的轨道半径%的关系。（如果在解题过程中你需要 求解二次方程，都么保背定做了不必要的工作。) (©)用(b)部分的结果和有效势求出太空船能量的一般表达式，它是乃关于的函数（也 线是，角动量L不要出现在表达式中)。 (d) 求出：作为的函数表达式，其中r是太空船中的时钟所测量出的时间 (e) 一个距离常远的观测者测量太空船的运动周期。当9时，=10ms,如果，观 测者在太空船上，能观测到的运动周期是多少？ 包题8 “引力红移和等效性愿理” (a)在嘴瓦席度规中，光子从半径为处运动到n(>n)处，计算它的引力红移。用 以下步露。以施瓦席度规为出发点： (i) 推号出比例(r)/Mo)或者转化成(r)/(). (i 用上一步得到的结果求出(r)/5)或者()/()：
运动路径使得路径积分 取极值，用欧拉方程求出粒子的运动方程。（不用解 这个方程。） （d） 以施瓦席度规为出发点，求出光速，类似于施瓦席纪录员记录的径向光速。 问题 6 “牛顿宇宙论” 以关于宇宙演化的标度因子的方程式作出发点： 其中 H0 是现在的哈勃常数（ H ≈ 70km/s⋅ Mpc 0 ），ΩΛ和ΩM 分别是物质和暗能量密度， 单位是临界密度（物质和能量的密度与临界密度之比）。为了与我们知道的宇宙参量相联系， Ω取值如下：ΩΛ=0.7，ΩM=0.3。由以上方程式作出发点完成下面的计算： （a） 当标度因子 a 的取什么值时，宇宙加速因子和减速因子完全改变？ （b） 用以上的任何信息说明宇宙会继续膨胀还是会重新塌缩。 （c） 求出哈勃常数（宇宙演化的标度因子的一个参量）的精确表达式，也就是，求出 H(a)。 把你的答案用现在的哈勃常数 H0 表示出来。 （d） 计算出现在宇宙年龄的积分表达式，不用计算积分。 （e） 写出标度因子 a 和红移 z 的关系。用这个表达式和上面 . a 的表达式推导出关于一个 红移物体年龄的积分表达式。（这个积分式只有一个自变量 z。） 问题 7 “施瓦席度规下的圆轨道” 一个没有动力的太空船的静止质量是 m。由于一个质量很大（M）的黑洞的作用，它沿半径 为 r0 的圆轨道运动。利用施瓦席度规回答下面问题： （a） 写出施瓦席度规的有效势（参考附录单）。 （b） 用有效势推导太空船的动量和它的轨道半径 r0 的关系。（如果在解题过程中你需要 求解二次方程，那么你肯定做了不必要的工作。） （c） 用（b）部分的结果和有效势求出太空船能量的一般表达式，它是 r0 关于的函数（也 就是，角动量 L 不要出现在表达式中）。 （d） 求出 dt/dτ 作为 r0 的函数表达式，其中τ 是太空船中的时钟所测量出的时间。 （e） 一个距离非常远的观测者测量太空船的运动周期，当 r0=9M 时，τ =10ms。如果，观 测者在太空船上，他观测到的运动周期是多少？ 问题 8 “引力红移和等效性原理” （a） 在施瓦席度规中，光子从半径为 r1处运动到 r2（r2> r1）处，计算它的引力红移。用 以下步骤。以施瓦席度规为出发点： （i） 推导出比例ν (r)/ν (∞) 或者转化成λ(r)/ λ(∞)。 （ii） 用上一步得到的结果求出 ( )/ ( ) 1 2 ν r ν r 或者 ( )/ ( ) 1 2 λ r λ r
(面) 在喝场极限下，把你的结果用素粉级数展开。将你的表达式用牛顿引力势 的变化量例)-例：)以及系数心表示出来。 (b)一个圆盒型的太空船送离任何物体的引力，它通过转动（颜率是口）产生人为的引 力。处在距离太空船中心为（半径）F处，并且与太空船一齐转动的物体的加速度 是多少？从转动参考系（如速）来看。利用等效性原理计算太空船内的等效引力场 《大小和方向)，它是r的函数。利用这些，计算等效引力势r),取风0)=0. 一个光子从半径为n处运动到n(?n)处：通过(1m)部分的结果类推求出颜 率或被长的变化，并说明这是红移还是蓝移
（iii） 在弱场极限下，把你的结果用泰勒级数展开。将你的表达式用牛顿引力势 的变化量 ( ) ( ) 2 1 ϕ r −ϕ r 以及系数 c 表示出来。 （b） 一个圆盘型的太空船远离任何物体的引力，它通过转动（频率是Ω）产生人为的引 力。处在距离太空船中心为（半径）r 处，并且与太空船一齐转动的物体的加速度 是多少？从转动参考系（加速）来看，利用等效性原理计算太空船内的等效引力场 （大小和方向），它是 r 的函数。利用这些，计算等效引力势ϕ(r) ，取ϕ(0) ≡ 0 。 一个光子从半径为 r1 处运动到 r2（r2> r1）处。通过（a.iii）部分的结果类推求出频 率或波长的变化，并说明这是红移还是蓝移