§3位势涡度方程 涡度方程,动量方程的变形方程,描述流体的涡度场的时空演变,但它未能 反映大气能量过程。本节的位势涡度方程,考虑大气的能量过程,描述在能 量守恒的约束下涡度的演化。 -oV·+B+V∧F dt 利用连续性方程,改写涡度方程 V|+-+-V∧ pdtp2at、p B 1 a.VⅣ+2+-V∧F
§ 3 位势涡度方程 ( )V V B F dt d a a a = ω ⋅ ∇ −ω ∇ ⋅ + + ∇ ∧ ω F B V dt d dt d a a a + + ∇ ∧ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − = ⋅ ∇ ρ ρ ρ ρ ω ρ ω ω ρ1 1 2 F B V dt d a a + + ∇ ∧ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟ = ⋅ ∇ ⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ρ ρ ρ ω ρ ϖ 1 涡度方程，动量方程的变形方程，描述流体的涡度场的时空演变，但它未能 反映大气能量过程。本节的位势涡度方程，考虑大气的能量过程，描述在能 量守恒的约束下涡度的演化。 利用连续性方程，改写涡度方程
§3位势涡度方程 B ∧ a asasasaS L-+v—+1 热力学能量方程的改写P y z aS aS aS Vs+Vu-+vy+vw (a)+(b) r ⅤS|=VS VS·B vS√∧F r
§3 位势涡度方程 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ∇ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ = ⋅ ∇ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ⋅ F B V dt d S a a ρ ρ ρ ω ρ ω 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅∇ T Q z S w y S v x S u t a S ρ ϖ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ = ⋅∇ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∇ ∂ ∂ + ∇ ∂ ∂ ⋅ ∇ + ∇ T Q z S w y S v x S S u dt a d a ρ ϖ ρ ω a aa a d SS S SS V u v w dt x y z SB Q S F T ω ωω ρ ρρ ω ρρ ρ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⋅∇ =∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅ ∇ +∇ +∇ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ∇⋅ ∇ ⎛ ⎞ + + ⋅∇ + ⋅∇∧ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ r rr r r r r 热力学能量方程的改写 (a) (b) (a)+(b):
§3位势涡度方程 注意:VS·B(aS aS Va+Vp(Va∧Vp)=0 VS VS·/ Qg.V ui+v+wk VS a Vui 分Dn.V以+nVwk aS aS aS a.Vu-+Vv-+Vw 郭晓广义位daVS四,ⅴS<×F 涡方程
§3 位势涡度方程 ⋅( ) − ∇ ∧ ∇ ≡ 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ∂ ∂ ∇ + ∂ ∂ = ∇ ⋅ p p p S B S S α α ρ α ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∇ ∂ ∂ + ∇ ∂ ∂ = ⋅ ∇ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∇ ⋅ ⋅∇ + ⋅∇ + ⋅∇ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ = ∇ ⋅ ⋅∇ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ⋅ ∇ z S w y S v x S u S u i vj w k S V S u i vj w k a a a a a a ρ ϖ ρ ω ρ ω ρ ω ρ ω ρ ω 注 意： F S T S Q dt d a a ⋅∇ × ∇ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅∇ ρ ρ ϖ ρ 郭晓岚广义位 ϖ 涡方程
§3位势涡度方程 绝热、无摩擦: d a a Vs=0 a.V6=0 dh、p Ertel(1942)位涡方程 n==ave 位势涡度
§3 位势涡度方程 = 0 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⋅ ∇S dtd aρ ω = 0 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⋅ ∇θ ρ ωa dtd 绝热、无摩擦： Ertel (1942) 位涡方程 θ ρ ϖ π = ⋅∇ a 位势涡度
e+80
§3位势涡度方程 z=o,.=5+0+om,y P az 量级 分析与f-10/s -10-3/s 简化: -20-30K/1000K m 6--40-60k/10Km oz 06 d(s+fao 0 (+f) 不可压 06 P坐标系 0
§3 位势涡度方程 θ ρ θ ω ρ ζ θ ρ ω π + ⋅ ∇ ∂ + ∂ = ⋅ ∇ = a ah z f s z v / 3 10− − − − ∂ ∂ K Km z − − − 40 − 60 /10 ∂ ∂θ / s 4 10− = 0 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂ + ∂z f dtd θ ρ ζ ( ) = 0 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ∂∂ + z f dtd θ ζ ( ) = 0 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ∂∂ + p f dtd θ ζ 量级 分析与 简化： f-- ; K Km x − − − 20 − 30 /1000 ∂ ∂θ 不可压 P坐标系
§3位势涡度方程 例子:西风气流过山。假定山脉为南北走向,初始为均匀西风。设地面附近 的等位温面与地面平行。而高空大气,受地形影响较小,等位温面几乎为水平 的 )初始:50=0,∫=f,A=Az 2)爬山:AzA0,50 3)过山后:Az=△z,f口,5×0 4)回到初始纬度:A=Az0,∫=f6,5=0 5)震荡:由于惯性,空气柱在平衡位置振荡。在山脉的下游形成一个大槽
§3 位势涡度方程 例子：西风气流过山。假定山脉为南北走向，初始为均匀西风。设地面附近 的等位温面与地面平行。而高空大气，受地形影响较小，等位温面几乎为水平 的。 1）初始： 2）爬山： 3）过山后： 4）回到初始纬度： 5）震荡：由于惯性，空气柱在平衡位置振荡。在山脉的下游形成一个大槽。 0 0 z f z f Δ = Δ ς + 0 0 0 0 ς = , f = f , Δz = Δz Δz Δz0 , ς 0 Δz = Δz0 , f f0 , ς M0 Δz = Δz0 , f = f0 , ς = 0
+89 M (b)
S4散度和散度方程 散度 涡度 散度 奥-高公式 9× 手nas= V·Jaz az 中值定理 V∴=lim 手ns 散度-单位体积的膨胀率
§4 散度和散度方程 z w y u x u V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ ⋅ = ∫∫ ∫∫∫ ⋅ = ∇ ⋅ τ V nds Vdτ S τ ∫∫ ⋅ ∇ ⋅ = −−−−− V nds V τ τ ∫∫ ⋅ ∇⋅ = → V nds V 0 lim 散度 涡度 散度 散度---单位体积的膨胀率 奥-高公式 中值定理
S4散度和散度方程 水平散度 二维奥高公式 V.Vas h ax a 中值定理 V,·VS h h h S→>0 水平散度-单位面积的膨胀率
§4 散度和散度方程 水平散度 水平散度---单位面积的膨胀率 二维奥-高公式 中值定理 y v x u D ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫ ∫∫ ⋅ = ∇ ⋅ S h l V ndl VdS S VdS V S h h ∫∫ ∇ ⋅ ∇ ⋅ = −−−−−− S VdS V S h S h ∫∫ ∇ ⋅ ∇ ⋅ = → 0 lim