第二节牛顿莱布尼兹 公式 一、 问题的提出 二、原函数存在定理 三、牛顿一莱布尼兹公式
第二节 牛顿-莱布尼兹 公式 一、问题的提出 二、原函数存在定理 三、牛顿－莱布尼兹公式
问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度y=v(t)是时 间间隔T,T,]上t的一个连续函数，且v(t)≥0， 求物体在这段时间内所经过的路程。 变速直线运动中路程为 eh 另一方面这段路程可表示为s(T,)-S(T) Jea=sT)-(T.其中s0=W0
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其中 s(t) = v(t)
原函数存在定理 设函数f(x)在区间[4，b]上连续，并且设x 为M,b]上的一点，考察定积分 ∫fx)dc=ft)dt 如果上限x在区间，b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以 它在[M,b]上定义了一个函数， 记Φ(x)=f(t)dt. 积分上限函数
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设x 为[a,b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 = x a f (t)dt 记 ( ) ( ) . = x a x f t dt 积分上限函数 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以 它在[a,b]上定义了一个函数， 二、原函数存在定理
积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在，b]上连续，则积分上限的函 数Φ(x)=∫f(t)t在a,b]上具有导数，且它的导 数是)=太eh=不N (a≤x≤b) 证(x+Ax)=fd △Φ=Φ(x+△x)-Φ(x) Φ(x) -["M(oya-f"f(x xx+△xbx
a b x y o 定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导 数是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = (x + x) − (x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
-"f(tyd+f(t-f(oyd Px+△r =J."f(odt, 由积分中值定理得 △Φ=f(5)△Kξ∈[x,x+△， x5x+△xbx A △Φ =f(5), lim = △x lim f() △x-→0 Ar-20 △x→0,5→x .Φ'(x)=f(x)
f t dt f t dt f t dt x a x x x x = a + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f ( )x [x, x + x], x → 0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = (x) = f (x). a b x y o x + x (x) x
补充如果f(t)连续，(x)、b(x)可导， 则F)=fh的导数F')为 Fc=&efuh=fbabrx-fiauxhcx 证F()=(+M/o0 -f(y-fds, F"(x)=fb(x)'(x)-fla(x)la'(x)
如果 f (t)连续，a(x)、b(x)可导， 则F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F( x)为 补充 = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 证 F x ( )f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x − F(x) = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x
定理2（原函数存在定理) 如果f(x)在[，b]上连续，则积分上限的函 数Φ(x)=f(t)t就是f(x)在a,b]上的一个 原函数. 定理的重要意义： (1)肯定了连续函数的原函数是存在的， (2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系
定理2（原函数存在定理） 如果 f (x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 就 是 f (x) 在[a,b]上的一个 原函数. 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系
【例1】求 解由定理1得 j- sinx 【例2】求[四山 解设x:,“则变上限定积分确定的自变量x的函数就可以看作是由 )-n',U=x复合而成的复合函数根据复合函数求导法则及定理1有： Gx. =Sin u 2x 2xsin x2 2s2 x 一般地，有”f0i=fex)
【例1】 求 解 由定理1得 【例2】 求 解 设 ，则变上限定积分 所确定的自变量 的函数就可以看作是由 , 复合而成的复合函数.根据复合函数求导法则及定理1有： 一般地，有 x dt t t 2 sin x dt t t 2 sin x sin x = 2 x sin dt t t dx d x = u 2 2 x sin dt t t x = u dt t t p x sin ( ) 2 u = x · . 2 x sin dt t t dx d = u dt t t du d sin x (x ) 2 u sin u = 2x 2 2 2 sin x x x = x x 2 2sin = ( ) ( ) ( ) ( ) f t dt f x x dx d x a =
三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3（微积分基本公式） 如果F(x)是连续函数f(x)在区间M,b]上 的-个原函数，则f(x)c=F(b)-F(). 证·：已知F(x)是f(x)的一个原函数， 又Φ(x)=f(t)t也是f(x)的一个原函数， ∴.F(x)-Φ(x)=Cx∈[a,b]
定理 3（微积分基本公式） 如果F(x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上 的一个原函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = − . 又 x f t dt x a ( ) = ( ) 也是 f (x)的一个原函数, 已知F(x)是 f (x)的一个原函数， F(x) − (x) = C x[a,b] 证 三、牛顿—莱布尼茨公式
令x=M→ F(a)-Φ(a=C: :(@=∫f(t)t=0→F(@=C, F(x)-["f(tydt=C, .["f(t)dt=F(x)-F(a), 令x=b→Df(x)c=F(b)-F(m). 牛顿—莱布尼茨公式
令 x = a F(a) − (a) = C, ( ) = ( ) = 0 a f t dt a a F(a) = C, f (t)dt F(x) F(a), x a = − F(x) f (t)dt C, x a − = 令 x = b f (x)dx F(b) F(a). b a = − 牛顿—莱布尼茨公式