第四节两个重要的极限(P-27) 一、极限存在的准则 准则！如果对于的左右近旁的一切×（或 g(x)≤f(x)≤h(x), lim g(x)=A, lim x→X0 x→0 那末(x→0) 存在，且等于 (x>0）
第四节 两个重要的极限(P-27) 一、极限存在的准则 准则 I 如果对于 0 x 的左右近旁的一切 x(或 x M ) 时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → 存在, 且等于 A
例1证明1 imcosx=1 x>0 m0s1-cos=2sm5s2分- 而lim=0 x-→0 2 ."lim(1-cosx)=0 ..lim cosx =1 x→0
0 1 limcos 1 x x → 例 证明 = 证明 2 2 2 1 0 1 cos 2sin 2( ) 2 2 2 x x − = = x x 2 0 lim 0 x 2 x → 而 = 0 lim(1 cos ) 0 x x → − = 0 limcos 1 x x → =
准则Ⅲ如果数列a,=f(n)是单调有界的， 则1ima,一定存在. X→00 ,=1为0显然，足单调如的 且a,co lim(1-)=1 n->o0
( ) lim n n x II a f n a → 准则 如果数列 = 是单调有界的, 则 一定存在. 1 1 2 3 1 0, , , , , 234 lim n n n a n a → = − n n 例如 为 显然a 是单调增加的, 且a <1,则 一定存在. 1 lim(1 ) 1 n→ n − =
二、两个重要极限 (1)lim sinx 1 x→0X 证明 设单位圆0，圆心角∠A0B=0<x<7 作单位圆的切线，得△4CO. 扇形OAB的圆心角为x, △OAB的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB, tanx=AC, ∴.sinx<x<tanx,即cosx< sinx x
(1) 1 sin lim 0 = → x x x 证明 ) 2 , , (0 设单位圆 O 圆心角AOB = x x tan , sin , , x AC x BD x AB = 于是有 = = 弧 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD, A C o B D sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 二、两个重要极限
∴.sinx<x<tanx,即cosx< sinx, 上式对于-<x<0地成立.当0<<时， 2 2 0<t-1e1-c=2sm2- 2 m〉，=0，am=cos5 x→0 .∴.lim cosx=1, x→0 又.lim1=1, x→0 sinx ∴.lim 三1 x→0X
0 . 2 上式对于 也成立 − x , 2 当 0 时 x 0 cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x lim(1 cos ) 0, 0 − = → x x limcos 1, 0 = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1. sin lim 0 = → x x x sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x
sin 2x 例2求lim x→>0 X 解 lim Si =lim sin 2x sin2x.2） x→0 x x→0 2x sin 2x =2 lim x→0 2x sin t =2lim 1-→0 t =2.1=2
例２ 求 x x x sin 2 lim →0 解 2) 2 sin 2 lim ( sin 2 lim 0 0 = → → x x x x x x x x x 2 sin 2 2lim →0 = t t t sin 2lim →0 = = 21 = 2
tan x 例3求lim x-→0 X tan x 解 sinx lim li x→0 x→0 COSX sinx lim lim x-→0 -→0C0SX =1
例3 求 x x x tan lim →0 1 cos 1 lim sin lim cos sin 1 lim tan lim 0 0 0 0 = = = → → → → x x x x x x x x x x x x 解
51I)X 例4.求 lim sin 3x 解 lim = lim sin3x 4x 3x x→0S1n4x (3x x->0 sin4x 4x .lim sin3x 4x3 43x0 3x 4x-0 sin 4x 4 例5 求 2 2 sin 2 X sin -cosx 解lim lim 2 x->0 x2 x->0 3 lim x->0
例 4 求 x x x sin 4 sin 3 lim →0 . 0 0 3 0 4 0 sin 3 sin 3 4 3 lim lim( ) sin 4 3 sin 4 4 3 sin 3 4 3 lim lim . 4 3 sin 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → = = = 例 5 求 2 0 1 cos lim x x x − → . 解 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2sin lim 1 cos lim 2 0 2 2 0 2 0 = = = − → → → x x x x x x x x x ． 解
11111 例6 求>0 解 anx(I-cosx) 1 sinx 1-cosx COS店知X x? 故1-COSx 31(x0
例 6 求 3 0 tan sin lim x x x x − → ． − = − = − → → → 2 0 3 0 3 0 sin 1 cos cos1 lim tan (1 cos ) lim tan sin lim x x x x x x x x x x x x x x 由例 5 知 ( 0) 2 1 cos 1 2 → → − x x x , 故 2 tan sin 1 lim 3 0 = − → x x x x . 解
2.m1+=e 解释说明：列出1+》 的数值表（如下表），观察其变 化趋势. X 2 3 5 10 100 1000 10000 2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 egegg 从上表可看出，当x无限增大时，函数 1+ 变化的 大致趋势，可以证明当x→∞时， + 的极限确实存 在，并且是一个无理数，其值为e=2.718282828.…,即
2 . e 1 lim 1 = + → x x x ． 解释说明：列出 x x + 1 1 的数值表(如下表)，观察其变 化趋势. 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000 ……. 2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 …… x x + 1 1 x 从上表可看出,当x无限增大时,函数 x x + 1 1 变化的 大致趋势,可以证明当x → 时, x x + 1 1 的极限确实存 在,并且是一个无理数,其值为e = 2.718282828,即