第一节定积分的概念与性质 引进定积分概念的两个例子 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 锈都
一、引进定积分概念的两个例子 第一节 定积分的概念与性质 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
,引进定积分概念的两个例子 1.曲边梯形的面积 曲边梯形：在直角坐标系下，由闭区间[a,b] 上的连续曲线y=f(x)≥0，直线x=,x=b与 x轴围成的平面图形AabB. y y=f(x) x=b x=d b x 积锈都
一、引进定积分概念的两个例子 1.曲边梯形的面积 曲边梯形：在直角坐标系下，由闭区间[a, b] 上的连续曲线 y = f (x) ≥ 0， 直线 x = a，x = b 与 x 轴围成的平面图形 AabB. y O a b x A B x = a x = b y = f (x)
曲线y=fx)是连续的，所以，当点x在区间 [,b]上某处变化很小时，则相应的高f(x)也就变 化不大.基于这种想法，可以用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形， 只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄，则其高 f(x)的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形 上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形， 积标
基于这种想法， 可以用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形， 只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄， 则其高 f (x) 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形 上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形， 曲线 y = f (x) 是连续的，所以，当点 x 在区间 [a, b] 上某处变化很小时，则相应的高 f (x) 也就变 化不大
用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积， 进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边 梯形面积.显然，分割越细，近似程度就越高， 当无限细分时，则所有小矩形面积之和的极 限就是曲边梯形面积的精确值 机标
显然，分割越细， 近似程度就越高， 当无限细分时， 则所有小矩形面积之和的极 限就是曲边梯形面积的精确值. 用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积， 进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边 梯形面积
根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积. (1)分割 在区间[a,b]内任意插入n-1个分点： a=x0<x1<X2<…<xi-1<x:<…<xm-1<xn=b, 把区间[a,b]分成n个小区间： [0,],X1,2],·,-1,x],·,Km-13xnl 这些小区间的长度分别记为 △xi=x;-xi-1(i=1,2,…,m). (x) A 过每一分点作平行于y 轴的直线，它们把曲边梯 形分成n个小曲边梯形. Oa=xo x1 Xi-1Xi xbx 积锈湘
(1) 分割 在区间[a, b]内任意插入 n – 1 个分点： a = x0 < x1 < x2 < ··· < xi-1 < xi < ··· < xn-1 < xn = b， 把区间[a, b]分成 n 个小区间： [x0 , x1 ]，[x1 , x2 ]，··· ，[xi-1 , xi ]，··· ，[xn-1 , xn ]. 这些小区间的长度分别记为 xi = xi – xi -1 (i = 1, 2, ··· , n). 过每一分点作平行于 y 轴的直线，它们把曲边梯 形分成 n 个小曲边梯形. 根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积. a = x0 x1 O xi-1 xn = b y = f (x) y B A O xi x y B A x
(2)近似代替 在每个小区间c1,x(i=1,2,…,n)上取一点 号(x1≤≤x)，以f()为高，△为底作小矩形， 用小矩形面积f(5)△x;近似代替相应的小曲边梯形面 积△A即△A;≈f(5)△c:i=1,2,·,n0). y=f(x) 2 Oa=xo x1 Xi-1 Xi x=bx 积标
(2) 近似代替 在每个小区间 [xi-1 , xi ](i = 1, 2, ··· , n)上取一点 xi (xi-1 ≤xi ≤ xi), 以 f(xi)为高，xi 为底作小矩形， 用小矩形面积 f(xi )xi 近似代替相应的小曲边梯形面 积 Ai， 即 Ai f (xi ) xi (i = 1, 2, ···, n) . x1 x2 xi xn O x y = f (x) y B A a = x0 x1 xi-1 x xn = b i
(3)求和 把n个小矩形面积加起来，得和式 ∑f(5)△x 它就是曲边梯形面积的近似值，即 i=1 A=∑△4，≈∑f传，)△x (4)取极限 当分点个数n无限增加，且小区间长度的最大值 (即入=max{△x})趋近于0时，上述和式的极限就是 曲边梯形面积的精确值，即 4=lim ∑f(5)△，： 入-→>0 i=1 积标
(4) 取极限 当分点个数 n 无限增加， 即 lim ( ) . 1 0 i n i A = f i x = → x (3) 求和 把 n 个小矩形面积加起来， ( ) , 1 i n i f i x = 得和式 x 它就是曲边梯形面积的近似值，即 ( ) . 1 1 i n i n i A = Ai f i x = = x 且小区间长度的最大值 (即 = max{xi })趋近于 0 时，上述和式的极限就是 曲边梯形面积的精确值
2.变速直线运动的路程 设一物体作直线运动，已知速度v=()是时间 t的连续函数，求在时间间隔[T,T]上物体所经 过的路程s. (1)分割 在时间间隔[T,T2]内任意插入n-1个分点： T1=t6<t<t<·<t-1<t<·<tm-1<tn=T2, 把[T,T2]分成n个小区间： [o,tl,41,,…,41,t,·,m1,tn 这些小区间的长度分别为： △t=4-4-1(i=1,2,·,m). 相应的路程s被分为n段小路程：△s;(i=1,2,: n)
2.变速直线运动的路程 设一物体作直线运动，已知速度 v = v(t) 是时间 t 的连续函数，求在时间间隔[T1,T2]上物体所经 过的路程 s . (1) 分割 在时间间隔 [T1,T2]内任意插入 n - 1 个分点： T1 = t0 < t1 < t2 < ··· < ti-1 < ti < ··· < tn-1 < tn = T2 ， 把[T1,T2]分成 n 个小区间： [t0 , t1 ]，[t1 , t2 ]，··· ，[t i-1 , t i ]， ··· ，[tn-1 , tn ]. 这些小区间的长度分别为： t i = t i – t i – 1 (i = 1, 2, ··· , n) . 相应的路程 s 被分为 n 段小路程：si (i = 1, 2, ··· , n)
(2)近似代替 在每个小区间上任意取一点5(1≤≤月， 用点的速度v()近似代替物体在小区间上的 速度，用乘积v()△（近似代替物体在小区间 [t1,4]上所经过的路程△s,即 △s:≈(5)△ti=1,2,…,m). 积标
(2) 近似代替 在每个小区间上任意取一点 xi (t i-1 ≤ xi ≤ t i), 用 xi点的速度 v (xi ) 近似代替物体在小区间上的 速度，用乘积 v (xi ) t i 近似代替物体在小区间 [t i-1 , t i ] 上所经过的路程 si，即 si v(xi ) t i (i =1, 2, ···, n)
(3)求和 s=∑A,≈5，)A4 =1 (4)取极限 s=lim ∑(5)△： 2→0 i=1 axoa 修都
(3) 求和 ( ) . 1 1 i n i n i i i s = s v t = = x (4) 取极限 lim ( ) . 1 0 i n i i s = v t = → x