第三节无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷大与无穷小的关系 XI+X= 四、无穷小的比较
第三节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、 无穷大 三、 无穷大与无穷小的关系 四、 无穷小的比较
一、 无穷小 1、无穷小的定义 如果函数f(x)当x→x,(或x→c)时的极限为零，那么称 函数f(x)为当x>,(或x→∝时的无穷小量，简称无穷小 例1im(x-2)=0,则称函数-2当x→2时为无穷小 x→2 im1=0,:函数'是当x→oo时的无穷小. x-→0X X 注1)无穷小量是一个变量，而不是一个数.但0可以作为无 穷小的唯一一个常数 -X+X 2)此概念对数列极限也适用.若imx。=0,称数列m 为n)o时的无穷小
1、无穷小的定义 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x f x x x x → → → → 如果函数 当 或 时的极限为零，那么称 函数 为当 或 时的无穷小量,简称无穷小. 一、 无穷小 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 注 1) 无穷小量是一个变量, 而不是一个数.但0可以作为无 穷小的唯一一个常数. 2) 此概念对数列极限也适用. 若 ,称数列 为 时的无穷小. lim = 0 → n n x n x n → lim( 2) 0, 2 2 . 2 − = 则称函数 − 当 → 时为无穷小 → x x x x 例1
3)ε-6(8-X)语言表述 ε>0,36>0(orX>0),当0X) 时，有f(x)<&则limf(x)=0 x→x0 (x→o) 4)不能说函数f(x)是无穷小，应该说在什么情况下的无穷 小.即指出自变量的变化过程 -2X十X 5)同样有x→x0+0,x→x-0,x→+∞，x→-0 时无穷小
lim ( ) 0 ( ) 0 = → → f x x x x 3) 语言表述 当 时 ,有 则 − ( − X) 0, 0(or X 0), f (x) 0 ( ) x − x0 x X 4) 不能说函数 是无穷小, 应该说在什么情况下的无穷 小. 即指出自变量的变化过程. f ( x) 5) 同样有 x → x0 + 0, x → x0 − 0, x → + , x → − 时无穷小
2、无穷小的性质 无穷小运算时除了可以应用极限运算法则外，还可以 应用以下一些性质进行运算： 性质1两个无穷小的代数和还是无穷小。 性质2有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。 性质3两个无穷小的乘积还是无穷小。 1 例1.求limx,sin x→0 X 解当x→0时，sin的极限不存在.2t X -X+X= 但当x→0时，1imx=0,而sin-≤1.2X x→0 X .∴limxsin-=0 x→0 X
2、无穷小的性质 无穷小运算时除了可以应用极限运算法则外，还可以 应用以下一些性质进行运算： 性质1 两个无穷小的代数和还是无穷小。 性质2 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。 性质3 两个无穷小的乘积还是无穷小。 0 1 1. lim sin x x → x 例 求 1 : 0 ,sin x x 解 当 → 时 的极限不存在. 0 1 0 ,lim 0, sin x x x → x 但当 → = 时 而| | 1. 0 1 lim sin 0 x x → x =
例2.求lim sin x X>00 X 解：把sn'看作sinx与上的乘积 X X ..lim sinx =0 X→00 X 3、无穷小与函数极限的关系 定理在自变量的同一变化过程x→x,(或x)中，函数 f(x)具有极限4的充分必要条件(x)=A+, 其中a是无穷小
3、无穷小与函数极限的关系 定理 其 中 是无穷小 具有极限 的充分必要条件是 在自变量的同一变化过程 或 中，函数 ( ) ( ) , ( ) 0 = + → → f x A f x A x x x sin . lim x x → x 例2求 sin 1 sin x x x x 解:把 看作 与 的乘积 sin lim 0 x x → x =
证明设Iimf(x)=A,则女s>0,36>0 x-→x0 使当0<x-x<时，有 f(x)-A<8 令a=f(x)-A,则a是x→x时的无穷小，且 f(x)=A+a 即证明了f(x)等于它的极限4与一个无穷小之和 充分性 +X-2X十X4 设f(x)=A+a,其中A是常数，a是x→x时 的无穷小，于是
证明 使 当 时，有 设 则 − = → 0 0 0 lim ( ) , 0, 0 x x f x A x x f (x) − A 令＝f (x)− A,则是x → x0 时的无穷小，且 f (x) = A+ 即证明了f (x)等于它的极限A与一个无穷小之和 充分性 的无穷小，于是 设f (x) = A+,其 中A是常数，是x → x0 时
f(x)-A=@ 因是x→x时的无穷小，所8>0,36>0， 使当0<x-x<时，有a<6 即 f(x)-A<ε 即证明了A是f(x)当x→x,时的极限 2X十X一 -X+X=0
f (x) − A = − → 使 当 时，有 因 是 时的无穷小，所以 0 0 0 0, 0, x x x x 即 f (x) − A 即证明了A是f (x)当x → x0时的极限
二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义：如果函数f(x)当x→x,(或x→c)时的绝对值无限增大，那么称 函数f(x)叫做当x→x(或x→∝)时的无穷大量，简称无穷大. 注意： (1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆； (2)切勿将imf(x)=o认为极限存在.X+X x→x0 -X+X,=0
二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x f x x x x → → → → 定义:如果函数 当 或 时的绝对值无限增大，那么称 函数 叫做当 或 时的无穷大量,简称无穷大. 注意： （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 2 lim ( ) . 0 （ ）切勿将 = 认为极限存在 → f x x x
例2证明im1,=o.(图1-28) x→1x-1 5 证 VM>0.要使 >M, -7.5-5-2.5 2.557.510 只要1-1M. 、+X-2X十X= x-1 -X+X=0 .'lim 1 =0. x→1X-1
.( 1 28 ) 1 1 2 lim1 = − → − 例 证明 图 x x 证 M 0 . , 1 1 M x − 要使 , 1 1 M 只要 x − , 1M 取 =, 1 当0 1 时M x − =. 1 1 M x − 就有 . 1 1 lim1 = − x → x 图 1 －28
三、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化过程中，如果x)为无穷大，则 1 f(x) 为无穷小；反之，如果fx)为无穷小，且f(x)≠0 1 则 为无穷大 f(x) 例3求极限lim x+4 x-→1 x-1 -2X十X= 解：lim x-1 x+4 =0 ∴.lim 三0+X=0 x→1X+4 x-→1 x-1
三、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则 ( ) 1 f x f ( x) 0 则 为无穷大 ( ) 1 f x 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 1 4 3 lim x 1 x → x + − 例 求极限 1 1 lim 0 x 4 x → x − = + 解 1 4 lim x 1 x → x + = −