一种自相似二维晶粒长大过程的Monte Carlo仿真

D0I:10.13374/i.issm1001053x.2003.03.035 第25卷第3期 北京科技大学学报 Vol.25 No.3 2003年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2003 一种自相似二维晶粒长大过程的 Monte Carlo仿真 王超刘国权 秦湘阁 北京科技大学材料科学与.程学院，北京100083 摘要采用Monte Carlo方法仿真了以Weibull尺寸分布为初始组织的正常晶粒长大过程. 结果显示，二维正常晶粒长大发展到准稳态长大阶段时，其晶粒尺寸分布不是经典Hillert理 论所预测的尺寸分布，而是仍然保持Weibull分布，并且参数基本不发生变化.与国际上同类 研究成果的比较进一步表明，不同B值的Weibull分布很适用于表征二维晶粒长大的准稳态 晶粒尺寸分布，且表征效果优于文献中的已有工作. 关键词Monte Carlo仿真；晶粒长大：显微组织演化 分类号TG111;0242;TP391 关于晶粒长大的经典Hillert理论"已为人们 种参数的表征，一直颇受关注.因此，在对晶 所熟知，但是它所预测的Hillert准稳态晶粒尺 粒尺寸分布对晶粒长大及组织演化影响的研究 寸理论分布至今极少得到实验或仿真结果的证 中，MC方法是很重要的. 实回.最近，Battaile和Holm的工作表明：初始具 若呈Hillert分布形式的晶粒组织是不稳定 有Hillert尺寸分布的显微组织在二维晶粒长大 的，呈Weibull分布形式的晶粒组织情况又如何？ 过程中趋于另外某种尺寸分布.Fayad等的仿真 为此，本文采用具有Weibull尺寸分布的晶粒组织 工作表明Weibul函数比Rayleigh,.Log-normal,, 作为初始组织，仿真其正常晶粒长大过程，研究 Gamma等分布函数更好地描述准稳态条件下的 其演化规律. 二维晶粒尺寸分布， 1晶粒长大与Monte Carlo仿真 关于晶粒长大的仿真，主要有两类：一类是 数值仿真，一类是图像仿真.数值仿真认为晶 11晶粒长大的物理过程 粒组织的初始分布对晶粒长大过程有着重要影 晶粒长大是无应变多晶材料退火过程中平 响⑨，但它主要集中于晶粒长大动力学和晶粒尺 均晶粒尺寸逐步增大的现象，是一个晶粒个数减 寸分布的研究，对晶粒形状等拓扑学特性却难以 少，晶界能降低的过程.正常晶粒长大的主要特 全面考虑.实际上，晶粒长大是晶粒尺寸变化和 征之一是晶粒长大速度和尺寸基本均匀 拓扑演变密切相关的过程.图像仿真中，连续扩 1.2 Monte Carlo仿真的基本思想 散界面场”、顶点模型倒、Monte Carlo以、表面演 MC仿真正常晶粒长大的基本过程是：将 化趴、晶界追踪等方法都可成功地用于晶粒长 仿真区域离散化为若干被赋以随机整数的微单 大仿真，但现有工作大多限于对某种无定形组织 元，相邻近且取向相同的微单元群体构成同一个 的晶粒长大过程.在众多的图像仿真方法中， 晶粒，取向不同的近邻单元之间存在晶界.相应 Monte Carlo(简称MC)方法能够方便地把组织本 于每个晶粒的随机整数与其晶粒取向相对应.随 身的拓扑学特性全面地考虑在内，并且可以直观 机选定微单元，进行再取向尝试，通过计算因微 显示材料组织及其演变过程，以及对组织进行多 单元取向改变而引起的组态能量的变化△E,确 定该单元成功再取向的概率p为： 收稿日期2002-09-23王超女，30岁，博士研究生 f1△E≤0 *国家自然科学基金项目资助课题(No.50171008) P-0 AE-O (1)

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 】 。 一种 自相似二维晶粒长大过程的 仿真 王 超 刘 国 权 秦 湘 阁 北 京科技大学材 料科学 与 程学 院 ， 北 京 摘 要 采用 方法仿真 了 以 七 尺 寸分布 为初 始 组织 的正 常晶粒长 大过程 结果显 示 ， 二维 正 常 晶粒长 大发展 到准稳态 长 大 阶段 时 ， 其 晶粒尺 寸 分布 不是 经典 理 论所 预测 的尺 寸分布 ， 而是仍然保持 亡 分布 ， 并 且参数基本不 发 生 变化 与国际 上 同类 研究成果 的 比较进一 步表 明 ， 不 同 刀值 的 分 布很 适 用 于 表征 二维 晶粒长 大 的准稳态 晶粒 尺 寸分布 ， 且 表征 效果 优于 文 献 中的 已 有 工 作 关 键词 仿真 晶粒 长 大 显 微组织 演 化 分 类号 关 于 晶粒 长 大 的经 典 理论 ，，已 为人 们 所 熟 知 ， 但是 它 所 预 测 的 准 稳 态 晶粒 尺 寸理 论分 布 至 今极 少 得 到 实验 或 仿真 结 果 的证 实 口 最 近 ， 和 的工 作 表 明 初 始 具 有 尺 寸 分布 的显 微组 织 在 二 维 晶粒 长 大 过程 中趋 于 另外 某种 尺 寸分布 等 ‘ ，的仿 真 工 作 表 明 函 数 比 ， 一 ， 幻。 等分布 函 数更好地 描 述 准 稳 态 条件 下 的 二维 晶粒尺 寸 分布 关 于 晶粒长 大 的仿 真 ， 主要 有 两 类 一 类 是 数值仿真 ， 一 类 是 图像 仿 真 数 值 仿 真认 为 晶 粒组 织 的初 始 分 布对 晶粒 长 大过 程 有 着 重 要 影 响 ‘ ，， 但 它 主要 集 中于 晶粒长 大 动力 学 和 晶粒 尺 寸分 布 的研究 ， 对 晶粒形状等拓 扑 学特性 却难 以 全 面考虑 实 际上 ， 晶粒 长 大 是 晶粒尺 寸 变化 和 拓 扑演 变 密切 相 关 的过 程 图像仿 真 中 ， 连 续 扩 散 界 面场 〔‘ ， ” 、 顶 点 模 型 “ ，、 一 ， ，、 表 面 演 化 ‘， 、 晶界追 踪 ‘ 等方法 都 可 成 功 地 用 于 晶粒长 大仿真 ， 但现有 工 作大 多 限 于对某种 无定 形 组织 的 晶 粒 长 大 过 程 在 众 多 的 图像 仿 真 方 法 中 ， 司 简称 方 法 能够 方 便地 把 组 织 本 身的拓 扑 学 特性 全 面地 考 虑 在 内 ，并且 可 以 直 观 显 示 材料组 织 及 其演 变过 程 ， 以 及 对组 织 进 行 多 收 稿 日期 刁 一 王 超 女 ， 岁 ， 博 士 研究 生 国家 自然科学基金 项 目资助课题 认 种 参 数 的表 征 ‘，一 ‘ ， 一 直颇 受 关注 因此 ， 在 对 晶 粒 尺 寸 分 布 对 晶粒长 大 及 组 织 演 化影 响 的研究 中 ， 方 法 是很 重 要 的 若 呈 分 布 形 式 的 晶粒组织 是 不 稳 定 的 ， 呈 七 分布形 式 的 晶粒组 织 情 况 又 如何 为此 ，本 文 采 用 具有 七 尺 寸分布 的 晶粒组织 作为初 始 组 织 ， 仿 真其 正 常 晶粒长 大过 程 ， 研究 其演 化 规 律 晶 粒 长 大 与 仿真 晶粒 长 大 的物 理 过 程 晶 粒 长 大 是 无 应 变 多 晶 材 料 退 火 过 程 中平 均 晶粒 尺 寸逐 步增 大 的现象 ， 是 一个 晶粒个数减 少 ， 晶界 能 降低 的过 程 正 常 晶粒 长 大的主 要 特 征 之一 是 晶粒 长 大 速度 和 尺 寸基本均 匀 · 仿 真 的 基 本 思 想 仿 真正 常 晶粒 长 大 的基本 过程 是 「 将 仿 真 区 域 离 散 化 为 若 干 被 赋 以 随机 整 数 的微 单 元 ， 相邻 近 且 取 向相 同 的微单元群 体构成 同一 个 晶粒 ， 取 向不 同的近 邻单元 之 间存在 晶界 相 应 于每个 晶粒 的 随机 整 数与其 晶粒取 向相 对应 随 机 选 定 微单元 ， 进 行再取 向尝试 ， 通 过计算 因微 单元 取 向改 变 而 引起 的组 态 能量 的 变 化 仓万 ， 确 定 该单 元 成 功 再取 向的概 率夕为 一 △百三 △石卜 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2003．03．035

Vol.25 No.3 王超等：-种自相似.维品粒长大过程的Monte Carlo仿真 ·227· 其中， E=-J∑（δss-1) (2) 应于晶粒面积)的大小确定随机选定微单元和与 J是正比于晶界能的常数，δxs是Kronecher函数， 其相邻且取向相同的微单元的个数，允许晶粒迅 S,为某被选定单元的取向，S为与其相邻微单元 速长大.进行700MCS的演化后，获得晶粒尺寸 的取向值（一般为其最近邻或次近邻单元），求和 分布满足Weibull分布且具有充满空间特性的初 包括所有近邻微单元.晶界附近微单元取向状态 始组织见图1(a),平均晶粒大小为20.1（任意单 的转换对应于晶界移动，即晶粒长大. 位)，图1(b)为相应的晶粒尺寸分布，晶粒尺寸以 l.3 Monte Carlo方法的改进 等面积圆半径的相对值=R表示，其中R, 在传统的MC算法中，由于微单元选取的任 分别代表晶粒半径及其平均值.此时晶粒尺 意性及再取向尝试的随机性，晶粒长大的仿真工 寸分布的其变异系数为0.391.分别采用Weibull 作往往需要在中、大型计算机上进行.经过文献 (B-2.73),Gamma,Lognormal分布函数对初始组 14]的改进之后，大大提高了仿真效率，使得晶 织中的晶粒尺寸分布进行拟合，相应的值分别 粒长大的仿真工作能够在微机上进行，但这 为0.00089,0.005和0.010.这表明，在这些分布函 种方法的仿真效率仍然不是很高，在晶粒长大的 数中=2.73的Weibull函数可以最好地表述初态 后期则更低.被选定单元（取向为）进行再取向 组织的晶粒尺寸分布 尝试时，假设再取向值为S,如果S=S,则这种再 (a) 取向无论成功与否，对晶粒长大而言均无任何意 义，此时若仍然计算与再取向相关的能量变化， 只能是徒耗机时；只有S,+S情况下的再取向才 有可能成为有效再取向，也才有可能对晶粒长大 有贡献 改进方法是：在文献[14的基础上，随机选取 微单元并从其近邻微单元取向中任意抽取取向 (6) ●初始态 ----Weibull B=2.5 值，比较二取向值，若二者相同，则放弃再取向尝 1.0 Weibull 8=2.73 试，进行再一次微单元的随机选取；如果取向不 0.8 ---Gamma a=5.86-0.18 ··L0 gnormal o-0.42, 同，则计算相关的的能量变化以确定所微单元再 0.6 H=0.044 取向的成功与否，经过修正后，实现晶粒长大的 0.4 算法为：(1)随机选取取向为S的微单元.(2)从(1) 0.2 中所选微单元的六个最近邻中随机抽取其再取 0.0 向值S.(3)判断S,S,是否相等.若S=S,则重复(1)； 0.0 0.51.01.52.0 2.5 3.0 若S,≠S,表明所选微单元存在于晶界上，继续 (4).(4)根据式(2)计算与可能的取向变化相关的 图1初始组织)（大小仅为仿真组织整体的1/16）和相 能量变化.(5)根据式(1)确定取向S是否发生向S 应的晶粒尺寸分布(b) Fig.1 Initial microstructure with the Weibull grain size 的转变；(6)重复(1(5).每当某一微单元被随机 distribution and the corresponding grain size distribution 选中，仿真时间则增加(I/V)Monte Carlo步（简记 functions 为MCS).N为系统中微单元总数. (2)组织演化的仿真.采用前述经过修正的 2仿真结果与讨论 MC算法，仿真了正常晶粒长大过程.图2是不同 仿真时刻下的组织形貌.可以看出，晶粒组织均 2.1 Monte Carlo仿真过程 匀，平均晶粒尺寸的增大也比较明显， (1)初始组织的生成.将仿真区域离散成由 2.2晶粒长大的动力学与晶粒尺寸分布的演化 2000×2000个正六边形组成的微单元群体.设随 ()晶粒长大动力学.正常晶粒长大动力学的 机数呈Weibull分布，其具体形式为 基本方程为： =是rep-(gy (3) R"-Ro=Mt-to) (4) 其中，a=1/T(1+l/B),厂为Gamma函数.根据π（相 其中，R和R分别为t和初始时刻晶粒的平均晶

王超 等 一 种 自相 似 二 维 晶粒长 大 过 程 的 仿 真 · 、 嗽甲卜 ﹄一 ︸ ︸ 八” ， 侧架铃牵长展 其 中 ， 一兀 ， 一 了是正 比于 晶界 能 的 常数 ， 虱 是 函 数 ， 民为 某 被 选 定 单 元 的取 向 ， 冬为 与其 相 邻 微 单 元 的取 向值 一 般 为其最 近邻或 次 近邻 单元 ， 求 和 包 括 所有 近邻微单元 晶界 附近微单元取 向状态 的转换对 应 于 晶界 移 动 ， 即 晶粒 长 大 · 方 法 的 改进 在传统 的 算法 中 ， 由于微单 元选 取 的任 意性 及 再取 向尝试 的随机性 ， 晶粒长 大 的仿 真工 作往 往 需 要 在 中 、 大型计 算 机 上进 行 经 过 文 献 「 的改进 之后 ， 大大 提 高 了仿 真效 率 ， 使 得 晶 粒 长 大 的仿 真工 作能够 在 微机 上 进 行 ‘乎 ， ， 但这 种 方法 的仿真效率仍然不是很 高 ， 在 晶粒 长大 的 后期 则 更 低 被 选 定 单元 取 向为 进 行再取 向 尝试时 ， 假设 再取 向值 为冬 ， 如 果 及二况 ， 则 这种 再 取 向无论成 功 与否 ， 对 晶粒 长大 而 言均无任何 意 义 ， 此 时若仍 然计算 与再 取 向相 关 的能 量 变 化 ， 只能是徒 耗 机 时 只有 及羊 凡情 况 下 的再 取 向才 有 可 能成 为有 效再取 向 ， 也 才有 可 能对 晶粒 长大 有 贡献 改进方 法是 在 文献〔 的基础 上 ， 随机选 取 微单元 并从 其近 邻 微 单元 取 向 中任 意抽取 取 向 值 ， 比较二取 向值 ， 若 二 者相 同 ， 则放 弃再取 向尝 试 ， 进 行 再 一 次微单 元 的随机选 取 如果 取 向不 同 ， 则计算 相关 的 的能量 变化 以确定 所微单元再 取 向 的成功 与否 经 过 修 正 后 ， 实现 晶粒 长 大 的 算 法 为 随机 选 取 取 向为况的微 单元 从 中所 选 微 单 元 的六 个 最 近邻 中随 机 抽取 其再取 向值凡 判 断况 ， 凡是否相 等 若及钱 ， 则重 复 若凡羊 况 ， 表 明所 选 微 单 元存 在 于 晶界 上 ， 继 续 根 据式 计算 与 可 能 的取 向变化相关 的 能量 变 化 根 据式 确 定 取 向叹是 否 发 生 向冬 的转变 重 复 曰 每 当某 一微单 元 被 随机 选 中 ， 仿真 时 间则增 加 娜 步 简记 为 为 系统 中微 单元 总数 应 于 晶粒 面积 的大小 确 定 随机选 定 微单元 和 与 其相邻且取 向相 同的微单元 的个数 ， 允 许晶粒迅 速 长 大 进 行 的演化 后 ， 获 得 晶粒尺 寸 分 布满 足 分布且具有 充 满 空 间特性 的初 始组 织 见 图 ， 平 均 晶粒大小 为 任意 单 位 ， 图 为 相 应 的 晶粒 尺 寸分布 ， 晶粒 尺 寸 以 等 面 积 圆 半 径 的 相 对 值 产尺 尺 表 示 ， 其 中， 分别 代 表 晶粒半径 及其平 均值 此 时 晶粒 尺 寸 分 布 的其变 异 系 数 为 分别采 用 少 ， ， 罗 分 布 函数 对 初 始组 织 中的 晶粒 尺 寸 分 布进 行 拟 合 ， 相 应 的了值分别 为 ， 和 这 表 明 ， 在 这些 分 布 函 数 中户 的 函数可 以最好地 表述 初 态 组 织 的 晶粒 尺 寸分 布 、 凡 初始态 一 七 少 － 七 刀 一 刀 二 … 下住 ， 产二 仿 真 结 果 与 讨论 仿 真 过 程 初 始 组 织 的生 成 将 仿 真 区 域 离 散 成 由 个正 六 边 形 组 成 的微 单元 群体 设 随 机 数 言呈 七 分 布 ， 其具 体形 式 为 卜 令 尸一 卜 哈。 其 中 ， 二 ， 为 函 数 根 据兀扩 相 图 初始 组 织 大 小 仅 为 仿 真组 织 整体 的 和 相 应 的 晶粒 尺 寸 分 布 让 让 组 织 演 化 的仿 真 采用 前 述 经 过 修正 的 算法 ， 仿真 了正 常 晶粒 长大过 程 图 是 不 同 仿真 时 刻 下 的组 织 形 貌 可 以 看 出 ， 晶粒 组 织 均 匀 ， 平 均 晶粒 尺 寸 的增 大 也 比较 明显 晶粒 长 大 的 动 力 学 与 晶粒 尺 寸 分 布 的演 化 晶粒长 大动力 学 正 常 晶粒长 大动力 学 的 基 本 方 程 为 一 矛 弃《 一 其 中 ， 和 。 分别 为 和初 始 时 刻 晶粒 的平 均 晶

·228· 北京科技大学学报 2003年第3期 6 图2不同仿真时刻的组织（大小仅为仿真组织整体的1/16.(a)1=1000MCS;(b)t=3000MCS;(c)1-6000MCS Fig.2 Microstructures at different Monte Carlo steps 粒尺寸，m为晶粒长大指数n的倒数，M为晶界迁 晶粒尺寸分布的变异系数在整个组织演化过程 移率 中基本保持在0.40左右，明显偏离Hillert分布的 对图3中平均晶粒尺寸一时间变化曲线进行 变异系数0.331.这表明初始具有Weibull晶粒尺 拟合表明：在初始阶段，晶粒长大指数为0.493； 寸分布的组织是稳定的，而用Hillert分布函数描 在2000MCS以后，晶粒长大指数为0.506，这与 写这种准稳态晶粒尺寸分布是不合适的.文献 理论上0.5的长大指数非常接近.说明本次仿真 [3]的工作也表明：初始具有Hillert分布的组织在 的晶粒长大过程发展到了经典理论预言的准稳 演化过程中将发展成另外一种截然不同的分布， 态阶段 Ros对文献[3]中组织演化的结果进行了拟合（见 (2)晶粒尺寸分布的演化.在对初始组织所进 图6的点划线).本文重新拟合了文献[3]中的仿 行的6000MCS的演化过程中，晶粒尺寸的分布 真结果，发现两种不同初始组织（都具有Hillert晶 形式在2000MCS之后基本保持不变（见图4），这 粒尺寸分布)发展到准稳态阶段的晶粒尺寸分布 也说明晶粒长大达到了准稳态生长阶段.对其中 可分别用=2.13和B-2.07的Weibull分布函数表 经过6000MCS演化后组织的晶粒尺寸分布用 达，其拟合值分别为1.1×10和9.9×104.从图6 Weibull函数进行了拟合，其值达0.0014.图5中 中可以看出，Weibull函数的拟合结果要优于文献 60 1.2 一Weibull B=2.69 50 0.506 1.0 Weibull B=2.50 40 型 ----Hillert 0.493 0.8 4000MCS 30 0.6 A 5000 MCS 6000MCS 20 0.4 10 聚 0.2 0 0.0 0 1 3 3 4 5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.02.5 3.0 t/10 MCS r 图3平均晶粒尺寸与时间关系曲线 图4相对晶粒尺寸分布 Fig.3 Mean grain size vs simulation time Fig.4 Distribution of relative grain size 0.50 1.2 Tiled,Battaile et al 0.45 1.0 -Weibull 8=2.13 o Tessellated,Battaile et al o0-0o0. 0.40 0.8 ---Weibull 8-2.07 三 -·Rios 0.35 0.6 8 0.30 。模拟态 0.4 CVR=0.400 0.25 Weibul192.50:CVR0.428 聚 0.2 Weibull (B=2.73):CV (R)=0.396 0.20 --'Hillert:CV (R)=0.331 0.0 6 丹： 0 1 2 3 6 0.0 0.5 1.01.5 2.02.53.0 t/10MCS P 图5尺寸分布变异系数与时间关系曲线 图6文献)中结果的拟合曲线 Fig.5 Variation coefficient of grain size distribution Fig.6 Fitting curves of results from reference [3] vs Monte Carlo steps

一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 圈 不 同仿真 时刻 的组 织 大小 仅 为 仿 真 组 织 整体 的 巧 · 粒尺寸 ， 为 晶粒长 大指数 的倒数 ， 材为 晶界迁 晶 粒 尺 寸 分布 的 变 异 系 数 在 整 个 组 织 演 化 过 程 移 率 中基本保持在 左 右 ， 明显 偏 离 分布 的 对 图 中平 均 晶粒尺 寸一时 间变 化 曲线进 行 变 异 系 数 这 表 明初 始 具有 七 晶粒尺 拟合表 明 在初 始 阶段 ， 晶粒 长 大 指 数为 寸分布 的组织 是稳 定 的 ， 而 用 分布 函数描 在 以后 ， 晶粒 长 大指 数 为 ， 这 与 写 这 种 准 稳 态 晶粒尺 寸分 布是 不 合适 的 文 献 理论上 的长 大指 数非 常接 近 说 明本次 仿真 的工 作也 表 明 初 始 具有 分布 的组 织 在 的 晶粒长 大过程 发 展 到 了经 典理论 预 言 的 准 稳 演化 过 程 中将发展 成另 外 一 种截然 不 同的分布 ， 态 阶段 形 对文 献 」中组 织 演 化 的结果进行 了拟合 见 晶粒尺寸分布 的演化 在 对初 始组织 所进 图 的点划 线产 本 文重 新 拟 合 了文献 中的仿 行 的 的演化 过程 中 ， 晶粒尺 寸 的分布 真结果 ， 发现两种 不 同初始组 织 都具有 晶 形 式 在 之后 基本保持不 变 见 图 ， 这 粒尺 寸分布 发展 到 准稳 态 阶段 的 晶粒尺 寸分布 也说 明晶粒 长 大达 到 了准稳 态 生长 阶段 对其 中 可 分别用户 和户 的 分布 函数表 经 过 演 化 后 组 织 的 晶粒 尺 寸 分布 用 达 ， 其拟 合丫值 分别 为 一 ，和 ‘ 一 从 图 函数进行 了拟合 ， 其了值达 图 中 中可 以看 出 ， 函 数 的拟 合结果要 优 于文 献 － 户 一 七 户 一 八 口 一八 犷刀 口 住 ’ 抽梦压一 一 一 飞 哥侧却鬓翠 ， 案 叫 八护 图 平 均 晶粒尺 寸 与 时 间 关 系 曲线 · 七 柱 图 相 对 晶粒 尺 寸分 布 · 七 氏 ，， － 七 户氏 改 一 户 一 ’ 一 形 ， ‘ ‘ 六‘ 卜 它见‘习决矛一 卜 一 侧舅却哥长骥 一 ‘ ，戈 曰 以 一 口 心 模拟态 一 ‘ 一 。 · “ “ ‘ 刀 － 七 留 · · 厂一 ‘ 拜 时 ︵巴口 圈 尺 寸 分布 变异 系数与 时间关 系 曲线 · 泣 图 文 献 中结 果 的拟合 曲线 比 】

Vol.25 No.3 王超等：一种自相似二维晶粒长大过程的Monte Carlo仿真 ·229 [15]的工作.文献[4]采用前沿追踪法仿真初始 mensions [J].Scripta Mater,1999,40(10):1199 无定形组织的晶粒长大过程，亦获得具有=2.5 5 Rios P R.Effect of size distribution kinetics of normal 的Weibull分布形式的准稳态晶粒尺寸分布，综 grain growth and of particle coarsening [J.Acta Metall 合本文的仿真结果与文献[3,4]的仿真数据，可推 Mater,J990,38(10:2017 知在稳态条件下的晶粒尺寸分布可能是多种B 6 Chen L Q.A novel computer simulation technique for 值的Weibull分布，而不是某个惟一B值Weibull modeling grain growth [J].Scripta Metall.1995.32(1): 115 分布函数 7 Fan D,Chen L Q.Computer simulation of grain growth 3结论 using a continuum field model []Acta Mater,1997,45 (2):611 用Monte Carlo方法仿真了具有Weibull晶粒 8 Weygand D,Brechet Y,Lepinoux J.A vertex dynamics 尺寸分布初始组织的二维正常晶粒长大过程，获 simulation of grain growth on two dimensions [J.Philo- 得的准稳态的晶粒尺寸分布仍可以由Weibull分 sophical Magazine B,1998,78:329 9 Song X,Liu G.Computer simulation of normal grain gro- 布函数表示，用Hillert理论分布来表示这种准稳 wth in polycrystalline thin films [J].J Mater Sci,1999, 态分布却是不合适的.本文的仿真结果与文献中 34:2433 已有的仿真数据都表明，二维准稳态长大条件下 I0宋晓艳，刘国权，何宜柱.一种改进的晶粒生长Mon- 的晶粒尺寸分布可以用不同B值的Weibull分布 te Carlo模拟方法[).自然科学进展，1998,8(3)：337 函数来很好地描述， 11钟晓征，陈伟元，王豪才，等。多晶材料晶粒生长的 计算机仿真方法Ⅲ仍.功能材料，1999,30(3：232 参考文献 12叶日晴，赵建华，何陵辉，退火过程中晶粒生长的二 1 Hillert M.On the theory of normal and abnormal grain 维计算机仿真月.无机材料学报，2001,16(1)：122 growth [J].Acta Metall,1965,13(3):227 13 Wakai F,Enomoto N,Ogawa H.Three-dimensional 2 Atkinson H V.Theories of normal grain growth in pure microstructural evolution in ideal grain growth-general single phase system [J].Acta Metall Mater,1988,36(3): statistics [J].Acta Mater,2000,48:1297 469 14 Radhakrishnan B,Zacharia T.Simulation of curvature- 3 Battaile CC,Holm E A.Evolution of 2D Potts model grain driven grain growth by using a modified Monte Carlo al- microstructures from an initial Hillert size distribution gorithm [J].Metall Mater Trans,1995,26A(1):167 [A].Weiland H,Adams B L,Rollert A D.Grain Growth 15 Rios P R.Comparison between a grain size distribution in Polycrystalline Materials III [C].TMS,Warrendale obtained by a Monte Carlo Potts model and by an analy- 1998.119 tical mean field model[J].Scripta Mater,1999,41(12): 4 Fayad M,Thompson C V,Frost HJ.Steady-state grain- 1283 size distributions resulting from grain growth in two di- A Monte Carlo Simulation of Two-dimensional Grain Growth Process with Self- Similar Size Distribution WANG Chao,LIU Guoquan,OIN Xiangge Materials Science and Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT To investigate the effect of initial grain size distribution on normal grain growth,Monte Carlo simu- lation was performed starting from an initial microstructure with the Weibull grain size distribution in two-dimen- sion.The results show that the grain structure evolved alike with the initial,and the grain size distribution of the quasi-stationary state could be described well by the Weibull function but not by classical Hillert distribution.Com- parison with some other results further suggests that Weibull distribution with different values may well be used to describe the quasi-stationary grain size distribution. KEY WORDS Monte Carlo simulation;grain growth;microstructure evolution

】 王 超 等 一 种 自相 似 二 维 晶粒 长 大 过 程 的 仿 真 · 〔 的工作 文 献 采 用 前沿追 踪 法仿 真初 始 无定形 组 织 的 晶粒 长 大过程 ， 亦 获得 具 有户 的 分 布形 式 的准稳 态 晶粒尺 寸分布 综 合本 文 的仿 真结果 与文献 ， 的仿 真数据 ， 可推 知 在 稳 态 条 件 下 的 晶 粒 尺 寸 分 布可 能是 多 种 刀 值 的 分布 ， 而不 是某 个惟一 刀值 分布 函数 结 论 用 盯 方法 仿真 了具有 七 晶粒 尺 寸分布初 始组织 的二维 正 常 晶粒 长 大过程 ， 获 得 的准 稳 态 的 晶粒 尺 寸分布仍可 以 由 分 布 函数表示 ， 用 理论 分布来 表示 这 种 准稳 态分布却是不合适 的 本 文 的仿真结果 与文献 中 已 有 的仿 真数据都表 明 ， 二维 准稳 态 长 大条件 下 的 晶粒 尺 寸 分 布可 以用 不 同刀值 的 分布 函数来很好 地 描 述 参 考 文 献 ， ， ，沈 ， ， ， 以 队 ， ， ， 叭厄厅 ， ， 一 ， ， 几 节比 眺 ， ， ， ， ， ， 七 ， ， ， ， ， 叭 ， ， 宋晓艳 ， 刘 国权 ， 何宜柱 一种改进 的 晶粒生 长 模拟 方法 自然 科学进 展 ， ， 钟 晓征 ， 陈伟元 ， 王 豪才 ， 等 多 晶材料 晶粒生 长 的 计算机仿真方法 功 能材料 ， ， 叶 日晴 ， 赵 建华 ， 何 陵辉 退 火 过程 中晶粒生 长 的二 维计算机仿 真 无机材 料学 报 ， ， 认 ， 一 一 ， ， “ ， 。 叭 ， ， 几 帅 叼 ， ， 一 节 洲入写 ， ， 户吸卯 即 ， 饰 ， ， ， 叭 七 一 ， 一 娜 认七 刀 一 孚