多层LEMs性能与结构参数的关系

第36卷第3期 北京科技大学学报 Vol.36 No.3 2014年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2014 多层LEMs性能与结构参数的关系 邱丽芳”，楚红岩2)，杨德斌)四，史改改” 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)天津工程机械研究院，天津300409 ☒通信作者，E-mail:ydb@usth.edu.cn 摘要建立一多层LEMs柔顺机构的一般伪刚体模型.基于LET铰链等效弹簧刚度模型，推导出LEMs输入载荷和输出角 位移的一般理论计算公式。分析了影响机构角位移输出的主要结构参数，以及相同载荷下这些参数对角位移输出的影响趋 势.根据分析结果，对机构实例的结构尺寸参数设计了一组初始值.通过实例的理论计算与有限元仿真，分析得到机构的LET 外铰链扭转片段长度和宽度尺寸变化对角位移和误差的不同影响效果 关键词柔顺机构：多层：伪刚体模型：性能：结构：铰链 分类号TH122 Relationship between mechanism performance and structural parameters of multi-ayered lamina emergent mechanisms QIU Li-fang,CHU Hong-yan,YANG De-bin,SHI Gai-gai 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Tianjin Research Institute of Construction Machinery,Tianjin 300409,China Corresponding author,E-mail:ydb@ustb.edu.cn ABSTRACT A general pseudo-rigid-body model was built for multi-ayered lamina emergent mechanisms (LEMs).Based on the analogous linear coil spring model of lamina emergent torsional (LET)joints,a general theoretical formula was derived to describe the relationship between the input load and the output angular displacement of LEMs.The main structural parameters influencing the output were analyzed,and their influence trends were studied in the same load case.According to analysis results,a set of initial values was designed to the structural parameters for an example of the mechanism.The effects of the length and width of LET joint torsional hinges on the angular displacement and error of the mechanism were discussed by theoretical calculations and finite element simulation KEY WORDS compliant mechanisms:multilayers:pseudo-rigid-body models:performance:structure:hinges LEMs机构(lamina emergent mechanisms)是在 航空器件和医学植入装置：同时，它在运输和存储等 同一材料平面内加工完成，并可在加工平面外实现 需节省空间成本的场合也得到了广泛应用，如外科 运动的一类新型柔顺机构习，是利用自身柔性构 手术器械、太空使用装置和搜救设备四 件的弹性变形来传递或转换力、运动或能量.与传 本文结合刚性机构分类方法因和刚体代替综 统的刚性机构相比，除具备柔顺机构零件数量少、重 合法（rigid-body replacement synthesis design ap- 量轻、加工装配维护成本低、磨损小、精度和可靠性 proach),即先设计满足功能要求的刚性机构，再直 高等优势外回，LEMs机构具有的独特特点，不但加 接用相应的柔顺构件代替刚性构件：或把复杂的刚 工过程简单、经济，加工材料种类多、成本低，而且在 性机构分解成功能简单的刚性机构后，用具有相似 设备空间受限时，能够满足设计需求，如电子设备、 功能的柔顺构件代替刚性构件的设计方法6-，设 收稿日期：2012-12-22 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50975024) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.03.017:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 3 期 2014 年 3 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 3 Mar． 2014 多层 LEMs 性能与结构参数的关系 邱丽芳1) ，楚红岩1，2) ，杨德斌1) ，史改改1) 1) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 2) 天津工程机械研究院，天津 300409  通信作者，E-mail: ydb@ ustb． edu． cn 摘 要 建立一多层 LEMs 柔顺机构的一般伪刚体模型． 基于 LET 铰链等效弹簧刚度模型，推导出 LEMs 输入载荷和输出角 位移的一般理论计算公式． 分析了影响机构角位移输出的主要结构参数，以及相同载荷下这些参数对角位移输出的影响趋 势． 根据分析结果，对机构实例的结构尺寸参数设计了一组初始值． 通过实例的理论计算与有限元仿真，分析得到机构的 LET 外铰链扭转片段长度和宽度尺寸变化对角位移和误差的不同影响效果． 关键词 柔顺机构; 多层; 伪刚体模型; 性能; 结构; 铰链 分类号 TH 122 Ｒelationship between mechanism performance and structural parameters of multi-layered lamina emergent mechanisms QIU Li-fang1) ，CHU Hong-yan1，2) ，YANG De-bin1)  ，SHI Gai-gai1) 1) School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Tianjin Ｒesearch Institute of Construction Machinery，Tianjin 300409，China  Corresponding author，E-mail: ydb@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A general pseudo-rigid-body model was built for multi-layered lamina emergent mechanisms ( LEMs) ． Based on the analogous linear coil spring model of lamina emergent torsional ( LET) joints，a general theoretical formula was derived to describe the relationship between the input load and the output angular displacement of LEMs． The main structural parameters influencing the output were analyzed，and their influence trends were studied in the same load case． According to analysis results，a set of initial values was designed to the structural parameters for an example of the mechanism． The effects of the length and width of LET joint torsional hinges on the angular displacement and error of the mechanism were discussed by theoretical calculations and finite element simulation． KEY WOＲDS compliant mechanisms; multilayers; pseudo-rigid-body models; performance; structure; hinges 收稿日期: 2012--12--22 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 50975024) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 03． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn LEMs 机构( lamina emergent mechanisms) 是在 同一材料平面内加工完成，并可在加工平面外实现 运动的一类新型柔顺机构［1--2］，是利用自身柔性构 件的弹性变形来传递或转换力、运动或能量． 与传 统的刚性机构相比，除具备柔顺机构零件数量少、重 量轻、加工装配维护成本低、磨损小、精度和可靠性 高等优势外［3］，LEMs 机构具有的独特特点，不但加 工过程简单、经济，加工材料种类多、成本低，而且在 设备空间受限时，能够满足设计需求，如电子设备、 航空器件和医学植入装置; 同时，它在运输和存储等 需节省空间成本的场合也得到了广泛应用，如外科 手术器械、太空使用装置和搜救设备［4］． 本文结合刚性机构分类方法［5］和刚体代替综 合 法 ( rigid-body replacement synthesis design ap￾proach) ，即先设计满足功能要求的刚性机构，再直 接用相应的柔顺构件代替刚性构件; 或把复杂的刚 性机构分解成功能简单的刚性机构后，用具有相似 功能的柔顺构件代替刚性构件的设计方法［6--8］，设

·384 北京科技大学学报 第36卷 计了一多层LEMs机构，并建立其一般伪刚体模型， δW=∑(F,δz),+∑(M,δ0，)+ 基于LET铰链等效弹簧刚度模型，推导出输入载荷 和输出角位移的一般理论计算公式.通过理论和仿 ∑(T,òy,)+F.ò2 (1) 真分析，探索了影响该机构角位移输出的主要结构 式中：F,为作用在杆件i上的力，可以表达为F:= 参数，以及相同载荷下这些参数对角位移输出的影 X,i+Yj,X和Y分别为F:在x和y轴上的分量： 响趋势 M,是作用在杆件i上的力矩：F=-人（中）i,f是 1多层LEMs机构伪刚体模型的建立 弹簧力，它是关于中4=11-r1o的函数(o为滑块的 初始位置).虚位移δz,可以用链式微分法对位移矢 根据文献6]，以奥迪A4水杯固定器为研究对 量z:求导得出.80：=0：-0o,00为i杆的初始角度， 象，通过刚体代替综合法设计了一多层LEMs机构， O:为i杆的平衡状态角度.T:是特征铰链i处的力 如图1所示.采用厚度为2mm的ABS工程塑料，基 矩，铰链i处扭簧的虚功可由铰链处的力矩T:和相 本性能参数为：弹性模量E=2200MPa,泊松比u= 应的Lagrangian坐标中：确定，坐标为中1=02-02o, 0.34,屈服应力σ，=50MPa.主要加工方法有切割、 2=(02-00）-(03-00）,3=(0,-6o）-(03- 粘贴、拼接、压模等.按照平面精雕加工后装配，执 00),杆件i=5~8的坐标公式与i=1~4时对应. 行构件选用普通钢材 对于含有LET铰链的伪刚体模型，T:=一k·其 半铰链 动力构件执行构件 中，根据等效弹簧刚度模型，LET内铰链的弹簧 ET内铰链 常数为km=kr+2k 2krk ,LET外铰链的弹簧常数为 LET外铰链 LET外较链 keg=5ky+4k .k表示扭转片段的弹性常数，k= 图1多层LEMs机构模型 Fig.1 Model of the multi-ayered LEMs 人=（兮-0.21六）K为与模被面几何 图1所示机构可看作是集中柔度全柔顺机 形状有关的参数，当横截面为圆形时K,相当于极惯 构可，建立其一般伪刚体模型如图2所示，其虚功方 性矩J:Ln为扭转片段长度；G为材料剪切模量；L 程可基于四杆机构、滑块机构的虚功方程推出可 为扭转片段宽度，t为LET较链厚度.kg表示弯曲 由于大变形发生在LET铰较链处，与短臂柔铰类似， 因此把特征铰链放在LET铰链总长度的中点，并将 片段的弹性密数：一是，E为材料弹性模量，为 其处理为含有扭簧的转动副 梁的惯性矩，L为弯曲片段长度习.符号意义见 假设所受力和力矩如图2所示，则该机构总虚 图2和图3所示. 功为 滑块机构（动力构件）虚功为 Y 图2多层LEMs机构一般伪刚体模型 Fig.2 General pseudo-rigid-body model of the multi-ayered LEMs

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 计了一多层 LEMs 机构，并建立其一般伪刚体模型， 基于 LET 铰链等效弹簧刚度模型，推导出输入载荷 和输出角位移的一般理论计算公式． 通过理论和仿 真分析，探索了影响该机构角位移输出的主要结构 参数，以及相同载荷下这些参数对角位移输出的影 响趋势． 1 多层 LEMs 机构伪刚体模型的建立 根据文献［6］，以奥迪 A4 水杯固定器为研究对 象，通过刚体代替综合法设计了一多层 LEMs 机构， 如图 1 所示． 采用厚度为 2 mm 的 ABS 工程塑料，基 本性能参数为: 弹性模量 E = 2200 MPa，泊松比 μ = 0. 34，屈服应力 σs = 50 MPa． 主要加工方法有切割、 粘贴、拼接、压模等． 按照平面精雕加工后装配，执 行构件选用普通钢材． 图 1 多层 LEMs 机构模型 Fig． 1 Model of the multi-layered LEMs 图 1 所示机构可看作是集中柔度全柔顺机 构［9］，建立其一般伪刚体模型如图 2 所示，其虚功方 程可基于四杆机构、滑块机构的虚功方程推出［3］． 由于大变形发生在 LET 铰链处，与短臂柔铰类似， 因此把特征铰链放在 LET 铰链总长度的中点，并将 其处理为含有扭簧的转动副． 图 2 多层 LEMs 机构一般伪刚体模型 Fig． 2 General pseudo-rigid-body model of the multi-layered LEMs 假设所受力和力矩如图 2 所示，则该机构总虚 功为 δW = ∑i ( Fiδz) i + ∑i ( Miδθi ) + ∑i ( Tiδψi ) + Fsδz4 ． ( 1) 式中: Fi 为作用在杆件 i 上的力，可以表达为 Fi = Xi ^ i + Yi ^ j，Xi 和 Yi 分别为 Fi 在 x 和 y 轴上的分量; Mi 是作用在杆件 i 上的力矩; Fs = － fk ( ψ4 ) ^ i，fk 是 弹簧力，它是关于 ψ4 = r1 － r10 的函数( r10 为滑块的 初始位置) ． 虚位移 δzi 可以用链式微分法对位移矢 量 zi 求导得出． δθi = θi － θi0，θi0为 i 杆的初始角度， θi 为 i 杆的平衡状态角度． Ti 是特征铰链 i 处的力 矩，铰链 i 处扭簧的虚功可由铰链处的力矩 Ti 和相 应的 Lagrangian 坐标 ψi 确定，坐标为 ψ1 = θ2 － θ20， ψ2 = ( θ2 － θ20 ) － ( θ3 － θ30 ) ，ψ3 = ( θ4 － θ40 ) － ( θ3 － θ30 ) ，杆件 i = 5 ～ 8 的坐标公式与 i = 1 ～ 4 时对应． 对于含有 LET 铰链的伪刚体模型，Ti = － keqiψi ． 其 中，根据等效弹簧刚度模型［1--2］，LET 内铰链的弹簧 常数 为 keq = 2kT kB kT + 2kB ，LET 外铰链的弹簧常数为 keq = kT kB 5kT + 4kB ． kT 表示扭转片段的弹性常数，kT = KiG LTL ，Ki = LTW t ( 3 1 3 － 0. 21 t L ) TW ，Ki 为与横截面几何 形状有关的参数，当横截面为圆形时 Ki 相当于极惯 性矩 J; LTL为扭转片段长度; G 为材料剪切模量; LTW 为扭转片段宽度，t 为 LET 铰链厚度． kB 表示弯曲 片段的弹性常数，kB = EIB LBL ，E 为材料弹性模量，IB 为 梁的惯性矩，LBL为弯曲片段长度［1--2］． 符号意义见 图 2 和图 3 所示． 滑块机构( 动力构件) 虚功为 · 483 ·

第3期 邱丽芳等：多层LEMs性能与结构参数的关系 ·385· 8W1=∑(F8z,)+∑(M0,)+ 将式(11)代入到式(7)，得到 8W3=A3δ0 (12) 3 三(T8)+E, (2) 式中， A3 (-r6 Xiosin 06+ 对于广义坐标q=02,虚功可表达为 Yocos0)osin (1+co) 8W1=(A1+g2B,)δ02 (3) aos%mt8+%sin月+T. 综合式(3)、(5)和(12)，并对该系统运用虚功 式中 原理得到 A1=[-X2a2-Y2b2-r2(X3+X)]sin02+ δW,+δW,+6W3=0. (13) (-X2b2+Y2a2+r2Y3)cos02+M2+ 由机构的几何位置关系得出 T +T2-F,rasin @2' r,sin 0,+rasin 03 =e, (14) B,=（-X3a3-Y,b3-r3X4)sin93+（-X3b3+ Y3as)cos 0s M3 -T2 +T3 -F,rssin 03, 06 arctan as +02, (15) 、_ò0-20os8: 后=a酸+b经 (16) g2=802 -r3c0s03 式中，a为转动中心到力作用点沿杆的距离，b为力 四杆机构虚功为 作用点到杆的垂直距离，k为柔性铰链的等效弹簧 8,-点K8c)+M0)+g,8) 刚度，r为构件的长度，如图2所示 在该设计实例的伪刚体模型中，a2=r2,b2=0, (4) a6=T6,b6=0,k1=0,F2=-Fg,F6=-F0,05和0g 对于广义坐标q=0。,四杆机构虚功可表达为 为常量，k2=0,06=0g,05=0,=0,=0,除输入水平 δW2=(42+B2h6+C2hs6）δ06 (5) 力F,外，其余载荷量为零.联立虚功方程(13)和机 A2=（-X6a6-Y6b6）sin06+ 构几何位置方程(8)和(9)、(14)~(16)，可计算得 (-Xobs Ysas)cos 0s +M6 +Ts +Ts 到输入载荷与执行构件输出角位移的关系。 B2=K,(r,-a)-Y,b,]sin0,+ Y,(r1-a)-X,b,]cos0,+M2-T6-T, C2=（-X,rg-Xgag+Ygbg）sin0g+ (Y3rs +Xsbs Ysas)cos 0s Ms +T+Ts, δ82_r6sin(0s-06) h6-60。-7im(0,-6' =88-'sim(6,-0s） hs-60。-sin(6,- 执行构件虚功为 8W3=F1o"6z10+Tgδg (6) 对于广义坐标q=日，执行构件虚功可表达为 8W3=（-T6 Ynosin06+r6 Yiocos0s）δ06+T,δ0- 图3LET外较链示意图 (7) Fig.3 Sketch of the outside LET joint 由执行构件和四杆机构的几何位置关系得出 (8) 2多层LEMs机构尺寸设计 rssin 06 =riosin (m-0), -r6c0s06+r5c0s85+rgc0sA,=r10c0s（T-0,）. Jacobsen等n-习分析出影响悬臂梁柔性的关键 (9) 要素是几何尺寸（长、宽、厚和惯性截面）、边界条 联立式(8)和式(9)得到 件、载荷及材料类型.在模型、材料和所受载荷一定 -rcos 0+rscos @s +rocos 0 +resin 06cot 0.=0. 的情况下，铰链输出角位移与尺寸参数有关，因此铰 (10) 链尺寸的变化对LEMs机构的角位移输出将产生重 式(10)为非线性方程，求微分得到 要影响. 506 rssin 0 (1 +cot20.) 图1机构中含有六个LET铰链，它们的结构和 (11) 50,rscos 0scot 0o +rssin 0s 尺寸及受载情况不同，并且每个铰链都含有多个尺

第 3 期 邱丽芳等: 多层 LEMs 性能与结构参数的关系 δW1 = ∑ 4 i = 2 ( Fi ·δzi ) + ∑ 4 i = 2 ( Mi ·δθi ) + ∑ 3 i = 1 ( Tiδψi ) + Fsδz4 ． ( 2) 对于广义坐标 q = θ2，虚功可表达为 δW1 = ( A1 + g32B1 ) δθ2 ． ( 3) 式中 A1 =［－ X2 a2 － Y2 b2 － r2 ( X3 + X4) ］sin θ2 + ( － X2 b2 + Y2 a2 + r2Y3 ) cos θ2 + M2 + T1 + T2 － Fsr2 sin θ2， B1 = ( － X3 a3 － Y3 b3 － r3X4 ) sin θ3 + ( － X3 b3 + Y3 a3 ) cos θ3 + M3 － T2 + T3 － Fsr3 sin θ3， g32 = δθ3 δθ2 = r2 cos θ2 － r3 cos θ3 ． 四杆机构虚功为 δW2 =∑ 8 i = 6 ( Fi ·δzi ) +∑ 8 i = 6 ( Mi ·δθi ) +∑ 8 i = 5 ( Ti ·δψi ) ． ( 4) 对于广义坐标 q = θ6，四杆机构虚功可表达为 δW2 = ( A2 + B2 h76 + C2 h86 ) δθ6 ． ( 5) A2 = ( － X6 a6 － Y6 b6 ) sin θ6 + ( － X6 b6 + Y6 a6 ) cos θ6 + M6 + T5 + T6， B2 =［X7 ( r7 － a7 ) － Y7 b7］sin θ7 + ［Y7 ( r7 － a7 ) － X7 b7］cos θ7 + M7 － T6 － T7， C2 = ( － X7 r8 － X8 a8 + Y8 b8 ) sin θ8 + ( Y7 r8 + X8 b8 + Y8 a8 ) cos θ8 + M8 + T7 + T8， h76 = δθ7 δθ6 = r6 sin ( θ8 － θ6 ) r7 sin ( θ7 － θ8 ) ， h86 = δθ8 δθ6 = r6 sin ( θ7 － θ6 ) r8 sin ( θ7 － θ8 ) ． 执行构件虚功为 δW3 = F10·δz10 + T9 ·δψ9 ． ( 6) 对于广义坐标 q = θt，执行构件虚功可表达为 δW3 = ( － r6X10 sin θ6 + r6Y10 cos θ6 ) δθ6 + T9 δθt ． ( 7) 由执行构件和四杆机构的几何位置关系得出 r6 sin θ6 = r10 sin ( π － θt ) ， ( 8) － r6 cos θ6 + r5 cos θ5 + r9 cos θ9 = r10 cos ( π － θt ) ． ( 9) 联立式( 8) 和式( 9) 得到 － r6 cos θ6 + r5 cos θ5 + r9 cos θ9 + r6 sin θ6 cot θt = 0． ( 10) 式( 10) 为非线性方程，求微分得到 δθ6 δθt = r6 sin θ6 ( 1 + cot2 θt ) r6 cos θ6 cot θ10 + r6 sin θ6 ， ( 11) 将式( 11) 代入到式( 7) ，得到 δW3 = A3 δθt ． ( 12) 式中， A3 = ( － r6X10 sin θ6 + r6Y10 cos θ6 ) r6 sin θ6 ( 1 + cot2 θt ) r6 cos θ6 cot θt + r6 sin θ6 + T9 ． 综合式( 3) 、( 5) 和( 12) ，并对该系统运用虚功 原理得到 δW1 + δW2 + δW3 = 0． ( 13) 由机构的几何位置关系得出 r2 sin θ2 + r3 sin θ3 = e， ( 14) θ6 = arctan ( b8 a ) 8 + θ2， ( 15) r 2 2 = a2 8 + b 2 8 ． ( 16) 式中，a 为转动中心到力作用点沿杆的距离，b 为力 作用点到杆的垂直距离，k 为柔性铰链的等效弹簧 刚度，r 为构件的长度，如图 2 所示． 在该设计实例的伪刚体模型中，a2 = r2，b2 = 0， a6 = r6，b6 = 0，k1 = 0，F2 = － F8，F6 = － F10，θ5 和 θ9 为常量，k2 = 0，θ6 = θ8，θ5 = θ7 = θ9 = 0，除输入水平 力 F4 外，其余载荷量为零． 联立虚功方程( 13) 和机 构几何位置方程( 8) 和( 9) 、( 14) ～ ( 16) ，可计算得 到输入载荷与执行构件输出角位移的关系． 图 3 LET 外铰链示意图 Fig． 3 Sketch of the outside LET joint 2 多层 LEMs 机构尺寸设计 Jacobsen 等［1--2］分析出影响悬臂梁柔性的关键 要素是几何尺寸( 长、宽、厚和惯性截面) 、边界条 件、载荷及材料类型． 在模型、材料和所受载荷一定 的情况下，铰链输出角位移与尺寸参数有关，因此铰 链尺寸的变化对 LEMs 机构的角位移输出将产生重 要影响． 图 1 机构中含有六个 LET 铰链，它们的结构和 尺寸及受载情况不同，并且每个铰链都含有多个尺 · 583 ·

·386 北京科技大学学报 第36卷 寸参数，直接分析较链参数与该机构角位移的关系 (3)其他参数不变时，机构输出角与构件长L 较为复杂.相对平行四边形机构上较链的转动来 (连架杆)和L,(连杆)的关系曲面如图5(c)所示， 说，动力构件和执行构件上铰链的转动较小，故先研 即在一定尺寸范围内，当连架杆和连杆的长度差的 究四边形机构上四个LET外铰链的尺寸参数与输 绝对值较大时，平行四边形机构有较大输出角. 出角位移日的关系，为此设计一铰链相同的平行四 NODAL SOLUTION AN 边形机构，并分析相同载荷下，铰链参数对机构性能 的影响效果.铰链参数示意如图3所示，Lm、L、 LL和LBw分别表示铰链扭转片段和弯曲片段的长度 和宽度，L,为铰链两端柔性杆件宽度 2.1铰链参数对平行四边形机构输出角的影响 铰链尺寸相同的平行四边形机构有限元仿真模 型如图4所示.施加500Nmm的转矩（应力小于屈 服应力)，改变铰链扭转和弯曲片段以及构件的参 位移mn 数，分析得到如下结果. 162052贵77076859122595 (1)其他参数不变时，机构输出角与Lm和Lgw 的关系曲面如图5(a)所示，即在一定尺寸范围内， 图4平行四边形机构有限元仿真位移云图 Fig.4 FEM displacement model of the parallelogram mechanism 输出角随扭转片段的长度L增大和弯曲片段的宽 度Lw减小而增大，并且输出角与L和Lgw的关系 上述分析可得，铰链扭转片段的尺寸L和L 都近似为直线. 对平行四边形机构的输出角位移影响明显，并且适 (2)其他参数不变时，机构输出角与Lw和L 当增大四边形机构的相邻杆长度差值，可增大机构 的关系曲面如图5(b)所示，即在一定尺寸范围内， 的输出角位移. 输出角随扭转片段的宽度Lw减小和弯曲片段的长 2.2铰链参数与载荷的关系 度L增大而增大，并且输出角与Lm呈三次方关 在图1的模型中，铰链实际承受包括转矩、平面 系，输出角与L的关系近似为直线 内拉（压）力以及垂直于平面的分力在内的耦合载 B/rad 创 (b) e/rad 0.88 1.04 0.95 0.86 0.84 0.96 0.90 0.88 0.82 088 0.85 0.80 g0.80 0.80 0.78 $0.72 0.75 0.76 0.64 0.74 0.56 0.70 46 0.65 0.72 0.48 n/m 42 0.70 0.60 40 6 917列181920212223242526 055 0.68 3837 0.66 /mm 0.50 La/mm @/rad d 0.815 0.82 0.810 0.81 0.805 宽0.80 0.800 宝0.79 0.795 0.78 0.790 0.7 0.785 180 200 175 0.780 2 L/mm 2402352i615 0.775 (c) 图5平行四边形机构输出角与不同较链参数的关系.(a)Lm和Lgs:(b)Lw和LgL:(c)L6和L Fig.5 Relationship between LET joint parameters and output reverse angle of the parallelogram mechanism:(a)and Lgw:(b)Lw andg (c）Ls and L

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 寸参数，直接分析铰链参数与该机构角位移的关系 较为复杂． 相对平行四边形机构上铰链的转动来 说，动力构件和执行构件上铰链的转动较小，故先研 究四边形机构上四个 LET 外铰链的尺寸参数与输 出角位移 θ 的关系，为此设计一铰链相同的平行四 边形机构，并分析相同载荷下，铰链参数对机构性能 的影响效果． 铰链参数示意如图 3 所示，LTL、LTW、 LBL和 LBW分别表示铰链扭转片段和弯曲片段的长度 和宽度，L1为铰链两端柔性杆件宽度． 2. 1 铰链参数对平行四边形机构输出角的影响 铰链尺寸相同的平行四边形机构有限元仿真模 型如图 4 所示． 施加 500 N·mm 的转矩( 应力小于屈 服应力) ，改变铰链扭转和弯曲片段以及构件的参 数，分析得到如下结果． ( 1) 其他参数不变时，机构输出角与 LTL和 LBW 的关系曲面如图 5( a) 所示，即在一定尺寸范围内， 输出角随扭转片段的长度 LTL增大和弯曲片段的宽 度 LBW减小而增大，并且输出角与 LTL和 LBW的关系 都近似为直线． 图 5 平行四边形机构输出角与不同铰链参数的关系 . ( a) LTL和 LBW ; ( b) LTW和 LBL ; ( c) L6 和 L7 Fig． 5 Ｒelationship between LET joint parameters and output reverse angle of the parallelogram mechanism: ( a) LTL and LBW ; ( b) LTW and LBL ; ( c) L6 and L7 ( 2) 其他参数不变时，机构输出角与 LTW和 LBL 的关系曲面如图 5( b) 所示，即在一定尺寸范围内， 输出角随扭转片段的宽度 LTW减小和弯曲片段的长 度 LBL增大而增大，并且输出角与 LTW 呈三次方关 系，输出角与 LBL的关系近似为直线． ( 3) 其他参数不变时，机构输出角与构件长 L6 ( 连架杆) 和 L7 ( 连杆) 的关系曲面如图 5( c) 所示， 即在一定尺寸范围内，当连架杆和连杆的长度差的 绝对值较大时，平行四边形机构有较大输出角． 图 4 平行四边形机构有限元仿真位移云图 Fig． 4 FEM displacement model of the parallelogram mechanism 上述分析可得，铰链扭转片段的尺寸 LTL和 LTW 对平行四边形机构的输出角位移影响明显，并且适 当增大四边形机构的相邻杆长度差值，可增大机构 的输出角位移． 2. 2 铰链参数与载荷的关系 在图 1 的模型中，铰链实际承受包括转矩、平面 内拉( 压) 力以及垂直于平面的分力在内的耦合载 · 683 ·

第3期 邱丽芳等：多层LEMs性能与结构参数的关系 ·387· 荷作用，而在图2的伪刚体模型中，其等效弹簧刚度 上.当铰链扭转片段长度L取不同值时，K,()曲 k是铰链i仅受转矩载荷时的扭转刚度系数.为使 线基本相同，如图7(a)所示：当铰链扭转片段宽度 机构减少承受除转矩之外的其他载荷，需要改变对 Lw取不同值时，K()曲线间距变大，并随L的增 输出影响较大的铰链参数值. 大而接近于1，如图7(b)所示.1取值越大，表示铰 LET铰链受载（取1/2分析）的示意图如图6所 链越趋于只受转矩载荷，K1越接近于1.K,与、Lw 示.实际状态下，铰链末端受到水平力Fx、竖直力 的关系插值曲面如图7(c)所示. F,和转矩M的综合作用，输出角用θ表示.理想状 由图6和图7可得，当受载状态一定(1不变) 态下，铰链只受转矩M。的作用，输出角用。表示. 时，随着L取值增大，铰链更趋于只受转矩载荷， 在有限元仿真中，通过远端力载荷F并依据平行移 但与此同时较链的柔性也会随之降低。兼顾两者， 轴定理实现加载，故Fx=Fcos a,Fy=Fsin a,M= 应选择适当的Lm值. FL,M。=FL.两种状态下输出角的比值用K,表示， 2.3多层LEMs机构初始尺寸的确定 则K=日 根据2.1节，扭转片段长度Ln和宽度L是影 响多层LEMs机构角位移的主要参数.图2中等效 刚度系数为k、k。的铰链受到转矩及其他形式的载 荷，而刚度系数为k6、k,的铰链主要受到转矩载荷 根据2.2节，有效刚度系数为k5、kg的铰链的LTw值 (用L表示)应大于有效刚度系数为k6、k,的铰链 (用L2表示)，而四个铰链的Ln值可取为近似相 等，因此确定多层LEMs机构实例中四边形机构上 图6LET铰链受载分析示意图 四个较链的初始尺寸如下：铰链扭转片段宽度取不 Fig.6 Loading condition of the LET joint 同值，Lw1=10mm,Lw2=5mm;其他铰链参数取相 当铰链转动小于45°时，F,对扭转角的影响较 同值，L=30mm,Lm=80mm,Lgw=10mm,L,=100 大，故仅考虑竖直力和转矩耦合的情况，即K与！ mm.多层LEMs机构中其他机构尺寸见表1、表2 有关.对铰链施加F=1N的远端力，方向竖直向 和图8. 1.11r 1.14r a L=60 mm (b) --L=4 mm 1.10 -L=80 mm Lr=6 mm -=100mm 1.12F --L=8 mm 1.09 L=10 mm 1.10 <1.08 1.08 1.07 1.06 1.06 1.05i0120130140150160170180190200 1.0 110120130140150160170180190200 K (c) 1.13 1.11 1.12 1.10 1.11H L.10r 1.09 <1.0g 1.08 1.08 1.07 1.06 1.0m 1.05 1.06 987654 1.0201301401501601701801901d'mm 1.05 l/mm 图7K,与LET较链参数的关系.(a)Lm:(b)Lrw:(c)l和Lg Fig.7 Relationship between K and LET joint parameters:(a)Ln:(b)Lrw (c)I and Lrw

第 3 期 邱丽芳等: 多层 LEMs 性能与结构参数的关系 荷作用，而在图 2 的伪刚体模型中，其等效弹簧刚度 keqi是铰链 i 仅受转矩载荷时的扭转刚度系数． 为使 机构减少承受除转矩之外的其他载荷，需要改变对 输出影响较大的铰链参数值． LET 铰链受载( 取1 /2 分析) 的示意图如图6 所 示． 实际状态下，铰链末端受到水平力 FX、竖直力 FY 和转矩 M 的综合作用，输出角用 θ 表示． 理想状 态下，铰链只受转矩 M0 的作用，输出角用 θ0 表示． 在有限元仿真中，通过远端力载荷 F 并依据平行移 轴定理实现加载，故 FX = Fcos α，FY = Fsin α，M = Fl，M0 = FL． 两种状态下输出角的比值用 K1 表示， 则 K1 = θ θ0 ． 图 6 LET 铰链受载分析示意图 Fig． 6 Loading condition of the LET joint 图 7 K1 与 LET 铰链参数的关系． ( a) LTL ; ( b) LTW ; ( c) l 和 LTW Fig． 7 Ｒelationship between K1 and LET joint parameters: ( a) LTL ; ( b) LTW ; ( c) l and LTW 当铰链转动小于 45°时，FY 对扭转角的影响较 大，故仅考虑竖直力和转矩耦合的情况，即 K1 与 l 有关． 对铰链施加 F = 1 N 的远端力，方向竖直向 上． 当铰链扭转片段长度 LTL取不同值时，K1 ( l) 曲 线基本相同，如图 7( a) 所示; 当铰链扭转片段宽度 LTW取不同值时，K1 ( l) 曲线间距变大，并随 LTW的增 大而接近于 1，如图 7( b) 所示． l 取值越大，表示铰 链越趋于只受转矩载荷，K1 越接近于 1． K1 与 l、LTW 的关系插值曲面如图 7( c) 所示． 由图 6 和图 7 可得，当受载状态一定( l 不变) 时，随着 LTW取值增大，铰链更趋于只受转矩载荷， 但与此同时铰链的柔性也会随之降低． 兼顾两者， 应选择适当的 LTW值． 2. 3 多层 LEMs 机构初始尺寸的确定 根据 2. 1 节，扭转片段长度 LTL和宽度 LTW是影 响多层 LEMs 机构角位移的主要参数． 图 2 中等效 刚度系数为 k5、k8 的铰链受到转矩及其他形式的载 荷，而刚度系数为 k6、k7 的铰链主要受到转矩载荷． 根据 2. 2 节，有效刚度系数为 k5、k8 的铰链的 LTW值 ( 用 LTW1表示) 应大于有效刚度系数为 k6、k7 的铰链 ( 用 LTW2表示) ，而四个铰链的 LTL值可取为近似相 等，因此确定多层 LEMs 机构实例中四边形机构上 四个铰链的初始尺寸如下: 铰链扭转片段宽度取不 同值，LTW1 = 10 mm，LTW2 = 5 mm; 其他铰链参数取相 同值，LBL = 30 mm，LTL = 80 mm，LBW = 10 mm，L1 = 100 mm． 多层 LEMs 机构中其他机构尺寸见表 1、表 2 和图 8． · 783 ·

·388 北京科技大学学报 第36卷 表1多层LEMs机构LET较链尺寸 表2多层EMs机构其他主要尺寸 Table 1 LET joints dimensions of the multi-ayered LEMs mm Table 2 Other main dimensions of the multi-ayered LEMs 铰链 mm 滑块处外较链尺寸 10258010100 B T a b 执行构件处内铰链尺寸1220130 30290 2902601028300408 20 24810 图8多层LEMs机构主要参数示意图 Fig.8 Illustration of the main parameters of the multi-avered LEMs 作用. 3多层LEMs机构铰链参数与角位移的关系 机构输出角与四个LET铰链的扭转片段长度 对该机构施加与图2中X,方向相同的载荷F。 的关系均相同，如图11所示.由图10(a)及图11可 =20N,有限元仿真位移云图见图9.将L和Lw2 以看出，扭转片段宽度L对输出角的影响较大，扭 的取值、机构输出角的仿真值和根据式(13)、(8)和 转片段长度L对输出角的影响相对较小 (9)、(14)~(16)用MATLAB计算得到的理论值及 表3理论与仿真结果的比较 两者误差列于表3.机构输出角和误差与四个LET Table 3 Comparison of theoretical and simulation results 铰链的扭转片段宽度的关系如图10所示. 尺寸组合/mm 理论值/()仿真值/()误差，A/% LTW2 SUB-I 5 15.99 13.15 21.60 DMX-0275761 6 12.71 12.94 1.78 > 11.43 12.75 10.35 8 8 10.63 12.56 15.37 9 5 13.00 12.12 -7.26 9 6 11.55 11.94 3.27 9 1 10.66 11.77 9.43 角位移a 9 8 9.98 11.60 13.97 02754器28d230器8o2457 10 11.85 11.19 -5.90 图9多层LEMs机构有限元仿真角位移云图 10 6 10.80 11.02 2.00 Fig.9 FEM angular displacement model of the multi-ayered LEMs 10 7 10.08 10.88 7.35 10 8 9.55 10.72 10.91 由表3和图10可得：Lw1对输出角的影响明 1 5 11.13 10.39 -7.12 显，并且当Lw2≈6mm、Lw1在8~11mm范围时理 6 10.29 10.23 0.59 论值与仿真值的误差较小；而当Lw:=8mm、Lw2= 11 1 9.64 10.10 4.55 5mm时，理论值与仿真值的误差最大，达到 1 9.14 10.10 9.14 21.60%.产生误差的主要原因是：(1)建立伪刚体 模型时，将杆看成刚体，而当LET铰链的参数取值 4 不合适时杆件变形增大，忽略其变形则模型可能不 结论 再适用：(2)建立LET铰链等效弹簧刚度模型时存 结合刚性机构分类思想和刚体代替综合法，设 在误差；(3)LET铰链的参数不合适时存在载荷的 计了一多层LEMs机构.基于LET铰链等效弹簧刚 耦合作用，而建立模型时将其简化成只受力矩的 度模型，推导出了该机构的输入载荷和输出角位移

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 表 1 多层 LEMs 机构 LET 铰链尺寸 Table 1 LET joints dimensions of the multi-layered LEMs mm 铰链 LTW LBL LTL LBW L1 滑块处外铰链尺寸 10 25 80 10 100 执行构件处内铰链尺寸 12 20 130 30 290 表 2 多层 LEMs 机构其他主要尺寸 Table 2 Other main dimensions of the multi-layered LEMs mm B B1 L L6 L7 T a b c 290 260 1028 300 408 2 20 248 10 图 8 多层 LEMs 机构主要参数示意图 Fig． 8 Illustration of the main parameters of the multi-layered LEMs 3 多层 LEMs 机构铰链参数与角位移的关系 对该机构施加与图 2 中 X4方向相同的载荷 Fin = 20 N，有限元仿真位移云图见图 9． 将 LTW1和 LTW2 的取值、机构输出角的仿真值和根据式( 13) 、( 8) 和 ( 9) 、( 14) ～ ( 16) 用 MATLAB 计算得到的理论值及 两者误差列于表 3． 机构输出角和误差与四个 LET 铰链的扭转片段宽度的关系如图 10 所示． 图 9 多层 LEMs 机构有限元仿真角位移云图 Fig． 9 FEM angular displacement model of the multi-layered LEMs 由表 3 和图 10 可得: LTW1 对输出角的影响明 显，并且当 LTW2≈6 mm、LTW1在 8 ～ 11 mm 范围时理 论值与仿真值的误差较小; 而当 LTW1 = 8 mm、LTW2 = 5 mm 时，理 论值与仿真值的误差最大，达 到 21. 60% ． 产生误差的主要原因是: ( 1) 建立伪刚体 模型时，将杆看成刚体，而当 LET 铰链的参数取值 不合适时杆件变形增大，忽略其变形则模型可能不 再适用; ( 2) 建立 LET 铰链等效弹簧刚度模型时存 在误差; ( 3) LET 铰链的参数不合适时存在载荷的 耦合作用，而建立模型时将其简化成只受力矩的 作用． 机构输出角与四个 LET 铰链的扭转片段长度 的关系均相同，如图 11 所示． 由图 10( a) 及图 11 可 以看出，扭转片段宽度 LTW对输出角的影响较大，扭 转片段长度 LTL对输出角的影响相对较小． 表 3 理论与仿真结果的比较 Table 3 Comparison of theoretical and simulation results 尺寸组合/mm LTW1 LTW2 理论值/( °) 仿真值/( °) 误差，Δ /% 8 5 15. 99 13. 15 21. 60 8 6 12. 71 12. 94 1. 78 8 7 11. 43 12. 75 10. 35 8 8 10. 63 12. 56 15. 37 9 5 13. 00 12. 12 － 7. 26 9 6 11. 55 11. 94 3. 27 9 7 10. 66 11. 77 9. 43 9 8 9. 98 11. 60 13. 97 10 5 11. 85 11. 19 － 5. 90 10 6 10. 80 11. 02 2. 00 10 7 10. 08 10. 88 7. 35 10 8 9. 55 10. 72 10. 91 11 5 11. 13 10. 39 － 7. 12 11 6 10. 29 10. 23 0. 59 11 7 9. 64 10. 10 4. 55 11 8 9. 14 10. 10 9. 14 4 结论 结合刚性机构分类思想和刚体代替综合法，设 计了一多层 LEMs 机构． 基于 LET 铰链等效弹簧刚 度模型，推导出了该机构的输入载荷和输出角位移 · 883 ·

第3期 邱丽芳等：多层LEMs性能与结构参数的关系 ·389· @/rad ( 0225 (b) 0.23 0.220 0.22 204 15 0.215 0.21P 020 0.210 0.205 10 10 0.19 0200 0.18 0.195 0.17 8 0.190 0.185 10 9 118.07570656.05.550 0.180 6 w:/mm rw/mm 10 511) 图10多层LEMs机构输出角(a)和误差(b)与铰链参数的关系 Fig.10 Relations of output angle (a)and error (b)with structural parameters for the multi-ayered LEMs 0.35 Jacobsen J 0,Winder B G,Howell LL,et al.Lamina emergent 0.30 mechanisms and their basic elements.J Mech Rob,2010,2(1): 011003 0.25 B]Howell LL.Compliant Mechanisms.New York:John Wiley Sons,2001 0.15 4]Albrechtsen N B,Howell LL,Todd R H.Identifying Potential 0.10 Applications for Lamina Emergent Mechanisms and Eraluating Their Suitability for Credit-Card-Sized Products [Dissertation]. 0.05 Utah:Brigham Young University,2010 045占2方3药455药6575895105115 Artobolevsky I I.Mechanisms in Modern Engineering Design:A Lo/mm Handbook for Engineers,Designers,and Inventors.Moscow:Mir 图11多层LEMs机构输出角与较链Ln的关系 Publishers,1975 Fig.11 Relations of and output angle for the multi-ayered LEMs 句 Olsen B M.A Design Framework That Employs a Classification Scheme and Library for Compliant Mechanism Design [Disserta- 量的一般理论计算公式.探索了影响该机构角位移 tion].Utah:Brigham Young University,2010 输出的主要结构参数，发现多层LEMs机构的输出 1 Berglund M D,Magleby S P,Howell LL.Design rules for selec- ting and designing compliant mechanisms for rigid-body replace- 角主要与其平行四边形机构中四个LET铰链的扭 ment synthesis /Proceedings of the ASME International Design 转片段变形有关，而扭转片段的宽度对输出角和计 Engineering Technical Conferences, 算误差影响较大，扭转片段的长度对输出角的影响 [8]Howell LL,Midha A.Loop-closure theory for the analysis and 相对较小. synthesis of compliant mechanisms.J Mech Des,1996,118(1): 121 9] 参考文献 Yu JJ,Zong G H,Bi S S.Fully compliant mechanisms and MEMS.Opt Precis Eng,2001,9(1):1 [Jacobsen J O,Chen G M,Howell LL,et al.Lamina emergent (于靖军，宗光华，毕树生.全柔性机构与MEMS.光学精密 torsional (LET)joint.Mech Mach Theory,2009,44(11):2098 工程，2001,9(1)：1)

第 3 期 邱丽芳等: 多层 LEMs 性能与结构参数的关系 图 10 多层 LEMs 机构输出角( a) 和误差( b) 与铰链参数的关系 Fig． 10 Ｒelations of output angle ( a) and error ( b) with structural parameters for the multi-layered LEMs 图 11 多层 LEMs 机构输出角与铰链 LTL的关系 Fig． 11 Ｒelations of LTL and output angle for the multi-layered LEMs 量的一般理论计算公式． 探索了影响该机构角位移 输出的主要结构参数，发现多层 LEMs 机构的输出 角主要与其平行四边形机构中四个 LET 铰链的扭 转片段变形有关，而扭转片段的宽度对输出角和计 算误差影响较大，扭转片段的长度对输出角的影响 相对较小． 参 考 文 献 ［1］ Jacobsen J O，Chen G M，Howell L L，et al． Lamina emergent torsional ( LET) joint． Mech Mach Theory，2009，44( 11) : 2098 ［2］ Jacobsen J O，Winder B G，Howell L L，et al． Lamina emergent mechanisms and their basic elements． J Mech Ｒob，2010，2( 1) : 011003 ［3］ Howell L L． Compliant Mechanisms． New York: John Wiley ＆ Sons，2001 ［4］ Albrechtsen N B，Howell L L，Todd Ｒ H． Identifying Potential Applications for Lamina Emergent Mechanisms and Evaluating Their Suitability for Credit-Card-Sized Products ［Dissertation］． Utah: Brigham Young University，2010 ［5］ Artobolevsky I I． Mechanisms in Modern Engineering Design: A Handbook for Engineers，Designers，and Inventors． Moscow: Mir Publishers，1975 ［6］ Olsen B M． A Design Framework That Employs a Classification Scheme and Library for Compliant Mechanism Design ［Disserta￾tion］． Utah: Brigham Young University，2010 ［7］ Berglund M D，Magleby S P，Howell L L． Design rules for selec￾ting and designing compliant mechanisms for rigid-body replace￾ment synthesis / / Proceedings of the ASME International Design Engineering Technical Conferences，2000 ［8］ Howell L L，Midha A． Loop-closure theory for the analysis and synthesis of compliant mechanisms． J Mech Des，1996，118( 1) : 121 ［9］ Yu J J，Zong G H，Bi S S． Fully compliant mechanisms and MEMS． Opt Precis Eng，2001，9( 1) : 1 ( 于靖军，宗光华，毕树生． 全柔性机构与 MEMS． 光学精密 工程，2001，9( 1) : 1) · 983 ·