第5章 系统仿真算法分析 本章主要教学内容 >数值积分法的基本原理及其主要内容 >快速仿真算法的基本原理及其主要内容 >离散相似法的基本原理及其仿真应用 线性系统的仿真方法 非线性系统的仿真方法 采样控制系统的仿真方法
1 本章主要教学内容 ➢数值积分法的基本原理及其主要内容 ➢快速仿真算法的基本原理及其主要内容 ➢离散相似法的基本原理及其仿真应用 ➢线性系统的仿真方法 ➢非线性系统的仿真方法 ➢采样控制系统的仿真方法 第5章 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 本章教学目的及要求 掌握数值积分法和快速仿真算法的原理及应用 掌握离散相似法的原理应用 熟悉线性系统、非线性系统、采样系统的仿真 处理过程
2 本章教学目的及要求 ➢掌握数值积分法和快速仿真算法的原理及应用 ➢掌握离散相似法的原理应用 ➢熟悉线性系统、非线性系统、采样系统的仿真 处理过程 第5章 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 51数值积分法 系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解 的方法主要是数值积分法。「dh 设系统常微分方程为:a =f(t2,y) (5-1) y()=y f(4y)为包含有时间t和函数y的表达式,y0为函数y在初始 时刻t时的对应初值。我们将求解方程(5-1)中函数y(t的 问题称为常微分方程数值求解问题
3 5.1 数值积分法 系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解 的方法主要是数值积分法。 设系统常微分方程为： （5-1） 为包含有时间t和函数y的表达式，y0为函数y在初始 时刻t0时的对应初值。我们将求解方程（5-1）中函数 的 问题称为常微分方程数值求解问题。 第5章 = = 0 0 ( ) ( , ) y t y f t y dt dy f (t, y) y(t) 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 5.1.1欧拉( Euler)法 1.欧拉公式的推导 将式(5-1)在小区间上进行积分可得: Vk+I-D=If(t, y)dt f(t,y)d≈hf(tk2,yk) 其几何意义是把f(y)在[tk2+]区间内的曲边面积 用矩形面积近似代替,如图5-1所示
4 5.1.1 欧拉（Euler）法 1．欧拉公式的推导 将式（5-1）在小区间上进行积分可得： 第5章 + + − = 1 ( , ) 1 k k t t yk yk f t y dt ( , ) ( , ) 1 k k t t f t y dt hf t y k k + 其几何意义是把 f (t, y) 在 [ , ] k k+1 t t 区间内的曲边面积 用矩形面积近似代替，如图5-1所示。 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 f(t, y) tk tk+ 图5-1欧拉法数值积分
5 第5章 t f(t,y) 0 fk tk tk+1 h 图5-1 欧拉法数值积分 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 当h很小时,可以认为造成的误差是允许的。所以有: Wk+l=yk +hf (tk, yk) 称之为欧拉公式
6 当h很小时，可以认为造成的误差是允许的。所以有： 第5章 ( , ) k 1 k k k y = y + hf t y + 称之为欧拉公式。 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 2.欧拉法具备以下特点: (1)欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线,也 称之为折线法。 (2)欧拉法计算简单,容易实现。由前一点值仅 步递推就可以求出后一点值,所以称为单步法 (3)欧拉法计算只要给定初始值,即可开始进行递 推运算,不需要其它信息,因此它属于自启动模式。 (4)欧拉法是一种近似的处理,存在计算误差,所 以系统的计算精度较低
7 2 . 欧拉法具备以下特点： （1）欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也 称之为折线法。 （2）欧拉法计算简单，容易实现。由前一点值仅一 步递推就可以求出后一点值，所以称为单步法。 （3）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递 推运算，不需要其它信息，因此它属于自启动模式。 （4）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所 以系统的计算精度较低。 第5章 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 5.1.2梯形法 1.梯形公式 为了弥补欧拉法计算精度较低的不足,可以采用梯形 面积公式来代替曲线下的定积分计算,如图52所示。 依然对式(5-1)进行求解,采用梯形法作相应近似 处理之后,其输出为: Yk1=yk+lf(tk, yk)+f(tk+l,yk+ 称为梯形积分公式
8 5.1.2 梯形法 1．梯形公式 为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形 面积公式来代替曲线下的定积分计算，如图5-2所示。 依然对式（5-1）进行求解，采用梯形法作相应近似 处理之后，其输出为： 第5章 [ ( , ) ( , )] 2 k+1 = k + k k + k+1 k+1 f t y f t y h y y 称为梯形积分公式 。 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 f(t, y) fk+ k tktk+ 图5-2梯形法数值积分
9 第5章 t f(t,y) 0 fk tk tk+1 h fk+1 图5-2 梯形法数值积分 系统仿真算法分析
第5章 系统仿真算法分析 从中可以看到,在计算yk时,其右端函数中也 含有k+,这种公式称为隐式公式,不能靠自身解决, 需要采用迭代方法来启动,称之为多步法。可以先采 用欧拉公式进行预报,再利用梯形公式进行校正。即 梯形法的预报一校正公式: yok+l=yk+hf(tk,yk) Dk+=Dk+hf(tk,3k)+f(tk+l,y(ok+1)
10 从中可以看到，在计算 时，其右端函数中也 含有 ，这种公式称为隐式公式，不能靠自身解决， 需要采用迭代方法来启动，称之为多步法。可以先采 用欧拉公式进行预报，再利用梯形公式进行校正。即 梯形法的预报—校正公式 ： 第5章 k+1 y k+1 y = + + = + + + + + [ ( , ) ( , )] 2 1 ( , ) 1 (0) 1 1 1 (0) k k k k k k k k k k y y h f t y f t y y y hf t y 系统仿真算法分析