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《线性代数》Chapter 3(1)线性方程组的解的结构

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1. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件; 2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念; 3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.
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Chapter 3(1 线性方程组的解的结构 K心网

Chapter 3(1) 线性方程组的解的结构

A端 教学要求: 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及 非齐次线性方程组有解的充要条件; 2.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空 间的概念; 3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 K心

教学要求: 1. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及 非齐次线性方程组有解的充要条件; 2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空 间的概念; 3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念

线性方程组的相容性 二齐次线性方程组的解的结构 三非齐次线性方程组的解的结构 四.齐次线性方程组的基础解系的求法

一 .线性方程组的相容性 二.齐次线性方程组的解的结构 三.非齐次线性方程组的解的结构 四.齐次线性方程组的基础解系的求法

线性方程组的相容性 形如 X+ 1~1 xy+…+a1nx 22 n n=by a21x+a22x2+.+a2nrn=b2 amIr+am2x2+. +amxn=b 的方程组称为n个未知数m个方程的线性方程组 其中a1,为方程组的系数b为方程组的常数项 若b=0,则方程组为齐次的; 若b≠0,则方程组为非齐次的 K图心

一 .线性方程组的相容性 形如        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 的方程组,称为n个未知数m个方程的线性方程组. 其中 为方程组的系数, 为方程组的常数项. aij bk 0, . 0, ; 若 则方程组为非齐次的 若 则方程组为齐次的  = k k b b

n amn b 记A B 系数矩阵 增广矩阵 b b=:|常数项向量x=:解向量是列向量 a1,a2,…,cn为4的各列构成的列向量 方程组的矩阵形式:Ax=b 方程组的向量形式:xa1+x2a2+…+xnan=b K图心

          = m mn n a a a a A      1 11 1 记 系数矩阵           = m mn m n a a b a a b B       1 11 1 1 增广矩阵           = bm b b  1 常数项向量           = xn x x  1 解向量是列向量 , , , . 1 2  n为A的各列构成的列向量 方程组的矩阵形式: Ax = b 方程组的向量形式: x11 + x22 ++ xnn = b

若方程组有解,则称方程组相容; 若方程组无解,则称方程组不相容; 若方程组有唯一解,则称方程组为确定方程组; 若方程组多于一个解,则称方程组为不定方程组 K图心

若方程组有解,则称方程组相容; 若方程组无解,则称方程组不相容; 若方程组有唯一解,则称方程组为确定方程组; 若方程组多于一个解,则称方程组为不定方程组

齐次线性方程组的解的结构 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 GiX+a x+∷a 222 ann 0 amIx +am2x2+.+amen=0 方程组的矩阵形式:Ax=O 方程组的向量形式:x1a1+x2a2+…+xnn=O 1.齐次线性方程组总有零解x=(0,0,…,0)y, 所以齐次线性方程组总是相容的 K圆心

二.齐次线性方程组的解的结构        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     方程组的矩阵形式: Ax = O 方程组的向量形式: x11 + x22 ++ xnn = O 1. 齐次线性方程组总有零解 x = (0,0,  ,0) , 所以齐次线性方程组总是相容的

2.齐次线性方程组Ax=0有非零解的条件 由方程的向量形式x1a1+x2a2+…+xnan=O可得结论 定理1.Ax=O有非零解兮mmk(4)<n. 推论.Ax=O只有零解兮nnk(4)=n. (若A为方阵则A≠0) 3.齐次线性方程组Ax=O解的结构 (1)若1=(k1,…,kn),2=(1,…,n)是Ax=O的解, 则=51+42仍是Ax=0的解 (2)若5=(k,…,kn)是4x=O的解,λ∈R, 则2仍是4x=O的解 K图心

2. 齐次线性方程组Ax=O有非零解的条件 . 由方程的向量形式x11 + x22 ++ xnn = O可得结论 定理1. Ax = O有非零解  rank(A)  n. 推论. Ax = O只有零解  rank(A) = n. (若A为方阵,则A  0) 3. 齐次线性方程组Ax=O解的结构 . (1) ( , , ) , ( , , ) , 1 2 1 1 2 1 则 仍是 的解 若 是 的解 Ax O k kn l ln Ax O = + = =  =  =        . (2) ( , , ) , , 1 则 仍是 的解 若 是 的解 Ax O k kn Ax O R = =  =     

注意: (1)由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组Ax=0的解空间 (2)若Ax=O有非零解,则有无穷多个解,这无穷多个 解作为向量必线性相关,从而一定有最大无关组,即 为解空间的基,这里又称为基础解系.Ax=O的通解为 这基础解系的线性组合 K图心

注意: (1) 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间. (2)若Ax=O有非零解, 则有无穷多个解, 这无穷多个 解作为向量必线性相关, 从而一定有最大无关组, 即 为解空间的基, 这里又称为基础解系. Ax=O的通解为 这基础解系的线性组合

(3)基础解系的定义 71,n2,…,m称为齐次线性方程组Ax=O的基础 解系,如果 ①mh,m2,是Ax=0的一组线性无关的解; ②Ax=0的任一解都可由71,m2,…,m线性表出 (4)如果1,m2,…,1为齐次线性方程组Ax=O 的一组基础解系,那么,Ax=O的通解可表示为 x=k1mh1+k22+…+k1m 其中k1,k2,…,k是任意常数 K图心

解系 如果 称为齐次线性方程组 的基础 , , , , 1 2  t Ax = O (3) 基础解系的定义 的一组基础解系 那么 的通解可表示为 如果 为齐次线性方程组 Ax O t Ax O = = , , (4) , , , 1 2   x = k11 + k22 ++ ktt , , , . 其中k1 k2  kt是任意常数 , , , 0 ; ① 1 2  t是Ax = 的一组线性无关的解 0 , , , . ② Ax = 的任一解都可由1 2  t线性表出

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