第十二章级数 一、本章提要 1.基本概念 正项级数，交错级数，幂级数，秦级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收数，发收， 绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收效率轻，收放区何，收敛减 2,基本公式 用fx在x=x处的泰勒级数系数：a”f八），0，” ( 2等里叶系数： 8-()codn-01,2以.点-f)din-l2. 3,基本方法 比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法. 4,定理 比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收数半径定理，幂级量展开定理， 傅里叶级数展开定理， 二，要点解析 何圈1有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何请无穷级数的和？ 解斯有限个数相如与无穷个数相加是有本质区别的.为了叙述方便，称前者为有限加 法，后者为无限累加，我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是 一种写法，即沿用了有限如法的符号来表示无限紧加，我们不可能用有限加法的方法米完成 无限累如，尤其是无限累如未必是一个确定的数值.另外，有限如法中的结合律和交换律在 无限累加中也不一定成立， 但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的，我们在研究无限累加时，是以有限加法（都 分和)为基础的，即从部分和出发，时论其极限是否存在，若极限存在，则无限累加有和， 也就是无穷级数有和（收致），其和等于这个极限慎：否则，无限累加无和，当然，无穷级数 也无和（发），由此看出，级数的收数与发散，反映了无穷多个数累加的趋势，领数收致藏 是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值。一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书 上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法测
1 第十二章 级数 一、本章提要 1．基本概念 正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散， 绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域． 2．基本公式 (1) f (x) 在 0 x x = 处的泰勒级数系数： ( ) 0 0 a = f x ， ! ( ) 0 ( ) k f x a k k = ； (2)傅里叶系数： π π π π 1 1 ( )cos d ( 0,1,2, ), ( )sin d ( 1,2, ) π π n n a f x nx x n b f x nx x n − − = = = = ． 3．基本方法 比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法． 4．定理 比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理， 傅里叶级数展开定理． 二、要点解析 问题 1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何谓无穷级数的和？ 解析 有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的．为了叙述方便，称前者为有限加 法，后者为无限累加．我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是 一种写法，即沿用了有限加法的符号来表示无限累加．我们不可能用有限加法的方法来完成 无限累加，尤其是无限累加未必是一个确定的数值．另外，有限加法中的结合律和交换律在 无限累加中也不一定成立． 但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的．我们在研究无限累加时，是以有限加法(部 分和)为基础的，即从部分和出发，讨论其极限是否存在．若极限存在，则无限累加有和， 也就是无穷级数有和(收敛)，其和等于这个极限值；否则，无限累加无和，当然，无穷级数 也无和(发散)．由此看出，级数的收敛与发散，反映了无穷多个数累加的趋势．级数收敛就 是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值．一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书 上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法则．
例1我们考察著名的波尔查诺(Boza0,B.)级数的求和问题， 设x=1一1+1-1+，期有： 解一x=0-1)+(1-1)+…=0: 解二x=1-0-)-1-0-m1: 解三=1-0-1+1-1+)=1-x,于是x= 这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠.柯西指出：以上解法犯 了墨守成规的错误，即把有限的站合律、交换律以及有限项总存在代数和的观老摄嫩到无限 项的运算之中，柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的期涂观念，可引起了思如解故，其 实领数∑(-是发散的. 月题2如何判别正翼级数的收敛性？ 解析判别一个正项级数>出，是香收敛没有州定的方法步痒，一般的作法有： ()利用级量收敛的必要条件，若m”,0,则∑以，发散：否则政用其他方法判别： 2)若它是或可能转化为等比级数或P一领数，则由它们的收效条件来判别： 3用比值判别法或用比较判别法来判别： ()除以上方法外，还可用正项级数牧数的充要条件来进行判别，但使用此法清要一定 的技巧，比如拆项求和，信助一些不等式等.对此读者可参考有关书箱 还有一些方法，因本书中设有介留，这里藏不列举了，有兴提的读者可参看其色教材， 例2判别∑3”s严的收数性， 解一国0<3sm ,且 收敏，故由比较判别法可如， 4 4 ∑35m票收数 3"sin- 解二因 43 =二<1，故由比值列别法可知， ∑3sn三收 3”sin 4
2 例 1 我们考察著名的波尔查诺（Bolzano，B．）级数的求和问题． 设 x =1−1+1−1+ ，则有： 解一 x = (1−1) + (1−1) + = 0 ； 解二 x = 1− (1−1) − (1−1) − = 1 ； 解三 x = 1− (1−1+1−1+) = 1− x ，于是 1 2 x = ． 这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠．柯西指出：以上解法犯 了墨守成规的错误，即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限 项的运算之中．柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念，引起了思想解放，其 实级数 = − − 1 1 ( 1) n n 是发散的． 问题 2 如何判别正项级数的收敛性? 解析 判别一个正项级数 n=1 n u 是否收敛没有固定的方法步骤，一般的作法有： (1)利用级数收敛的必要条件，若 lim 0 → n n u ，则 n=1 n u 发散；否则改用其他方法判别； (2)若它是或可能转化为等比级数或 p —级数，则由它们的收敛条件来判别； (3) 用比值判别法或用比较判别法来判别； (4) 除以上方法外，还可用正项级数收敛的充要条件来进行判别，但使用此法需要一定 的技巧，比如拆项求和，借助一些不等式等．对此读者可参考有关书籍． 还有一些方法，因本书中没有介绍，这里就不列举了，有兴趣的读者可参看其他教材． 例 2 判别 1 π 3 sin 4 n n n = 的收敛性． 解一 因 π 3 0 3 sin π 4 4 n n n ，且 1 3 π 4 n n = 收敛，故由比较判别法可知， 1 π 3 sin 4 n n n = 收敛． 解二 因 1 1 π 3 sin 3 4 1 π 4 3 sin 4 n n n n + + = ，故由比值判别法可知， 1 π 3 sin 4 n n n = 收敛．
付思3判别任意项级数∑化，的收敛性的一般步潭是什么？ 解析()若，0，则级数发散，若m围，一0，则需要进一步判别 2②判别∑，是否收敛，若收致，则∑山，为绝对收致，若∑口，发散，再看它是否 条件发散（如果是采用比植法判别∑，发散的，那么∑，也发散，因m,0): (3)若为文错颜数。可用莱布尼茨判别法 ()直接川收敛定义或性质判别 例3判别∑(-)(Nn+1一√一)的收效性.若收敛，是绝对收效还是条件收领 解这是交错级数，因 k-广m+1-m-i=m+1-√n-= 2 a+1+n-可n+行 区点宫发M空-广丽可发烟 m,=n+1+n- =0 且 ,-4=i--)-+2-而-2n+2-a+2h--0,则 (vn+1-n-1Xn+2+vn) 该领数满足薰布尼茨判别条件，故它收敛，而且为条件收数， 例4判别领数∑ 的收敛性 11 由于调和级数∑发散，所以级数 一发散 n-1n+ 月题4求幂级数的收效区何或收效城时应注意写些什么？
3 问题 3 判别任意项级数 n=1 n u 的收敛性的一般步骤是什么? 解析 (1)若 lim 0 → n n u ，则级数发散，若 lim = 0 → n n u ，则需要进一步判别； (2)判别 n=1 un 是否收敛，若收敛，则 n=1 n u 为绝对收敛，若 n=1 un 发散，再看它是否 条件发散(如果是采用比值法判别 n=1 un 发散的，那么 n=1 n u 也发散，因 lim 0 → n n u )； (3)若为交错级数，可用莱布尼茨判别法； (4)直接用收敛定义或性质判别． 例 3 判别 = − − + − − 1 1 ( 1) ( 1 1) n n n n 的收敛性．若收敛，是绝对收敛还是条件收敛． 解 这是交错级数，因 1 1 1 1 2 ( 1) ( 1 1) 1 1 1 + + + − − + − − = + − − = − n n n n n n n n ， 而 = = = 0 + 1 1 1 1 n n n n 发散，故 = − − + − − 1 1 ( 1) ( 1 1) n n n n 发散．又因 0 1 1 2 lim lim = + + − = → → n n u n n n ， 且 0 ( 1 1)( 2 ) 2( 2 1) 2( 1) ( 1 1) ( 2 ) 1 + − − + + + − + + − − − + = + − − − + − = n n n n n n n n u u n n n n n n ，即 该级数满足莱布尼茨判别条件，故它收敛，而且为条件收敛． 例 4 判别级数 = + − 2 − 1 1 1 1 n n n 的收敛性． 解 级数 = = = = − = + − 2 − 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 n n n n n k k ． 由于调和级数 1 1 k k = 发散，所以级数 = + − 2 − 1 1 1 1 n n n 发散． 问题 4 求幂级数的收敛区间或收敛域时应注意写些什么?
解新如果是不缺项的移级数∑了，又nm已 存在，可以先按公式求出收数半轻 R,并写出收敛区间一凡：再判定x=士尼处的收数性，以确定其收数域，如果m 不存在，或不是标准的幂级数（比如缺奇次琴或缺俱次幂，或含x一x的琴等），则要因圈而 异采取变量督换等方法化为标清的形式，求出新级数的收敛区间后，再国代求出原级数的收 敛区何或收敛域，也可以直接用比值法求前后项之比的极限（此时它不为常数面带有参数）， 再进一步求出收敛区间或收敛域， 读者可以通过下面的例愿来体会并如以总结， 例5求幂级数了 的收敛半径和收敛域 解这是标准的幂领数， 为 x,所以由 月-5 lim =lim- 。4=(n+-5可5-m+D 5,1+ 得到所给级数的收敛半径为R=5,收数区闻为(-55). 当x=5时，级数为∑，发散：当川=-5时，级数为一 一，收数 因此所给领数的收敛域为-55). 例6求幂级数∑- 的收敛域 2n-1 解因为im色=im (2m-10 =(2+0 =2m2n+ =0小，所以收敛半轻 R=+m,牧数域为（一+0。 例7求那级数-)一任一少的收数城
4 解析 如果是不缺项的幂级数 0 n n n a x = ，又 n n n a a 1 lim + → 存在，可以先按公式求出收敛半径 R ，并写出收敛区间 (−R, R) ；再判定 x = R 处的收敛性，以确定其收敛域．如果 n n n a a 1 lim + → 不存在，或不是标准的幂级数(比如缺奇次幂或缺偶次幂，或含 0 x − x 的幂等)，则要因题而 异采取变量替换等方法化为标准的形式，求出新级数的收敛区间后，再回代求出原级数的收 敛区间或收敛域，也可以直接用比值法求前后项之比的极限(此时它不为常数而带有参数)， 再进一步求出收敛区间或收敛域． 读者可以通过下面的例题来体会并加以总结． 例 5 求幂级数 = 1 5 1 n n x n 的收敛半径和收敛域． 解 这是标准的幂级数． 因为 1 1 1 1 5 5 n n n n n x x n n = = = ，所以，由 1 1 5 1 1 lim lim lim lim ( 1) 5 5 ( 1) 5 1 5 1 n n n n n n n n a n n a n n n + → → → → + = = = = + + + ， 得到所给级数的收敛半径为 R = 5 ，收敛区间为 (−5,5) ． 当 x = 5 时，级数为 =1 1 n n ，发散；当 n = −5 时，级数为 = − 1 ( 1) n n n ，收敛． 因此所给级数的收敛域为 [−5,5)． 例 6 求幂级数 2 1 1 1 ( 1) (2 1)! n n n x n − + = − − 的收敛域． 解 因为 1 2 2 2 (2 1)! 1 lim lim lim 0 (2 1)! 2 (2 1) n n n n n u n x x x u n n n + → → → − = = = + + ，所以收敛半径 R = + ，收敛域为 (−,+) ． 例 7 求幂级数 1 1 ( 1) ( 1) n n n x n − = − − 的收敛域．
帮令1=-1，眼级数变为方-一二，因为 n+1“1+ 所以其收敛半径为R=1,收敛区间为（一1）· 当1=-时.2-广少-发版：当1=1时.Σ- 收敛，故 2-广。放数城为-小，是然银级数的收数装为02 问题5把函数)展开为雾级数有哪些方法求幂级数的和函数有螺些方法？ 解析一般说米，将八x)展开为琴级数有两种方法，一种是直接展开：就是先写出奉 新级数。然后证明其余项的极限为0，即mR,()=0,参见教材上的几个例子，另一种 为间接展开，作适当恒等麦形，使之化为可利用的已知的几个展开式：或利用级数的加，减。 乘等运算：或发现其导函数（或积分）可用常见的几个展开式表示，再通过莲项积分（或微分） 得到照函数的幂级数展开式等等，用此英方法既可避免求八代x)的各阶导数，也无需研究其 余项，并且讨论收敛区间也比较方便 求和函数的方法基本上有五个：)利用幂级数的和、差、积的运算性顺：(2)利用都 级数的遥项微分或逐项积分的性质：③)利用某些常见的幂级数展开式：)利用初等数学 公式及变量代换：(5)化为微分方程求解，参见下面例题 例8将fx)= 中x-2展开为的聚级数。 解因fx)= 0-x1+2x)3l1-x1+2x ·而 1- =1+x+x++x”+《-1心x<), =1-2x+4 =83 1+2x
5 解 令 t = x −1 ，原级数变为 = − − 1 1 ( 1) n n n n t ，因为 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim = + = + = → → + → n n n a a n n n n n ， 所以其收敛半径为 R = 1 ，收敛区间为 (−1,1)． 当 t = −1 时， = = − = − − − 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) n n n n n n 发散；当 t =1 时， = − − 1 1 1 ( 1) n n n 收敛，故 = − − 1 1 ( 1) n n n n t 的收敛域为 (−1,1] ，显然原级数的收敛域为 (0,2]． 问题 5 把函数 f (x) 展开为幂级数有哪些方法?求幂级数的和函数有哪些方法? 解析 一般说来，将 f (x) 展开为幂级数有两种方法．一种是直接展开：就是先写出泰 勒级数，然后证明其余项的极限为 0 ，即 lim ( ) 0 n n R x → = ．参见教材上的几个例子．另一种 为间接展开：作适当恒等变形，使之化为可利用的已知的几个展开式；或利用级数的加、减、 乘等运算；或发现其导函数(或积分)可用常见的几个展开式表示，再通过逐项积分(或微分) 得到原函数的幂级数展开式等等．用此类方法既可避免求 f (x) 的各阶导数，也无需研究其 余项，并且讨论收敛区间也比较方便． 求和函数的方法基本上有五个： (1) 利用幂级数的和、差、积的运算性质； (2) 利用幂 级数的逐项微分或逐项积分的性质； (3) 利用某些常见的幂级数展开式； (4) 利用初等数学 公式及变量代换； (5) 化为微分方程求解．参见下面例题． 例 8 将 2 ( ) 1 2 x f x x x = + − 展开为 x 的幂级数． 解 因 + − − = − + = x x x x x f x 1 2 1 1 1 3 1 (1 )(1 2 ) ( ) ，而 = + + ++ + − n x x x x 2 1 1 1 (−1 x 1) ， = − + − ++ − + + n n x x x x x 1 2 4 8 ( 2) 1 2 1 2 3 − 2 1 2 1 x
注，一个函数提开为个幂级数之和，其收数区问为：个幂级数收效区问的交集， 例9将八x)=hx展开成x-2含的幂级数 ￥e-hp-2-h2nf,号 34 +-2y +…0<x≤4月 32 月2 于是得 nx=h2+x=2-1=2+-2++-2y+0<x6到 222232 2 例10求 的和函数。 台(n+n+2 解因R=m (+1X+2) =且等=时级数收敛，故收敛区间为- (n+2Xn+3 授9)=习 x ，则 (0n+1X月+2 又∑x” (-1<x<),积分得 1-x =[工血=-x-1-0(-1<x<, 201-x 因S0)=0,放S气x)=-x-女1-)-1<x<》,再积分得 5)-so=Sxh=月-x-1-x
6 故 = = + − 0 ( ) (1 ( 1) 2 ) n n n n f x x − 2 1 2 1 x ． 注：一个函数展开为 n 个幂级数之和，其收敛区间为 n 个幂级数收敛区间的交集． 例 9 将 f (x) = ln x 展开成 x − 2 含的幂级数． 解 2 ( ) ln[2 ( 2)] ln 2 ln 1 2 x f x x − = + − = + + ． 令 2 − 2 = x t ，则 ln(1 ) 2 2 ln 1 t x = + − + + − = − + − + + − n n t n t t t t 2 3 4 1 ( 1) 2 3 4 (−1 t ≤1 ) ， 故 2 3 1 2 3 2 2 ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) ln 1 2 2 2 2 3 2 2 n n n x x x x x n − − − − − − − + = − + + + + (0 x ≤ 4) 于是得 + − − + + − + − − − = + − n n n n x x x x x 2 ( 1) ( 2) 2 ( 2) 3 1 2 ( 2) 2 1 2 2 ln ln 2 1 3 3 2 2 (0 x ≤ 4) 例 10 求 = + 1 + + 2 ( 1)( 2) n n n n x 的和函数． 解 因 1 ( 2)( 3) ( 1)( 2) lim = + + + + = → n n n n R n 且 x = 1 时级数收敛，故收敛区间为 [−1,1]． 设 = + + + = 1 2 ( 1)( 2) ( ) n n n n x S x ，则 = + + = 1 1 1 ( ) n n n x S x ， = = 1 ( ) n n S x x ， 又 = − = n 1 1 n x x x ，故 x x S x − = 1 ( ) (−1 x 1) ．积分得 = − − − − − = = x x x x x x x S x S S x x 0 0 d ln(1 ) 1 ( ) (0) ( )d (−1 x 1) ， 因 S(0) = 0 ，故 S(x) = −x − ln(1− x) (−1 x 1) ．再积分得 − = = − − − x x S x S S x x x x x 0 0 ( ) (0) ( )d [ ln(1 )]d
+0-x)m1-x)(-1<x<0: 2 又因50)=0，放得 S)=-号+-x1- 此例通过微分方程亦可求得。 例Ⅱ求了x之的收数区何及和函数 州 2n+31 解因 (u+11 2n+3 2n+1,2 x=0, +-(21+1Xn+D 故收敛区间为一，+. 2用 故 S()=(S(xdr)=(mey=ed+2) 即 S()=2e(2)xe() 注：)对于给定的幂级数，如果一般项如例0那样： 常用“先微后 (+2n+) 积”的办法求和（系数分母中含有琴指数的因子）： (2)对于给定的幂级数，如果一般项如例日郑样： 2”,常用“先积后微”的办 法求和（系数分子中含有雾指数加的因子）归 3幂级数在收效区何逐项微分或逐项积分后，收敛半径不变，但端点处的效散性可能 个
7 − − = − − − + x x x x x x x 0 2 d 1 ln(1 ) 2 (1 )ln(1 ) 2 2 x x x = x − + − − (−1 x 1) ， 又因 S(0) = 0 ，故得 (1 )ln(1 ) 2 ( ) 2 x x x S x = x − + − − (−1 x 1) ． 此例通过微分方程亦可求得． 例 11 求 = + 0 2 ! 2 1 n n x n n 的收敛区间及和函数． 解 因 0 (2 1)( 1) 2 3 lim ! 2 1 ( 1)! 2 3 lim 2 2 2 3 = + + + = + + + → + → x n n n x n n x n n n n n n ， 故收敛区间为 (−,+) ． 设 = + = 0 2 ! 2 1 ( ) n n x n n S x ，而 2 2 1 2 2 0 0 0 0 0 2 1 ( )d d e ! ! ! n n x x n x n n n n x x S x x x x x x n n n + = = = + = = = = ， 故 ( ) 2 2 2 0 ( ) ( )d ( e ) e (1 2 ) x x x S x S x x x x = = = + ， 即 2 2 2 0 2 1 ( ) e (1 2 ) ! n x n n S x x x n = + = = + ， x (−,+) ． 注： (1) 对于给定的幂级数，如果一般项如例 10 那样： ( 2)( 1) 2 + + + n n x n ， 常用“先微后 积”的办法求和(系数分母中含有幂指数的因子)； (2) 对于给定的幂级数，如果一般项如例 11 那样： n x n n 2 ! 2 +1 ，常用“先积后微”的办 法求和（系数分子中含有幂指数加 1 的因子）； (3) 幂级数在收敛区间逐项微分或逐项积分后，收敛半径不变，但端点处的敛散性可能
改变，如例0， 月题6傅里叶级数与幂领数有何不同？求函数(x的傅里叶级数与将函数x)能成 傅里叶级数是否为一回事？ 解析博里叶级数的结构与幂级数不同，它的各项均为正弦函数或余弦函数，它们都是 周期函数，因此，博里叶领数能呈现出函数的周期性，而幂级数则不能。正因为这样，博里 叶级数对振动电子信号等周期性现象的研究具有非常重要的意义，同封，一个函数的里叶 领数展开（简称缚里叶展开）的条件要比幂级数展开的条件低得多，它不仅不需要雨数具有任 意阶导数，就连函数的连线性也不要求，只须满足收数定理条件即可。这样就可以使得一般 的函数均能展成博里叶级数，当格它的收敛城比较复杂，系数计算也比较复杂，逐项求导和 迷项积分则雷附如很强的条件。而幂级数的收致城是区间，系数的计算也相对简单，最重要 的是幂级数在收效区间内可以自由的运算，不仅可以把有限的四则运算带到无穷领数中来， 还可以把有限个函数的（逐项）微分和（逐项》积分等解析运算也蒂进无穷级数中来 求)的傅果叶级数与将(x)展成傅果叶级数不是一国事，就像一个函数的奉勒级 数与其妻粉展开式不是一目事一样，所谓求八)的筒里叶级数是指：若它在「一，]上可积， 则由会式计算出以a,b为系数的三角领数学+∑（口，c0s匹+九sn),就是f()的 博里叶级数，显然，只要(x)在-元，上可积。总可以用公式计算出口.，b·从而可写 出它的傅里叶级数， 问题是满足什么条件这个博里叶级数收敛于八)？只要满足收敛定理条件，这个等里叶 级数一定收敛，在连线点x处收数于八)，在间断点处收敛于该点左，右极限的平均值，我 们说将八x)展成傅里叶级数算是指：若)端足收敛定理条件，则在使 x=+/的点处有 a=号+2a,m5+b,m四： 一般说来，使上式成立的范围就是八x)的适续意围. 三，例题精解
8 改变，如例 10． 问题 6 傅里叶级数与幂级数有何不同?求函数 f (x) 的傅里叶级数与将函数 f (x) 展成 傅里叶级数是否为一回事 ? 解析 傅里叶级数的结构与幂级数不同，它的各项均为正弦函数或余弦函数，它们都是 周期函数，因此，傅里叶级数能呈现出函数的周期性，而幂级数则不能．正因为这样，傅里 叶级数对振动电子信号等周期性现象的研究具有非常重要的意义．同时，一个函数的傅里叶 级数展开(简称傅里叶展开)的条件要比幂级数展开的条件低得多，它不仅不需要函数具有任 意阶导数，就连函数的连续性也不要求，只须满足收敛定理条件即可．这样就可以使得一般 的函数均能展成傅里叶级数，当然它的收敛域比较复杂，系数计算也比较复杂，逐项求导和 逐项积分则需附加很强的条件．而幂级数的收敛域是区间，系数的计算也相对简单，最重要 的是幂级数在收敛区间内可以自由的运算，不仅可以把有限的四则运算带到无穷级数中来， 还可以把有限个函数的（逐项）微分和（逐项）积分等解析运算也带进无穷级数中来． 求 f (x) 的傅里叶级数与将 f (x) 展成傅里叶级数不是一回事，就像一个函数的泰勒级 数与其泰勒展开式不是一回事一样．所谓求 f (x) 的傅里叶级数是指：若它在 [−π, π] 上可积， 则由公式计算出以 n a ， n b 为系数的三角级数 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a ，就是 f (x) 的 傅里叶级数．显然，只要 f (x) 在 [−π, π] 上可积，总可以用公式计算出 n a ， n b ，从而可写 出它的傅里叶级数． 问题是满足什么条件这个傅里叶级数收敛于 f (x) ?只要满足收敛定理条件，这个傅里叶 级数一定收敛，在连续点 x 处收敛于 f (x) ，在间断点处收敛于该点左、右极限的平均值．我 们说将 f (x) 展成傅里叶级数就是指：若 f (x) 满足收敛定理条件，则在使 2 ( ) ( ) ( ) + − + = f x f x f x 的点处有 = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) n an nx bn nx a f x ， 一般说来，使上式成立的范围就是 f (x) 的连续范围． 三、例题精解
例12csx=1-工，工 +中的“…”意味着什么？ 2 解这三个点表明级数的项无穷多，没有尽头，去掉三个点就称为多项式，不称为级数 例13验证败拉公式. cos0+isin=1- .00+ +1 3 57 =1+i0-200i0g 21314561 因为=一1，=-，十=1，=1，，所以我们重新写领数为 cos0+isi=ii) 213引415161 即eos0+in0=e”. 例14（付款现植核）某企业家支持一个球队，签如下合同，今后10年，每年向球 队支付300万元人民币。付企业家存入银行多少钱才能保证付请所有的应付款呢？假设存铺 是有利息的，企业家只需存入比3000万元人民币少得多的钱。这个少得多的存款额移为 3000万元的现值， 解现值的定义：将米应付款B元的现值刀元，是一个必须今天存在银行账户上的值， 它使得在将来的某个相关时间，账户上的值哈好等于B元 若年利率为，对年，每年次以复利计算利息，则 1+ 若利息以年利率为的莲续复利计算，可得 B=四或P==, 求球队合同的现值：设付款分0次，球以每次获得300万元，第一次付款是在签约当 天，设整个合同执行期间以59%的年复利计算利息 第1笔付款发生在签的的当天： 第1笔付款现值=3（百万元）， 第2笔付款发生在一年后实现
9 例 12 = − + − + 2! 4! 6! cos 1 2 4 6 x x x x 中的“…”意味着什么？ 解 这三个点表明级数的项无穷多，没有尽头，去掉三个点就称为多项式，不称为级数． 例 13 验证欧拉公式． 2 4 6 3 5 7 cos isin 1 i 2! 4! 6! 3! 5! 7! + = − + − + + − + − + 2 3 4 5 6 i i 1 i 2! 3! 4! 5! 6! = + − − + + − − ， 因为 2 i 1 =− ， 3 i i =− ， 4 i 1 = ， 5 i i = ，…，所以我们重新写级数为 2 3 4 5 6 i (i ) (i ) (i ) (i ) (i ) cos isin 1 i e 2! 3! 4! 5! 6! + = + + + + + + + = 即 i cos isin e + = ． 例 14 (付款现值模型) 某企业家支持一个球队，签如下合同：今后 10 年，每年向球 队支付 300 万元人民币．问企业家存入银行多少钱才能保证付清所有的应付款呢?假设存储 是有利息的，企业家只需存入比 3000 万元人民币少得多的钱，这个少得多的存款额称为 3000 万元的现值． 解 现值的定义：将来应付款 B 元的现值 p 元，是一个必须今天存在银行账户上的值， 它使得在将来的某个相关时间，账户上的值恰好等于 B 元． 若年利率为 r ，对 t 年，每年 n 次以复利计算利息，则 nt n r B p = 1+ 或 nt n r B p + = 1 ， 若利息以年利率为 r 的连续复利计算，可得 e rt B p = 或 e e rt rt B p B − = = ． 求球队合同的现值：设付款分 10 次，球队每次获得 300 万元，第一次付款是在签约当 天，设整个合同执行期间以 5% 的年复利计算利息． 第 1 笔付款发生在签约的当天： 第 1 笔付款现值 = 3 (百万元)， 第 2 笔付款发生在一年后实现：
第2笔付款现值一 （百万元， 1+005 第3笔付款发生在两年后实现： 3 第3笔付款现值= (百万元》， 105 同样 3 第10笔付款现值 10S(佰万元). 3 总的现值=3+ 33 05105+105 2432(百万元)， 105 即企业家只需存入2432万元现植即可. 若合问永不停止地每年支付0万元，则该合同的现值是多少？即置设从签约之日起， 每年付一次，且水不停止，设利率为每年5%，以连续复利计算 第笔付款现值=3（百万元）， 第2笔付款现值=3“（百万元）.。 第3笔付款现值=3e了（百万元）， s11 总的现值=3+3北+3e了+3e)+, 这是一个x=e的几何级数，求和得 总的现值= -e丽615（佰万元. 四，练习愿 1,判断正误 《1)雨数的幂级数展开式一定是此函数的素勒级数 () 解斯由函数x)的幂级数展开式的唯一性可知，如果八x)能展开成x一x的幂级 数，那么幂级数就是八工)的奉勒领数 (2)雨数的麦克劳林级数一定是此两数的幕级数展开式： (×) 解斯当/()的麦克劳林级数不收效或不收效于八()时，八x)不可展开成为幂级 10
10 第 2 笔付款现值 1 0.05 3 + = (百万元)， 第 3 笔付款发生在两年后实现： 第 3 笔付款现值 2 1.05 3 = (百万元)， 同样 第 10 笔付款现值 9 1.05 3 = (百万元)， 总的现值 10 2 9 1 3 1 3 3 3 1.05 3 24.32 1.05 1.05 1.05 1 1 1.05 − = + + + + = − （百万元）， 即企业家只需存入 2432 万元现值即可． 若合同永不停止地每年支付 300 万元，则该合同的现值是多少?即假设从签约之日起， 每年付一次，且永不停止．设利率为每年 5% ，以连续复利计算． 第 1 笔付款现值 = 3 (百万元)， 第 2 笔付款现值 0.05 3e− = (百万元)， 第 3 笔付款现值 0.05 2 3(e ) − = (百万元)， …… 总的现值 0.05 0.05 2 0.05 3 3 3e 3(e ) 3(e ) − − − = + + + + ， 这是一个 0.05 x e − = 的几何级数，求和得 总的现值 0.05 3 61.5 1 e− = − (百万元)． 四、练习题 １．判断正误 （１）函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数； （ √ ） 解析 由函数 f (x) 的幂级数展开式的唯一性可知，如果 f (x) 能展开成 0 x − x 的幂级 数，那么幂级数就是 f (x) 的泰勒级数． （２）函数的麦克劳林级数一定是此函数的幂级数展开式； （ ） 解析 当 f (x) 的麦克劳林级数不收敛或不收敛于 f (x) 时， f (x) 不可展开成为幂级