第九章空间解析几何 一、本章提要 1.基本概念 空间直角坐标系。向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解， 向量的方向余弦，向量的点积与叉积。平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式 方程，缘面。柱面，旋转面。二次曲面。空间由线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函 数的积分 2.基本公式 两点间的见离公式，向量模与方间余弦公式，点积与夏积坐标公式，点到平南的是离公 式。平面与直线间的夹角公式， 3.方程 直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的 一般式方程， 二，要点解析 月题！自由向量的基本特征为何？如何描述其基本特征？ 解斯向量含有两个基本特征，一个是大小，另一个是方向.所谓自由向量是具考虑大 小和方向，而不考虑它的始点和锋点位置，即一个向量可以在空间自由地平行移动。不论位 置如何。贝要其大小相等、方向相同即认为是相等或同一向量。本书时论的向量均为自由向 量。 向量特征的描述，从几何上是用有向线段的方向代表向量的方向，有向线段的长度代表 向量的大小，从坐标表示上。以M(,片，5)为始点，M(无2，片2，)为终点的向量为 MM2=偶-名，为-月，53-} 其大小（德）为MM=V(3-x广+(5-另广+(-)，其方向由其与坐标轴 正向的夹角a,B,y的余弦确定。即 ，csB=-当， MM. 何题2向量的点积与叉积有何物理意义？如何计算？如何利用它们判别向量的位置
1 第九章 空间解析几何 一、本章提要 1．基本概念 空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解， 向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式 方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函 数的积分． 2．基本公式 两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公 式，平面与直线间的夹角公式． 3．方程 直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的 一般式方程． 二、要点解析 问题 1 自由向量的基本特征为何?如何描述其基本特征? 解析 向量含有两个基本特征，一个是大小，另一个是方向．所谓自由向量是只考虑大 小和方向，而不考虑它的始点和终点位置，即一个向量可以在空间自由地平行移动．不论位 置如何，只要其大小相等、方向相同即认为是相等或同一向量．本书讨论的向量均为自由向 量． 向量特征的描述，从几何上是用有向线段的方向代表向量的方向，有向线段的长度代表 向量的大小．从坐标表示上，以 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 为始点， ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为终点的向量为 { , , } 1 2 2 1 2 1 2 1 M M = x − x y − y z − z ， 其大小(模)为 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) ，其方向由其与坐标轴 正向的夹角 , , 的余弦确定，即 2 1 1 2 cos x x M M − = ， 1 2 2 1 cos M M y − y = ， 1 2 2 1 cos M M z − z = ． 问题 2 向量的点积与叉积有何物理意义？如何计算？如何利用它们判别向量的位置
关系？ 解析设向量a与b的夹角为0，则 a-b=abcos0.axb=a bsno-n', 其中n°为与a,b同时兵直，方向由右手螺旋法则确定的单位向量.点积为量量，叉 积为向量。 点积在物理上可以表示功，若物体在力F的作用下作直线运动。其位移向量为s,则 其功甲为 W=F s cose=F.s. 叉积在物理上可以表示力更、磁力等.当单位电荷以速度V在磁场B中运动时，它所 受的磁力F为F■P×B。其大小为例s如日，方向由右手螺旋法则确定。 若a={a+0,ab=6,b,6}.则 a-b =ab,+a,b,+ab.. a×b= 04 b 白量之阿的位置关系： (1》a⊥b白ab=a,b,+a,b,+a,b=0: ②a∥b白axh=0成g.g.g bb b. 3》a与b的夹角8由cas8=4b ab,+ab,+ab. 确定 a+a+ab+b+b 闲1设a=1.0-2},b=-31},求a·b和a×b. 解ab=1×(-3)+0×1+(-2)×1=-5 k 0 -2=21+5j+k=25,} -311 月题3说明确定平面的条件及典型的平面方程 解析满足下列条件之一者可确定一个平面：
2 关系？ 解析 设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 a b = a b cos ， a b = a b sin n ， 其中 n 为与 a ，b 同时垂直，方向由右手螺旋法则确定的单位向量．点积为数量，叉 积为向量． 点积在物理上可以表示功，若物体在力 F 的作用下作直线运动，其位移向量为 s ，则 其功 W 为 W = F s cos = F s ． 叉积在物理上可以表示力矩、磁力等．当单位电荷以速度 v 在磁场 B 中运动时，它所 受的磁力 F 为 F = vB ，其大小为 v B sin ，方向由右手螺旋法则确定． 若 a = { , , } ax ay az ，b { , , } = bx by bz ，则 a b = axbx + ayby + azbz ， y z y z x x aaa b b b = i j k a b ． 向量之间的位置关系： (1) a ⊥ b a b = axbx + ayby + azbz = 0 ； (2) a ∥ b ab = 0 或 z z y y x x b a b a b a = = ； (3) a 与 b 的夹角 由 a b a b cos = 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 确定． 例 1 设 a = {1,0,−2}， b = {−3,1,1} ，求 a b 和 a b ． 解 a b = 1 (−3) + 0 1+ (−2) 1 = −5． 2 5 {2,5,1} 3 1 1 1 0 2 = + + = − = − i j k i j k a b ． 问题 3 说明确定平面的条件及典型的平面方程． 解析 满足下列条件之一者可确定一个平面：
(1)过空间中不共线的三个点： 2)过直线和直线外一点： 3)过两条平行成相之的直线 我们用向量的方法可将条件自结为：过一已知点且与一已知向量垂直便可确定一个平 面。由此条件建立的平面方程就是平面的点法式方程 平面的主要方程形式： (》点法式：过点(x。。。),法向量为：={4.BC)的平面方程为 A(x-x)+B(y- %)+CE-)=0: 2)一般式Ax++C+D=0,其中#={A,BC )截距式：三++三=1，其中平面与坐标轴交点为(a.0,0.0.b0.(0.0c): a b c x-Xy-月五-6 (4)三点式： 写--6马-0=0，其中()，（片）： 2-另-月。-0 (书，为，5)为平面上不在一条直线上的三点， 例2求通过点M。(2,-L,4)和：轴的平面方程. 解因为：轴的单位向量k={0,0,)和O小M。=2,-1,4}均在所求平面内，故可取该平 面的一个法向量为n=k×O八M。=1,2,0,于是所求方程为 1×(x-2)+24y+10+0×(g-4)=0, 即 x+2y=0. 月题4说明确定直线的基本条件及典型的直线方程， 解析确定一条直线的条件有：过不重合的两点，或者二平面的交线等。我们用向量的 方法可将这些条件白结为：过一已如点且与一已知向量平行可以确定一条直线，由此条件建 立起来的直线方程为直线的点向式方程 直线的主要方程形式： 3
3 (1) 过空间中不共线的三个点； (2) 过直线和直线外一点； (3) 过两条平行或相交的直线． 我们用向量的方法可将条件归结为：过一已知点且与一已知向量垂直便可确定一个平 面．由此条件建立的平面方程就是平面的点法式方程． 平面的主要方程形式： (1) 点法式：过点 ( , , ) 0 0 0 x y z ，法向量为 n = {A,B,C} 的平面方程为 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ； (2) 一般式： Ax + By + Cz + D = 0 ，其中 n = {A, B,C} ； (3) 截距式： + + = 1 c z b y a x ，其中平面与坐标轴交点为 (a,0,0),(0,b,0),(0,0, c) ； (4) 三点式： 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 = − − − − − − − − − x x y y z z x x y y z z x x y y z z ，其中 ( , , ) 0 0 0 x y z ，( , , ) 1 1 1 x y z ， ( , , ) 2 2 2 x y z 为平面上不在一条直线上的三点． 例 2 求通过点 (2, 1,4) M0 − 和 z 轴的平面方程． 解 因为 z 轴的单位向量 k = {0,0,1} 和 {2, 1,4} OM0 = − 均在所求平面内，故可取该平 面的一个法向量为 {1,2,0} n = k OM 0 = ，于是所求方程为 1 (x − 2) + 2( y +1) + 0 (z − 4) = 0， 即 x + 2y = 0 ． 问题 4 说明确定直线的基本条件及典型的直线方程． 解析 确定一条直线的条件有：过不重合的两点，或者二平面的交线等．我们用向量的 方法可将这些条件归结为：过一已知点且与一已知向量平行可以确定一条直线，由此条件建 立起来的直线方程为直线的点向式方程． 直线的主要方程形式：
0)点向式：-玉。二立=二，其中(%)为直线上定点，5-m,机p以 为直线的方向向量： x=。+, 2参数式： y=+, :=。+p 3)两点式： =五。=业=-三，其中（为，），(：为)为直线上不 x:-x1-2- 重合的两点： (0一般式： Ax+By+C:+D=0, 其中此二平面不平行， 4x+By+C3:+D=0 例3求过点M(0.1,0)且森直于平面3x-y+2=0的直线方程. 解因所求直线的方向向量与己知平面的法向量同向，所以可取x=3,-1,:,放所 案动程为行只后 注意：上式右端一项分母为零是一种记法，它只表示该直线与：轴垂直. 月题5列举常见的曲而方程，指明曲面及其方程特征 名 方程形式 方程特征 曲面彩式 称 母线平行：轴的柱 面方程Fx,=0 图柱面x2+y2=, 抛物柱面y2=2x 料 方程中不含 面 双由柱面言一 变量： 1, 格图性面子 F=I
4 (1) 点向式： p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − ，其中 ( , , ) 0 0 0 x y z 为直线上定点， s = {m, n, p} 为直线的方向向量； (2) 参数式： = + = + = + z z pt； y y nt x x mt 0 0 0 , , (3) 两点式： 2 1 1 2 1 1 2 1 1 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − − ，其中 ( , , ) 1 1 1 x y z ，( , , ) 2 2 2 x y z 为直线上不 重合的两点； (4)一般式： + + + = + + + = 0, 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 其中此二平面不平行． 例 3 求过点 (0,1,0) M0 且垂直于平面 3x − y + 2 = 0 的直线方程． 解 因所求直线的方向向量 s 与已知平面的法向量同向，所以可取 s = {3,−1,0} ，故所 求方程为 1 0 1 3 x y z = − − = ． 注意：上式右端一项分母为零是一种记法，它只表示该直线与 z 轴垂直． 问题 5 列举常见的曲面方程，指明曲面及其方程特征． 名 称 方程形式 方程特征 曲面形式 柱 面 母线平行 z 轴的柱 面方程 F(x, y) = 0 ， 圆柱面 2 2 2 x + y = R ， 抛物柱面 y 2 px 2 = ， 双曲柱面 2 2 a x － 1 2 2 = b y ， 椭圆柱面 2 2 a x ＋ 1 2 2 = b y 方程中不含 变量 z x y z O
曲线L: 制 )-0绕：轴装转 含有x2+y x=0 形式且xy的平 而成的由面 方项系数相同 面 仕+y,=0 树绿面 名，：的平 方项系数同号 (a.b.c)>0 由 面 含x,y的平 抛物面 方项。：的一次 :-2p24 P,g>0) 单叶双曲面方 xy的平方 项系数与：的平 e=l 方项系数异号 三，例题精解 例4己知向量尸B的始点为P(2.-25),锋点为B(-1,4,7),试求： ()向量乃B的坐标表示： 2)向量PB的模：
5 旋 转 曲 面 曲线 L ： = = 0 ( , ) 0 x f x y 绕 z 轴旋转 而成的曲面 ( , ) 0 2 2 f x + y z = 含有 2 2 x + y 形式且 x, y 的平 方项系数相同 x z y O 二 次 曲 面 椭球面 + 2 2 a x 1 2 2 2 2 + = c z b y (a,b,c) 0 x, y,z 的平 方项系数同号 x y z O 抛物面 q y p x z 2 2 2 2 = + ( p,q 0) 含 x, y 的平 方项， z 的一次 项 z x O y 单叶双曲面 2 2 2 2 b y a x + － 1 2 2 = c z x, y 的平方 项系数与 z 的平 方项系数异号 y x z O 三、例题精解 例 4 已知向量 P1P2 的始点为 (2, 2,5) P1 − ，终点为 ( 1,4,7) P2 − ，试求： (1)向量 P1P2 的坐标表示； (2)向量 P1P2 的模；
(3)向量PB的方向余弦： ()与向量PB方向一致的单位向量。 解(1)5=-1-24-(-2)7-5)=-36,2： 2②P月=-3+6+2=49=7： ③》P乃在x,上，：三个坐标轴上的方向余弦分别为 2 ④(PE)r= PP RA 2 7 例5求与a-1.-23引共线。且a-b=28的向量b, 解由于b与a共线，所以可设 b=温={2，-2,3} 由a-b=28,得 1,-2,3}{2,-2元32=28， 即无+42+92=28，所以2=2，从而 b=2,-4,61 例6已知a=1,0.-2,b=1,1,0y,求c,使c⊥a,c⊥b且g=6. 解一待定系数法。设c={x,又，则由题设知ca=0.c·b=0及=6，所以有 x-2:=0 X+V=0 ② V+y+:=6 由①得 02 ④ 由②得 y=-x: 将①和⑤代入通料
6 (3)向量 P1P2 的方向余弦； (4)与向量 P1P2 方向一致的单位向量． 解 (1) { 1 2,4 ( 2),7 5} { 3,6,2} P1P2 = − − − − − = − ； (2) ( 3) 6 2 49 7 2 2 2 P1P2 = − + + = = ； (3) P1P2 在 x, y,z 三个坐标轴上的方向余弦分别为 3 6 2 cos ,cos ,cos 7 7 7 = − = = ； (4) i j k i j k 7 2 7 6 7 3 7 3 6 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 = − + + − + + = = P P P P P P ． 例 5 求与 a = {1,−2,3} 共线，且 a b = 28 的向量 b ． 解 由于 b 与 a 共线，所以可设 b = a = {,−2,3}， 由 a b = 28 ，得 {1,−2,3}{,−2,3} = 28 ， 即 + 4 + 9 = 28 ，所以 = 2 ，从而 b = {2,−4,6}． 例 6 已知 a = {1,0,−2},b = {1,1,0} ，求 c ，使 c ⊥ a, c ⊥ b 且 c = 6． 解一 待定系数法．设 c = {x, y,z} ，则由题设知 c a = 0, c b = 0 及 c = 6 ，所以有 2 2 2 2 0 ① 0 ② 6 ③ x z x y x y z − = + = + + = 由①得 2 x z = ， ④ 由②得 y = −x ， ⑤ 将④和⑤代入③得
=6 解得 x=4y=4,=2, 于是 c={4,-42}成e=【4,4-2} 解二利用向量的垂直平行条件，因为e上a,c⊥b,所以e∥a×b. 设是不为零的常数。则 i jk c=(a×)=10-2=2i-2万+k. 110 因为=6，所以√22+(-2)+1]=6，解得 1=2, 所以 e=4,-4,2)或e={-4,42 解三先求出与向量a×b方向一致的单位向量：然后乘以土6， i jk a×b=10-2=2i-2j+k, 110 a×M=V2+(-2y+下=3. 放与a×6方向一致的单位向量为2，-2..于是 6 c=±。2.-2,1} 3 即 c={4,-4,2或e={-4,4,-2} 例7求满足下列条件的平面方程： (0》过三点P(0,12),B(1,2,1)和P(30,4): 2)过x轴且与平面V5x+2少y+:-0的夹角为 解(1)解一用三点式。所求平面的方程为 x-0y-1-2 1-02-11-2=0 3-00-14-2
7 6 2 ( ) 2 2 2 = + − + x x x ， 解得 x = 4, y = 4,z = 2 ， 于是 c = {4,−4,2} 或 c = {−4,4,−2}． 解二 利用向量的垂直平行条件，因为 c ⊥ a, c ⊥ b ，所以 c ∥ a b ． 设 是不为零的常数，则 i j k i j k c = a b = − = 2 − 2 + 1 1 0 ( ) 1 0 2 ， 因为 c = 6 ，所以 [2 ( 2) 1 ] 6 2 2 2 2 + − + = ，解得 = 2 ， 所以 c = {4,−4,2} 或 c = {−4,4,2}． 解三 先求出与向量 a b 方向一致的单位向量，然后乘以 6 ． i j k i j k a b = − = 2 − 2 + 1 1 0 1 0 2 ， 2 ( 2) 1 3 2 2 2 a b = + − + = ， 故与 a b 方向一致的单位向量为 {2, 2,1} 3 1 − ．于是 {2, 2,1} 3 6 c = − ， 即 c = {4,−4,2} 或 c = {−4,4,−2}． 例 7 求满足下列条件的平面方程： (1)过三点 (0,1,2) P1 ， (1,2,1) P2 和 (3,0,4) P3 ； (2)过 x 轴且与平面 5x + 2y + z = 0 的夹角为 π 3 ． 解 (1)解一 用三点式．所求平面的方程为 0 3 0 0 1 4 2 1 0 2 1 1 2 0 1 2 = − − − − − − x − y − z −
即 x-5y-4:+13=0. 解二川点法式.P月=1,1-)，P可=3-12，由题设知，所求平面的法向量 为 =PPxPP=11 -1 =i-5j-4k, 3-12 又因为平面过点P(0L,2),所以所求平围方程为 (x-0)-5y-1)-4H:-2)=0, 即 x-5y-4:+13=0. 用下面的方法求出所求平面的法向量月={AB.C},再根据点法式公式出平面方程 也可 因为 n⊥PE,n1PF, 所以 (A+B-C=0 3A-B+2C=0 解得 B=-5AC=-4A, 于是所求平面方程为 4x-0)-54y-1)-4A:-2)=0, 即 x-5y-4:+13=0. (2)因所求平面过x轴，故该平面的法向量n={AB,C)垂直于x轴。程在x轴上的 投影A=0,又平面过原点，所以可设它的方程为 +C=0, 由题设可知B≠0（因为B=0时，所求平面方程为C=0又C≠0，即：=0。这样 它与已知平面5x+2y+:=0所夹锐角的余弦为 0xV5+0×2+1x 1 +0+下W5+2+F而 行产m写分所型B0◆后-C,则有 y+C上=0，由圈设得
8 即 x − 5y − 4z +13 = 0 ． 解二 用点法式． {1,1, 1} P1P2 = − ， {3, 1,2} P1P3 = − ，由题设知，所求平面的法向量 为 i j k i j k n 5 4 3 1 2 1 2 1 3 1 1 1 = − − − = PP PP = − ， 又因为平面过点 (0,1,2) P1 ，所以所求平面方程为 (x − 0) − 5( y −1) − 4(z − 2) = 0 ， 即 x − 5y − 4z +13 = 0 ． 用下面的方法求出所求平面的法向量 n = {A, B,C} ，再根据点法式公式写出平面方程 也可． 因为 1 2 1 3 n ⊥ PP ,n ⊥ PP ， 所以 0, 3 2 0, A B C A B C + − = − + = 解得 B = −5A,C = −4A， 于是所求平面方程为 A(x − 0) − 5A( y −1) − 4A(z − 2) = 0， 即 x − 5y − 4z +13 = 0 ． （2）因所求平面过 x 轴，故该平面的法向量 n = {A, B,C} 垂直于 x 轴， n 在 x 轴上的 投影 A = 0 ，又平面过原点，所以可设它的方程为 By + Cz = 0 ， 由题设可知 B 0 （因为 B = 0 时，所求平面方程为 Cz = 0 又 C 0 ，即 z = 0 ．这样 它与已知平面 5x + 2y + z = 0 所夹锐角的余弦为 2 2 2 2 2 2 0 5 0 2 1 1 1 π 1 cos 10 3 2 0 0 1 ( 5) 2 1 + + = = + + + + ，所以 B 0 ），令 C B C = ，则有 y + C z = 0 ，由题设得
b×5+1×2+C"x 0++C(W5+22+ 解得 C=3成C- 3 于是所求平面方程为y+3红=0或3y一：=0. 倒8已如平面在x轴上的截距为2，且过点(0，-1,0)和(2,1,3)，求此平面方程. 解析此题容易想到用三点式求平面方程，其实不然，因为用三点式需要解三阶行列式， 比较麻烦.注意到所求平而与三条坐标轴都相交，它在x轴上的餐距已如是2，易知它在y 怕上的截距是1，在：轴上的碳距也容易求得。故用裁距式求该平面方程方便些。 解设所求平面方程为 ++三=1， a b c 由恩设知 a=2,b=-1. 平面过点2L3所以号+号+1，得C=3.于是，所求平面方程为 即 3x-6y+2:-6=0. 例9求过点2，行于直线：2=牛.二2且垂直于平面 3 2-1 x+2y-3短+5=0的平面方程， 解一用点法式.所给直线的方向向量s=32.-日，所给平面的法向量”={1,2，-3) 具=3 2 =-4i+8j+4k, 12 由题设知，所求平面的法向量：上s且n上，，取：=一 ×%)=i-2j-k,干是 所求平面方程为 (x-2)-2(y-1)-(e-1)=0, 即 x-2y-:+1=0. 解二所求平面方程为 Ar++C+D=0
9 2 2 2 2 2 2 0 1 ( 5) 2 1 0 5 1 2 1 3 cos + + + + + + = C C ， 解得 C = 3 或 1 3 C = − ， 于是所求平面方程为 y + 3z = 0 或 3y − z = 0 ． 例 8 已知平面在 x 轴上的截距为 2，且过点 (0,−1,0) 和 (2,1,3) ，求此平面方程． 解析 此题容易想到用三点式求平面方程，其实不然，因为用三点式需要解三阶行列式， 比较麻烦．注意到所求平面与三条坐标轴都相交，它在 x 轴上的截距已知是 2，易知它在 y 轴上的截距是-1，在 z 轴上的截距也容易求得．故用截距式求该平面方程方便些． 解 设所求平面方程为 + + = 1 c z b y a x ， 由题设知 a = 2,b = −1， 平面过点 (2,1,3) ，所以 1 3 1 1 2 2 + = − + c ，得 c = 3 ．于是，所求平面方程为 1 2 1 3 + = − + x y z ， 即 3x − 6y + 2z − 6 = 0 ． 例 9 求过点 (2,1,1) ，平行于直线 1 2 2 1 3 2 − − = + = x − y z 且垂直于平面 x + 2y − 3z + 5 = 0 的平面方程． 解一 用点法式．所给直线的方向向量 s = {3,2,−1} ，所给平面的法向量 {1,2, 3} n1 = − ． 1 3 2 1 4 8 4 1 2 3 = − = − + + − i j k s n i j k ， 由题设知，所求平面的法向量 n ⊥ s 且 n n ⊥ 1 ，取 1 1 ( ) 2 4 n s n i j k = − = − − ，于是 所求平面方程为 (x − 2) − 2( y −1) − (z −1) = 0 ， 即 x − 2y − z +1 = 0 ． 解二 所求平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0
由平面过点(2,11)得 2A+B+C+D=0, ① 有所求平面垂直于平面 x+2y-3:+5=0, 知 {A.B.C⊥{12.-3. 所以 A+2B-3C=0, ② 又由所求平面平行于直线：2.！.一2，知 32-1 {A,B,C⊥32.-1}， 所以 3A+2B-C=0, 3 解①，②，①联立方程组得 A=D,B=-2D,C=-D, 所求平面方程为 x-2y-:+1=0. 10求过点-30)且平行千平面：3新-4y-:+5=0,又与直线么 y-=+相交的直线上的方程。 1 -1 解一用点向式方程.因为直线L平行子平面可，故直线L的方向向量s=【m,几，P时垂 直于平面，的法向量=3，一4一号，从而得 3m-4耕-p=0. ① 又直线L的方向向量为s=21,-},(0,1,-)是直线L上一点，《-30,1)是直线L 上一点。根据题设：直线L与直线L相交，所以多墨及AB共面，因此 (sx小AB- 1=0 3 1-2 一刚+万=卫=0， 2 10
10 由平面过点 (2,1,1) 得 2A+ B +C + D = 0， ① 有所求平面垂直于平面 x + 2y − 3z + 5 = 0 ， 知 {A, B,C} ⊥ {1,2,−3}， 所以 A+ 2B − 3C = 0 ， ② 又由所求平面平行于直线 1 2 2 1 3 2 − − = + = x − y z ，知 {A, B,C} ⊥ {3,2,−1}， 所以 3A+ 2B −C = 0 ， ③ 解①，②，③联立方程组得 A = D, B = −2D,C = −D ， 所求平面方程为 x − 2y − z +1 = 0 ． 例10 求过点 A(−3,0,1) 且平行于平面 π1 ：3 4 5 0 x y z − − + = ，又与直线 1 : 2 x L = 1 1 1 1 y z − + = − 相交的直线 L 的方程． 解一 用点向式方程。因为直线 L 平行于平面 π1 ，故直线 L 的方向向量 s = {m, n, p} 垂 直于平面 π1 的法向量 n = {3,−4,−1} ，从而得 3m − 4n − p = 0， ① 又直线 L1 的方向向量为 s = {2,1,−1}，B(0,1,−1) 是直线 L1 上一点， A(−3,0,1) 是直线 L 上一点，根据题设：直线 L 与直线 L1 相交，所以 1 s, s 及 AB 共面，因此 1 ( ) 2 1 1 0 3 1 2 m n p = − = AB − s s ， 即 − m + n − p = 0 ， ②