第二章极限与连续 一、本章是要 1.基本概念 两数的极限，左极限。右极限，数列的极限。无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一 点连续。连续函数，间断点，第一类间断点〔可去间断点，跳跃间断点)，第二类间断点 2基本公式 (1)m9 m口.1 0 2im(1+ =e(口代表同一变量). 00口 3基本方法 ()利用函数的连续性果极限： (②利用四则运算法则求极限： 因利用两个重要极限求极限， ()利用无穷小替换定理求极限： 0 (们利用分子，分母酒去共同的非零公因子求。形式的极限： 0 的利用分子，分母同除以白变量的最高次幂求一形式的极限： ()利用连线函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限： 侧利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求稷限 4定理 左右极限与极限的关系。单调有界原理，夹通准则，极限的惟一性，极限的保号性，极 限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小 与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。 二，要点解析 问题！如果mf)=A存在，椰么两数(x)在点，处是香一定有定义？ 解斯了 mf)=A存在与f)在无处是否有定义无关.例如m血=1，面 )血在x=0处无定义：又如四x2=0,而f)=产在x=0处有定义.所以
1 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一 点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1 sin lim 0 = → 口 口 口 ， (2) ) e 1 lim (1 0 + = → 口 口 口 ( 口 代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求 0 0 形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极 限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小 与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、要点解析 问题 1 如果 f x A x x = → lim ( ) 0 存在，那么函数 f (x) 在点 0 x 处是否一定有定义? 解析 f x A x x = → lim ( ) 0 存在与 f (x) 在 0 x 处是否有定义无关．例如 1 sin lim 0 = → x x x ，而 f (x) = x sin x 在 x = 0 处无定义；又如 lim 0 2 0 = → x x ，而 2 f (x) = x 在 x = 0 处有定义.所以
血f)存在，不一定有f代)在点有定义 问题2若mg(x小fx)=A存在，郑么mg)和mf八x)是香一定存在？是否 一定有m国)·f)=mg)·mfx) 解析mg到)·)=A存在，并不能保证血)与血)均存在.侧如 巴生马0，面中不存在又因为只有在织公)与职)均存在的条作 下，才有照8)·f国)8国·f),所以m8)·f八)存在，不能保证 mgx)·fx)-img国)·mfx) 月题3Gme=+0是否正确，为什么？ 解斩不正确尽管nc。e,而m心。me可。口 1 =0 E-H +0 +0 这说明.x→0时，c1不是无穷大 三，例避精解 例1求下列极限： (1)lim(x2+sinx+(cosx)): 2)1m 2x+3y 2x+1 (3)Im 1-G 1-派 )ms+2-): (6)lm 3x-5 1 x2sn 解()由于时论函数/)=x2+5动2x+(C0sx)在x=三处有定义，而且在
2 lim ( ) 0 f x x→x 存在，不一定有 f (x) 在 0 x 点有定义. 问题 2 若 g x f x A x x = → lim ( ) ( ) 0 存在，那么 lim ( ) 0 g x x→x 和 lim ( ) 0 f x x→x 是否一定存在？是否 一定有 lim ( ) 0 g x x→x · f (x) = lim ( ) 0 g x x→x · lim ( ) 0 f x x→x ？ 解析 lim ( ) 0 g x x→x · f (x) = A 存在，并不能保证 lim ( ) 0 g x x→x 与 lim ( ) 0 f x x→x 均存在.例如 lim 0 1 lim 0 2 0 = = → → x x x x x ，而 x x 1 lim →0 不存在.又因为只有在 lim ( ) 0 g x x→x 与 lim ( ) 0 f x x→x 均存在的条件 下，才有 lim ( ) 0 g x x→x · f (x) = lim ( ) 0 g x x→x · lim ( ) 0 f x x→x ,所以 lim ( ) 0 g x x→x · f (x) 存在，不能保证 lim ( ) 0 g x x→x · f (x) = lim ( ) 0 g x x→x · lim ( ) 0 f x x→x ． 问题 3 = + → x x 1 0 lim e 是否正确，为什么? 解析 不正确.尽管 = + → + x x 1 0 lim e ，而 0 e 1 lim e lim e lim 1 0 1 0 1 0 = = = − − → − − → → x x x x x x . 这说明, x →0 时， x 1 e 不是无穷大. 三、例题精解 例 1 求下列极限: (1) lim ( sin (cos ) ) 2 2 2tan 4 π x x x + x + x → ； (2) 1 ) 2 1 2 3 lim ( + → + + x x x x ； (3) 1 3 1 1 lim x x x − − → ； (4) ) 1 sin sin lim ( 0 x x x x x + → + ； (5) lim sin( x 2 x) x + − →+ ； (6) x x x x 1 sin 3 5 lim 2 − → . 解 (1)由于讨论函数 x f x x x x 2 2 2 tan ( ) = + sin + (cos ) 在 4 π x = 处有定义，而且在
x一下处连续，所以有 4 mx2+sm2x+(e0sx)2】 =(+m孕+os 16 2 r2 +1. 16 2) 1m( 2x+3 =2x+1 -im(2+1+2 2x+1 =lm+,2y J-e (这是严型，设法将其化为m1+二P) 2x+1 ▣ =m1+1 x+ =m1+1 5.im(+ x+- =m(1+ lim (1 I++ =e, 3) (这是型表定式) 0 -1+1+派+(1 四-网1+派+(+同 -x)[1+派+(] (分子、分母均含丰零因子x一1) 1-x1+√ 3
3 4 π x = 处连续，所以有 lim[ sin (cos ) ] 2 2 2 tan 4 π x x x + x + x → 4 π 2 tan 2 2 ) 4 π ) (cos 4 π ) (sin 4 π = ( + + 2 2 2 ) 2 2 ) ( 2 2 ( 16 π = + + 1 16 π 2 = + ． (2) 2 3 1 lim( ) 2 1 x x x x + → + + 2 1 2 1 lim( ) 2 1 x x x x + → + + = + 2 1 lim(1 ) 2 1 x x x + → = + + （这是 1 型，设法将其化为 口 口 ） 口 （ 1 lim 1+ → ） 1 1 2 2 1 lim(1 ) 1 2 x x x + + → = + + 2 1 2 1 ) 2 1 1 ) lim (1 2 1 1 lim (1 + + + = + → + → x x x x x 2 1 2 1 2 1 )] 2 1 1 ) [lim (1 2 1 1 lim (1 + + + = + → + + → x x x x x 2 1 = e 1 = e． (3) 1 3 1 lim 1 x x → x − − （这是 0 0 型未定式） 3 3 2 1 3 3 3 2 (1 )(1 ) 1 ( ) lim (1 ) 1 ( ) (1 ) x x x x x x x x x → − + + + = − + + + 3 3 2 1 (1 ) 1 ( ) lim (1 )(1 ) x x x x → x x − + + = − + （分子、分母均含非零因子 x −1 ）
lim- ++( 1+√ (40 mnx+xsm马占 +x0 =1+0 =1. 需要注意，本m}=0是由于x为x→0时的无穷小最 ,即上为有 sn 界函数，所以xsm二为x→0'时的无穷小. (5) msm(+2-) =sin lim(+) (函数符号与极限符号交换) sinlim (+2-Fr+2+ (分子有理化) 星+2+√国 2 sin lim- +w红+2+安 ■5n0 =0. 6) lim 3期-5 x2sin (3x-5)/x lim (适当变形) lim(3x-5)/x (利用商的极限公式) msn马/ X/x m-3h (利用重要侵限m sn口-1) lim(sin-) 0▣
4 3 3 2 1 1 ( ) lim 1 x x x → x + + = + 3 2 = ． (4) ) 1 sin sin lim ( 0 x x x x x + → + x x x x x x 1 lim sin sin lim 0 0 → + → + = + =1+ 0 = 1． 需要注意， 0 1 lim sin 0 = → + x x x 是由于 x 为 → + x 0 时的无穷小量， x 1 sin ≤1，即 x 1 sin 为有 界函数，所以 x x 1 sin 为 → + x 0 时的无穷小. (5) lim sin( 2 ) x x x →+ + − sin lim ( 2 ) x x x →+ = + − (函数符号与极限符号交换) ( 2 )( 2 ) sin lim 2 x x x x x → x x + − + + = + + （分子有理化） 2 sin lim 2 x→+ x x = + + = sin 0 = 0． (6) 2 3 5 lim 1 sin x x x x → − (3 5) lim 1 1 (sin ) x x x x x → − = （适当变形） lim (3 5) 1 1 lim (sin ) x x x x x x → → − = （利用商的极限公式） 1 0 5 lim (3 ) 1 1 1 lim (sin ) x x x x x → → − = （利用重要极限 1 sin lim 0 = → 口 口 口 ）
=3 例2 设f（x)- x'sin - X>0,问a为何值时mx)存在，并求此极限值 a+x2.x<0. 解对于分段函数，时论分段点处的极限.由于函数在分段点两边的解析式不月，所以， 一般先求它的左、右极限。 国-gr0 mf)-ma+r产)=a 为使mfx)存在，必须1mnfx)=mfx即a=0. 因此，a=0时，nf(x)存在且n八x)=0. COSx x+2 ,x20 例3设fx)= 问当a为何值时，x=0是f(x)的间断点？ Ja-va-x ,x<0 是什么间断点？ 解 lim f(x)=lim 后-a- lim (a-a-xa+a-x) N后+√a-x) =卿a+a-司 1 -lim a+a-x 2' im f(x)-lim cos +x+22 雪m≠明砂即产，你即a≠1时，=0是f代的同断点：由
5 = 3 例 2 设 + = , 0 , , 0 , 1 sin ( ) 2 2 a x x x x x f x 问 a 为何值时 lim ( ) 0 f x x→ 存在，并求此极限值. 解 对于分段函数，讨论分段点处的极限.由于函数在分段点两边的解析式不同，所以， 一般先求它的左、右极限. 0 1 lim ( ) lim sin 2 0 0 = = → + → + x f x x x x ， f x a x a x x = + = → − → − lim ( ) lim ( ) 2 0 0 ． 为使 lim ( ) 0 f x x→ 存在，必须 lim ( ) lim ( ),即 0 0 f x f x x x → + → − = a = 0. 因此， a = 0 时， lim ( ) 0 f x x→ 存在且 lim ( ) 0 0 = → f x x ． 例 3 设 − − + = , 0 , , 0 , 2 cos ( ) x x a a x x x x f x 问当 a 为何值时， x = 0 是 f (x) 的间断点? 是什么间断点? 解 0 0 lim ( ) lim x x a a x f x x − → − → − − = 0 ( )( ) lim ( ) x a a x a a x x a a x → − − − + − = + − 0 lim ( ) x x x a a x → − = + − 0 1 lim x a a x → − = + − 1 2 a = ， 2 1 2 cos lim ( ) lim 0 0 = + = → + → + x x f x x x ， 当 a f x f x x x 2 1 2 1 lim ( ) lim ( ) 0 0 → + → − ，即 ，亦即 a 1 时， x = 0 是 f (x) 的间断点；由
于a为大于0的实数。故f(0)与f(0)均存在，只是f0)f(0),故x=0为f八x) 的跳跃间断点 x2+1 例4已知 -ax-b =0,求a,b的值 x+1 解 因为 (+1 -ax-b) ax+】 =lim (1-a)x-(a+bx+1-b 4 x+1 =0, 1-a=0 由有理函数的极限知，上式成立，必须有x和x的系数等于0，即 a+b=0 于是 a=l1nb=-1. 四、练习题 1,判断正误 ()若函数f(x)在黑处极限存在，则f(x)在无处连续 (×) 解新斯函数在一点违续，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值。如函数 。)=臣0n)=的x=0,即函数)在=0处极限存在：但 儿)=0≠0)=1，所以函数f)= x≠0， ,x=0 在x=0处不连续. 出分段函数必有间断点 (×) xx20, 解析分段函数不一定有间断点。如函数八x)= 是分段函数 -x,x<0 即)=m人=0，职f)=mx=0,所以mx)=0:又因为0)-0. 即f)=f0),所以函数/)在x=0处连线。无同断点 un3x与sm3x是x+0时的等价无穷小， (√) 解析m tan 3x lim 1=l,由等价无穷小的定义，m3班与5血3x是x+0时 sn 3x c0s3x 的等价无穷小
6 于 a 为大于 0 的实数，故 (0 ) (0 ) + − f 与f 均存在，只是 (0 ) (0 ) + − f f ，故 x = 0 为 f (x) 的跳跃间断点. 例 4 已知 0 1 1 lim 2 = − − + + → ax b x x x ，求 a,b 的值. 解 因为 ) 1 1 lim ( 2 ax b x x x − − + + → 2 (1 ) ( ) 1 lim x 1 a x a b x b → x − − + + − = + = 0， 由有理函数的极限知，上式成立，必须有 2 x 和 x 的系数等于 0,即 + = − = 0 1 0 a b a ，于是 a = 1,b = −1. 四、练习题 ⒈ 判断正误 ⑴ 若函数 f (x) 在 0 x 处极限存在，则 f (x) 在 0 x 处连续. ( × ) 解析 函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．如函数 = = 1, 0 , , 0 , ( ) x x x f x lim ( ) lim 0 0 0 = = → → f x x x x ，即函数 f (x) 在 x = 0 处极限存在；但 lim ( ) 0 (0) 1 0 = = → f x f x ，所以函数 = = 1, 0 , 0 , ( ) x x x f x 在 x = 0 处不连续． ⑵分段函数必有间断点. ( × ) 解析 分段函数不一定有间断点．如函数 − = , 0 , 0 , ( ) x x x x f x 是分段函数， lim ( ) lim ( ) 0 0 0 = − = → − → − f x x x x ，lim ( ) lim 0 0 0 = = → + → + f x x x x ，所以 lim ( ) 0 0 = → f x x ；又因为 f (0) = 0 ， 即 lim ( ) (0) 0 f x f x = → ，所以函数 f (x) 在 x = 0 处连续，无间断点． ⑶ tan 3x 与 sin 3x 是 x →0 时的等价无穷小. ( √ ) 解析 1 cos3 1 lim sin 3 tan 3 lim 0 0 = = → x → x x x x ，由等价无穷小的定义， tan 3x 与 sin 3x 是 x →0 时 的等价无穷小．
()无界函数不一定是无穷大量 () 解析无穷大必无界，但反之不真，如函数八x)=x0sx,当x→时是无界函数： 但若取x-2m+号→西（→）时/国=玉0sx=0,不是无穷大量 2选择题 ()下列极限存在的是(B) 0im4: 围m x+1 43x'-1 (C)lim In x )ms动。 x-1 解析(》m4'=0,m4=+e, 所以m4不存在： 3 1 1+ (B)lim- x'+1 极限存在： 3x-1 3- C)mhx=-,所以mhx不#在： +0 》x+1时，x-1+0。 -1 +单·所以回 x-1 不存在 (白己知m ax+5 =6,则常数a=(C). +wx-1 01: B)5: (C06: )-1. 5 解析 lm ax+5 a+2 2==a=6,所以a=6. +x-1 1 (f八x)=2"在x=0处(C 》有定义： ()极限存在： (们左极限存在： (D)右极限存在， 解析因八x)=2,在x=0处无定义 m闭-m2产-0.即f八x)=2在x=0处左极限存在， mf八x)=m2”=+D,即(x)=2”在x=0处右极限不存在， 由慢限存在的充要条件，可知函量(x)=2”在X=0处的慢限不存在
7 ⑷无界函数不一定是无穷大量. ( √ ) 解析 无穷大必无界，但反之不真．如函数 f (x) = x cos x ，当 x → 时是无界函数； 但若取 2 π x = 2nπ + ， x → （ n → ）时 f (x) = x cos x = 0 ，不是无穷大量． 2.选择题 ⑴下列极限存在的是( B ) (A) x x lim 4 → ; (B) 3 1 1 lim 3 3 − + → x x x ; (C) x x lim ln 0 → + ; (D) 1 1 lim sin x→1 x − . 解析 (A) lim 4 = 0 →− x x ， = + →+ x x lim 4 ， 所以 x x lim 4 → 不存在； (B) 3 1 1 3 1 1 lim 3 1 1 lim 3 3 3 3 = − + = − + → → x x x x x x ，极限存在； (C) = − → + x x lim ln 0 ，所以 x x lim ln 0 → + 不存在； (D) x →1 时， x −1→ 0， → −1 1 x ，所以 1 1 lim sin x→1 x − 不存在． ⑵已知 6 1 5 lim = − + → x ax x ,则常数 a = ( C ). (A) 1； (B) 5 ； (C) 6 ； (D) -1. 解析 6 1 1 5 1 5 lim = = − + = − + → a x x a x ax x ，所以 a = 6． ⑶ x f x 1 ( ) = 2 在 x = 0 处 ( C ). (A) 有定义； (B) 极限存在； (C) 左极限存在； (D) 右极限存在. 解析 因 x f x 1 ( ) = 2 ，在 x = 0 处无定义， lim ( ) lim 2 0 1 0 0 = = → − → − x x x f x ，即 x f x 1 ( ) = 2 在 x = 0 处左极限存在， = = + → + → + x x x f x 1 0 0 lim ( ) lim 2 ，即 x f x 1 ( ) = 2 在 x = 0 处右极限不存在， 由极限存在的充要条件，可知函数 x f x 1 ( ) = 2 在 x = 0 处的极限不存在．
0当0<x<+时.f)=1(D 》有最大值与最小值： ⑧)有最大植无最小值： C)无最大值有最小值： )无最大值无最小值 解新了)=二在0，+切)上是连续函数，图形如下： 所以当0<x<+时，Ox)=二无最大值与最小图 3填空愿 (1已知a,b为常数，m 2+b+2 2x-1 =3,则a=0_,b=6 解x→时极限值存在且值为3，则分子、分母x的最高次应相同。所以=0， m2+x+2 b加+2 b+= b 基么m -=lm 2=m王=2=3，所以b=6. 42x=1 2x-1 12 2- 2fx)=Vx3-3x+2的连续区间是（仁0，小U2,+∞）： 解由2-3x+2≥0，知函数f八)的定义区间为(0，U2,+四小.又因为初等函 数在其定义区间上连线，所以f(x)=Vx2-3x+2的连续区间是（←0，U业，+∞）， )x=0是)=的可去间断点： 解X=0时，函数)=如严无定文，但m=1,极限存在，所以x=0是 )=如三的可去间断点。 x ()若m风x)=a(a为常数，则me=e 解 由复合函数求授限的方法，me中。e细。e 4解答题
8 ⑷当 0 x + 时， x f x 1 ( ) = ( D ). (A)有最大值与最小值; (B)有最大值无最小值; (C)无最大值有最小值; (D)无最大值无最小值. 解析 x f x 1 ( ) = 在 (0,+) 上是连续函数，图形如下： 所以当 0 x + 时， x f x 1 ( ) = 无最大值与最小值． 3.填空题 (1)已知 a, b 为常数， 3 2 1 2 lim 2 = − + + → x ax bx x ，则 a = 0 ，b = 6 ； 解 x → 时极限值存在且值为 3，则分子、分母 x 的最高次幂应相同，所以 a = 0 ， 那么 3 1 2 2 2 lim 2 1 2 lim 2 1 2 lim 2 = = − + = − + = − + + → → → b x x b x bx x ax bx x x x ，所以 b = 6． (2) ( ) 3 2 2 f x = x − x + 的连续区间是 (−,12,+ ) ； 解 由 3 2 0 2 x − x + ，知函数 f (x) 的定义区间为 (−,12,+ ) ．又因为初等函 数在其定义区间上连续，所以 ( ) 3 2 2 f x = x − x + 的连续区间是 (−,12,+ )． (3) x = 0 是 x x f x sin ( ) = 的 可去 间断点; 解 x = 0 时，函数 x x f x sin ( ) = 无定义，但 1 sin lim 0 = → x x x ，极限存在，所以 x = 0 是 x x f x sin ( ) = 的可去间断点． (4)若 x a x = → lim ( ) ( a 为常数)，则 = → ( ) lim e x x a e ． 解 由复合函数求极限的方法， a x x x x lim e e e lim ( ) ( ) = = → → ． 4.解答题 O y x x 1
1-c0s0 ()Osno 2编2日 解一 1-cos6 =m- 2 =lm- 2.1 i 0sin d =1·lm 20sm。c0 2cos 02 2c05 2 2 2 2 2 解二 无穷小量的等价代换，由于0→0时，5m0-日，1-60s0-? 2 0 所以 1-cose 2.1 (由设(x)=hx,求 m -1 解由无穷小量的等价代换，+1即x-1→0时， fx)=hx=nl+x-l明-x-1, 所以 m f(x)lm m hx =lim x-1=1. 者-1 州x-141x-1 (3 lim e"sin x: 解x→切时，e是无穷小量，s功x是有界变量 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。所以 lim e"snx=0. 0设f八x= 名，宝，试时论八)在x=1处的连续性，写出/)的连线区间： 6r-5,x>1. 解 m八闭-即x-1.m闭-6x--l,所以四f闭-1， 且f0)=1,即nf八x)=f),所以函数八x)在x=1处迷续. 又因为当x≤1时函数八x)=x连续，当x>1时函数（x)=6x-5也连续，所以函数 (x)的连续区向为(-o,+∞) e'.x0, 9
9 ⑴ sin 1 cos lim 0 − → ； 解一 sin 1 cos lim 0 − → 2 cos 2 2 sin 2 2sin lim 2 0 → = 2 2cos 1 2 2 sin lim 0 = → 2 2cos 1 1 lim →0 = 2 1 = ． 解二 无穷小量的等价代换，由于 → 0 时， 2 sin ~ , 1 cos ~ 2 − ， 所以 sin 1 cos lim 0 − → = → 2 lim 2 0 2 1 = ． ⑵ 设 f (x) = ln x ，求 1 ( ) lim →1 x − f x x ； 解 由无穷小量的等价代换， x →1 即 x −1→ 0 时， f (x) = ln x = ln1+ (x −1) ~ x −1， 所以 1 1 1 lim 1 ln lim 1 ( ) lim 1 1 1 = − − = − = → − → → x x x x x f x x x x ． ⑶ x x x lim e sin − →+ ； 解 x → + 时， − x e 是无穷小量， sin x 是有界变量． 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 lim e sin = 0 − →+ x x x ． ⑷ 设 − = 6 5, 1, , 1, ( ) x x x x f x 试讨论 f (x) 在 x =1 处的连续性，写出 f (x) 的连续区间； 解 lim ( ) lim 1 1 1 = = → − → − f x x x x ， lim ( ) lim (6 5) 1 1 1 = − = → + → + f x x x x ，所以 lim ( ) 1 1 = → f x x ． 且 f (1) = 1 ，即 lim ( ) (1) 1 f x f x = → ，所以函数 f (x) 在 x =1 处连续． 又因为当 x 1 时函数 f (x) = x 连续，当 x 1 时函数 f (x) = 6x − 5 也连续，所以函数 f (x) 的连续区间为 (−,+ )． ⑸ 设 = = , 0 , sin 1, 0 , e , 0 , ( ) x x x x x f x x 求 lim ( ), lim ( ) 0 0 f x f x x x → − → + ,并问 f (x) 在 x = 0 处是否连续；
解 闭=e=,==1,所以= 且f0)=1,即mf(x)=f(0),所以函数f八x)在x=0处连续。 1 喝讨论f(x)= -上的同断点 e+l 解x=0时，函数无定义，所以x=0为函数的问斯点， 因为imf（x)=m c-1 =卿=-l·m)=m e-11-e e+I e+11+e "- 哪职)去如)，所以x=0为函数八)= 1 一的跳跃间断点。 e+1 )求im Hl+x) sin 2x 解由无穷小量的等价代换，x+0时，口1+x)~x.s血2x~2x 所以 +0-m王- g5m2x“2x“2 8》试证方程x3-3x=1至少有一个根介于1和2之间， 证设函数fx)=x-3x-1,则f八x)在，2上连线，且f0=-3,f2)=25, 即区何瑞点函数植异号，由根的存在定理，至少存在一点号∈2]使得八=0，即方程 x’-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 10
10 解 lim ( ) lim e 1 0 0 = = → − → − x x x f x ， 1 sin lim ( ) lim 0 0 = = → + → + x x f x x x ，所以 lim ( ) 1 0 = → f x x ． 且 f (0) = 1 ，即 lim ( ) (0) 0 f x f x = → ，所以函数 f (x) 在 x = 0 处连续． ⑹ 讨论 e 1 e 1 ( ) 1 1 + − = x x f x 的间断点； 解 x = 0 时，函数无定义，所以 x = 0 为函数的间断点． 因为 1 e 1 e 1 lim ( ) lim 1 1 0 0 = − + − = → − → − x x x x f x ， 1 1 e 1 e lim e 1 e 1 lim ( ) lim 1 1 0 1 1 0 0 = + − = + − = − − → + → + → + x x x x x x x f x ， 即 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x → − → + ，所以 x = 0 为函数 e 1 e 1 ( ) 1 1 + − = x x f x 的跳跃间断点． (7) 求 x x x sin 2 ln(1 ) lim 0 + → ； 解 由无穷小量的等价代换， x → 0 时， ln(1+ x) ~ x , sin 2x ~ 2x 所以 2 1 2 lim sin 2 ln(1 ) lim 0 0 = = + → → x x x x x x ． (8) 试证方程 3 1 5 x − x = 至少有一个根介于 1 和 2 之间. 证 设函数 ( ) 3 1 5 f x = x − x − ，则 f (x) 在 1, 2 上连续，且 f (1) = −3， f (2) = 25 ， 即区间端点函数值异号．由根的存在定理，至少存在一点 1, 2 使得 f ( ) = 0 ，即方程 3 1 5 x − x = 至少有一个根介于 1 和 2 之间．