承德石油高等专科学校 试卷习题 多元函数积分学练习题及参考答案_高等数学

第十一章多元函数积分学 一、本年提烟 :基本瓶老 二重积分，三重积分。由线积分，由而积分，南元状，柱面坐标系，球南坐标系，积强 与落轻无美 2基本公式 )格林公式 高南公 g号-年o: 3,基本方法 将重积分化为三次积分，关健是确座积分的上下限：有直角坐标系下的什算方法和想 坐标系下的计算方法：计算三重积分，有直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系的计算方法 计算对坐标的曲线积分有基本法，格林公式法，与路经无关法：计算对坐标的曲面积分 有材坐标的商面积分法，高斯公式法 4定理 格林公式定，积分路径无关定理，高斯公式定用 二。要拉解析 月题1三重积分与定积分有感些相同和不同之处？ 解析二重积分是定积分板念的推广，因食，两者有许多相同之处，从定义上看，三南 积分包表示为和式极烟 xydc=m∑G,nAo 该极限地是通过“分料。近（代。求和，取极限”面符到的，因面，其结果是一个题 这个数只与被积函数八区，及机分区城D有关，面5D的分法和点（写？）的取法无关， 重积分还与定积分有相制的几构意文及性质 二重积分与定积分的不同之处是，定积分的被积销数是一元函最，积分区城是区侧：雨 二重积分的版积函数是二元函数，积分区城是平面区城，在定积分定义中，用小区何的长度

1 第十一章 多元函数积分学 一、本章提要 1． 基本概念 二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分，微元法，柱面坐标系，球面坐标系，积分 与路径无关． 2． 基本公式 (1) 格林公式： d d d d L D Q P P x Q y x y x y     + = −         ； (2) 高斯公式： d d d d d P Q R V P y z Q z x R x y x y z          + + = + +        d d ． 3． 基本方法 将二重积分化为二次积分，关键是确定积分的上下限：有直角坐标系下的计算方法和极 坐标系下的计算方法；计算三重积分，有直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系的计算方法； 计算对坐标的曲线积分，有基本法，格林公式法，与路径无关法；计算对坐标的曲面积分， 有对坐标的曲面积分法，高斯公式法． 4． 定理 格林公式定理，积分与路径无关定理，高斯公式定理． 二、要点解析 问题 1 二重积分与定积分有哪些相同和不同之处？ 解析 二重积分是定积分概念的推广，因此，两者有许多相同之处．从定义上看，二重 积分也表示为和式极限 i n i i i D f x y  f     =    = → 1 0 ( , )d lim ( , ) ， 该极限也是通过“分割、近似代替、求和、取极限”而得到的．因而，其结果是一个数， 这个数只与被积函数 f x y ( , ) 及积分区域 D 有关，而与 D 的分法和点 ( , )  i i 的取法无关．二 重积分还与定积分有相似的几何意义及性质． 二重积分与定积分的不同之处是，定积分的被积函数是一元函数，积分区域是区间；而 二重积分的被积函数是二元函数，积分区域是平面区域．在定积分定义中，用小区间的长度

的最大者来到面分刺的精细程度：在二积分的定义中，用小区城的最大直轻来刻面分制的 精细界度，而不用小风城的面积最大者米制面，运是因为小区同x】的长度A在感小 空形雨队5)A红与以工：x为底边，八x)为曲地的窄曲边惊形面积的近似程度减越 高，但在平面上，小区候的面积AG,脑小，想不能保证小平项柱体体积(5，见)A口与以 此小区城为底面，八怎)为曲顶的小曲原柱体体积的近铁程度就越高，如小区线是非常罕 的小长条，面积AG,虽小，但在其上任业一点(5见，)，八5见A0,与对应的小曲调柱等 的体积差异可能会微大，而且随有长条变窄，△口变小，这种楚异可能不会改变此外 在定积分定文中，△x,可正可负，因而定积分的下限可小于出间大子上限：而在重积分定 义中，△©，表示面积，只能为正，因此，将其化为累次积分时，每个定积分的下观部心厕 小于上展 月愿2一重积分的时算方法是什么？有博些步霜？如何病定累次积分的上，下限 解析二重积分的计算方法是化三重积分为系次积分，通过两次定积分的计算得列二厘 积分的值。这一方法是根据重积分的几何意文导出的 重积分的计算步腰为： )两出积分区城D的用形 ②根据技积函数的结构和积分区城的形状选择适当的坐标系 修达择适当的积分次序（有时质药D分成几个部分区域因 团D的不等式组表示，从而确是累次积分的上，下限 份从内到外算两法定积分 写出积分区城D的不等式国，并确定黑次积分的上，下限，是计算二重积分的关 其风体做法是： 以先对少积分为例.将积分区城D向x轴投些，得到能区何写x≤b,ab效是“州 层”（对工积分的下限和上限：任取x(@,),过x作平行于y相的直线，自下市上穿过 D,穿入点和保出点的城坐标构减区同网(x)发y名码()，度()网()数是“内层” (对y)积分的下限和上限。区样被将积分区城D表示为

2 的最大者来刻画分割的精细程度；在二重积分的定义中，用小区域的最大直径来刻画分割的 精细程度，而不用小区域的面积最大者来刻画，这是因为小区间   i i x , x −1 的长度 i x 越小， 窄矩形面积 i i f ( )x 与以   i i x , x −1 为底边， f (x) 为曲边的窄曲边梯形面积的近似程度就越 高．但在平面上，小区域的面积  i 越小，却不能保证小平顶柱体体积 i i i f ( , ) 与以 此小区域为底面， f (x, y) 为曲顶的小曲顶柱体体积的近似程度就越高．如小区域是非常窄 的小长条，面积  i 虽小，但在其上任取一点 ( , )  i i ， i i i f ( , ) 与对应的小曲顶柱体 的体积差异可能会很大，而且随着长条变窄，  i 变小，这种差异可能不会改变．此外， 在定积分定义中， i x 可正可负，因而定积分的下限可小于也可大于上限；而在二重积分定 义中，  i 表示面积，只能为正，因此，将其化为累次积分时，每个定积分的下限都必须 小于上限． 问题 2 二重积分的计算方法是什么？有哪些步骤？如何确定累次积分的上、下限？ 解析 二重积分的计算方法是化二重积分为累次积分，通过两次定积分的计算得到二重 积分的值．这一方法是根据二重积分的几何意义导出的． 二重积分的计算步骤为： (1) 画出积分区域 D 的图形； (2) 根据被积函数的结构和积分区域的形状选择适当的坐标系； (3) 选择适当的积分次序（有时需将 D 分成几个部分区域）； (4) 写出 D 的不等式组表示，从而确定累次积分的上、下限； (5) 从内到外计算两次定积分． 写出积分区域 D 的不等式组，并确定累次积分的上、下限，是计算二重积分的关键， 其具体做法是： 以先对 y 积分为例．将积分区域 D 向 x 轴投影，得到投影区间 a ≤ x ≤ b ，a,b 就是“外 层”（对 x ）积分的下限和上限；任取 x  (a,b) ，过 x 作平行于 y 轴的直线，自下而上穿过 D ，穿入点和穿出点的纵坐标构成区间 ( ) 1  x ≤ y ≤ ( ) 2  x ， ( ) 1  x ， ( ) 2  x 就是“内层” （对 y ）积分的下限和上限．这样就将积分区域 D 表示为

D何(Sysx lasxsb 手是三重积分化为常秋积分 d=广a 例1设有二重积分/=/（怎y山，其中D是单位强x+y发1在第一象限第分 将它化为如下的果次积分是西正确：为什么 = 1= 1=/ ()dof f(rooso.rsm 份1=do/ ruy m1=」d0 (d 解上面始出的7个果次积分前5个都是错谈的：只有，)是正裤的 仙先对)积分时，积分上限应是x的质数周不是y的偏数一罗 2后对x积分时，积分上取应是常数面不是函数 先对y积分时：积分上应是y=√1一x不是y=国 4在板坐标系中计算时：面积微元dg应是d0市不是dd0,这种丢掉r因千的 植淡在计算中是根容易出现的 5在极坐标系中计算时，板积闲数八x,)应用极坐标变量，8表示 月题3有人说，交换二重积分的积分次序只两将单式中章装积函数以外的变量互换国 可，因此有 -地

3  1 2 ( ) ( ), : , x y x D a x b       于是二重积分化为累次积分    = ( ) ( ) 2 1 ( , )d d d ( , )d x x D b a f x y x y x f x y y   ． 例 1 设有二重积分  = D I f (x, y)dxdy ，其中 D 是单位圆 2 2 x + y ≤ 1 在第一象限部分， 将它化为如下的累次积分是否正确？为什么？ (1)   − = 2 1 0 1 0 d ( , )d y I x f x y y ； (2)   − − = 2 2 1 0 1 0 d ( , )d y x I x f x y y ； (3)   = 1 0 1 0 I dx f (x, y)dy ； (4) π 1 2 0 0 I f r r r = d ( cos , sin )d      ； (5)   = 1 0 1 0 I d f (x, y)rdr ； (6)   − = 2 1 0 1 0 d ( , )d x I x f x y y ； (7) π 1 2 0 0 I f r r r r = d ( cos , sin ) d      ． 解 上面给出的 7 个累次积分，前 5 个都是错误的，只有(6)，(7)是正确的． (1) 先对 y 积分时，积分上限应是 x 的函数而不是 y 的函数 2 1− y ； (2) 后对 x 积分时，积分上限应是常数而不是函数； (3) 先对 y 积分时，积分上限应是 2 y = 1− x 而不是 y = 1 ； (4) 在极坐标系中计算时，面积微元 d 应是 rdrd 而不是 drd ，这种丢掉 r 因子的 错误在计算中是很容易出现的； (5) 在极坐标系中计算时，被积函数 f (x, y) 应用极坐标变量 r, 表示． 问题 3 有人说，交换二重积分的积分次序只需将原式中除被积函数以外的变量互换即 可，因此有     − − = 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 d ( , )d d ( , )d x y x f x y y y f x y x

fdef frydv=fdyf f(x.ye 上透说法及表达式是否正确 解所上述说法不正流。交换黑次积分的积分次序时，积分限并不是简单的交换，面是 要重新配置。其步弹为： )将所的黑次积分写成二重积分： 根据所给螺次积分的上下限列山积分区线D的联立不等式，并作出D的图形 )号出与另一个积分次序相应的D的联立不等式 心化二重积分为另一个紫次积分 被佩上述步罐，可海 4炒= dx=d可 由此可短，源题中第一个式子正两，第二个式手错调 日题4设D是以圆点为圆心的圆板，D是其领一象限部分：试问利用时称性符到的 下列简化计算式是否正确 00-x2-yPdc=40-x-产do ②0-x-yda=40-x-yda 解析从三重积分的几何意义容易着，二重积分也可以利用树称性来化简，：必炭注 意：在利用对斯性化简二重积分时：除了：求积分区城是对牌的以外，还要求在对称的区城 上按积函数也是对称的，例如，区城D关手x雄和y轴树称，其在第一象限部分为D:面 且板积质数：=（玉的国形关于公平面和O上平而材称，则有 fyo-ya. 由此可知，(1》是止裤的，面《2)是研误的 月题5格林公式的实通是什么？应州时应意哪母条件？ 解析对格林公式 从右性左着：可知将某个平面区城上的重积分转化成了该区城边界曲线上的曲线图

4     = 2 2 0 1 0 0 1 0 d ( , )d d ( , )d x y x f x y y y f x y x ， 上述说法及表达式是否正确？ 解析 上述说法不正确．交换累次积分的积分次序时．积分限并不是简单的交换，而是 要重新配置．其步骤为： (1) 将所给累次积分写成二重积分； (2) 根据所给累次积分的上、下限列出积分区域 D 的联立不等式，并作出 D 的图形； (3) 写出与另一个积分次序相应的 D 的联立不等式； (4) 化二重积分为另一个累次积分． 按照上述步骤，可得     − − = 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 d ( , )d d ( , )d x y x f x y y y f x y x ，     = 1 1 0 0 1 0 d ( , )d d ( , )d 2 y x x f x y y y f x y x ， 由此可知，原题中第一个式子正确，第二个式子错误． 问题 4 设 D 是以圆点为圆心的圆域， D1 是其第一象限部分，试问利用对称性得到的 下列简化计算式是否正确？ (1) (1 )d 4 (1 )d 2 2 2 2 1 x y x y D D − − = − −   ； (2) (1 )d 4 (1 )d 1 x y x y D D − − = − −   ． 解析 从二重积分的几何意义容易看出，二重积分也可以利用对称性来化简．但必须注 意，在利用对称性化简二重积分时，除了要求积分区域是对称的以外，还要求在对称的区域 上被积函数也是对称的．例如，区域 D 关于 x 轴和 y 轴对称，其在第一象限部分为 D1 ，而 且被积函数 z = f (x, y) 的图形关于 zOx 平面和 yOz 平面对称，则有   = 1 ( , )d 4 ( , )d D D f x y  f x y  ， 由此可知，（1）是正确的，而（2）是错误的． 问题 5 格林公式的实质是什么？应用时应注意哪些条件？ 解析 对格林公式 d d d d L D Q P P x Q y x y x y     + = −         从右往左看，可知将某个平面区域上的二重积分转化成了该区域边界曲线上的曲线积

分，把内密同腿转化为边界日随，这黄是格林公式的实颜，它同定积分中件额菜布尼茨图 式的实质是一致的，牛领一单布尼长公式也是将内前利题转化为边界题：只不过事单的题 界仅仪是两个满点面已 应用格林公式时应性 积分使线上丝须是封用植线，方向取正例 ②P,Q,C巴在区城D内及其边界上2须通蛛 例2设有曲线积分 。十方=1的正向.试问如下解法是否正确？为补么 其中上为网二十二 由于P=上 r+y 玉+少满风 Q r+y ap y-2x-r oo oy (x+yr ax 刻由格林公式，河 - .=0 解上面站果是情视的，#我情结果的原因是PQ及2在点O00)均无意义 因此不能直楼应用格林公式 三，例围精解 例判断风+了d0的正免可，其中D由x灿及直线x7X+少所成 解面出积分风城D的图形

5 分．把内部问题转化为边界问题，这就是格林公式的实质，它同定积分中牛顿–莱布尼茨公 式的实质是一致的，牛顿–莱布尼茨公式也是将内部问题转化为边界问题，只不过那里的边 界仅仅是两个端点而已． 应用格林公式时应注意： (1) 积分曲线 L 必须是封闭曲线，方向取正向； (2) , , P Q P Q y x     , 在区域 D 内及其边界上必须连续． 例 2 设有曲线积分 2 2 2 2 d d L x y x y I x y x y x y − + = + + +  ， 其中 L 为椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的正向．试问如下解法是否正确？为什么？ 由于 2 2 2 2 , x y x y P Q x y x y − + = = + + 满足 2 2 2 2 2 2 ( ) P y xy x Q y x y x  − −  = =  +  ， 则由格林公式，得 d d 0 D Q P I x y x y     = − =        ． 解 上面结果是错误的，导致错误结果的原因是 PQ, 及 , P Q y x     在点 O(0,0) 均无意义， 因此不能直接应用格林公式． 三、例题精解 例 3 判断 ln( )d 2 2  + D x y 的正负号，其中 D 由 x 轴及直线 , 1 2 1 x = x + y = 所围成． 解 画出积分区域 D 的图形．

4.0 显然，在D上将了点AL0)以外均有x+<1,从面鼓积函数八怎)=Hx+)了) <0,出二重积分几问意义知川x+yG<0 例4计算/=山动，其中D由曲线x=y及x=6-5y所成 解面出积分区城D的图形 4酒 程察板积话数八x小=及积分区域D,应这择直角坐标系，从D的形状看，应先 对x积分：从（工，）看先对博个变量积分花一样，烟此达先对x积分 将D向y轴授得-2忘)≤1，任取yE(一2)，过y作平行于x轴的真线白左而 右实过D,穿入点及安出点的情坐标构成区同y发x安√6一5)：于是积分区城D的不 式组表示为 Dy≤1≤V6=5y,-2y≤1 1==6-5y-y -2

6 O x y 1 A(1,0) 2 1 2 1 显然，在 D 上除了点 A(1,0) 以外均有 1 2 2 x + y  ，从而被积函数 ( , ) ln( ) 2 2 f x y = x + y  0 ，由二重积分几何意义知 ln( )d 0 2 2 +    D x y ． 例 4 计算  = D I xydxdy ，其中 D 由曲线 2 x = y 及 x 6 5y 2 = − 所围成． 解 画出积分区域 D 的图形． 2 5y = 6 − x 2 x = y D2 x (1,1) O y (4,-2) 观察被积函数 f (x, y) = xy 及积分区域 D ，应选择直角坐标系．从 D 的形状看，应先 对 x 积分；从 f (x, y) 看，先对哪个变量积分都一样，因此选择先对 x 积分． 将 D 向 y 轴投影，得 − 2 ≤ y ≤ 1 ，任取 y  (−2,1) ，过 y 作平行于 x 轴的直线自左而 右穿过 D ，穿入点及穿出点的横坐标构成区间 2 y ≤ x ≤ 6 − 5y ，于是积分区域 D 的不等 式组表示为 2 D : y ≤ x ≤ 6 − 5y ， − 2 ≤ y ≤ 1， 所以 I y x y x y y y y y y (6 5 )d 2 1 d d 1 2 4 1 6 5 2   2 − − − = = − − 4 27 6 1 3 5 3 2 1 2 1 2 3 6  = −      = − − − y y y ．

本例若透并先划)积分，别将D分成D+D 4- I=V 其中 D-V家y≤N行，0安x1 D-≤y≤6-)1≤x≤4 于园 1-+蓝 湿然比先对x积分料频 例5计算动，其中D为由y=2少=2x2y-X=0所围成的第一象刷第分 解面出积分区域D的图形 210 =2 从积分区域D的形状看，先料博个变黄积分梅淡将D分成两能分，从鼓积的数 x门=三看，若先对少积分，积分运算较麻板，因消法将关对x积分 将D分域D+D:其中 0≤xE2y,0y D.35x ,1≤y≤2

7 本例若选择先对 y 积分，须将 D 分成 D1 + D2， D1 2 5y = 6 − x 2 x = y D2 x (1,1) O y (4,-2) D1 D2 其中 D : − x 1 ≤ y ≤ x ，0 ≤ x ≤ 1， D : − x 2 ≤ y ≤ (6 ) 5 1 2 − x ，1 ≤ x ≤ 4 ， 于是     − − − = + (6 ) 5 1 4 1 1 0 2 d d d d x x x x I x xy y x xy y ， 显然比先对 x 积分麻烦． 例 5 计算 x y y x D d d  ，其中 D 为由 xy = 2, y = 2x,2y − x = 0 所围成的第一象限部分． 解 画出积分区域 D 的图形． O x y 1 2 xy = 2 y = 2x 2y − x = 0 D1 D2 从积分区域 D 的形状看，先对哪个变量积分都须将 D 分成两部分．从被积函数 f (x, y) y x = 看，若先对 y 积分，积分运算较麻烦，因而选择先对 x 积分． 将 D 分成 D1 + D2 ，其中 2 : 1 y D ≤ x ≤ 2 y ，0 ≤ y ≤ 1， 2 : 2 y D ≤ x ≤ y 2 ，1 ≤ y ≤ 2

于是 -时+ -易岁酒 =+为 总( 3 注：在直角坐标系中计算二重积分时，积分次序的达样是十分重要的，一般应遵能积 分少分块，计算荷单的原则 侧8投=+d,其中乙为半径为1的上半 侧究AC,试例计算/有博些方法？零一科最简便 C(0. 解一以x为参数，的方程烟 81.00 -x 4,d前 a产 点-点 - -2cn小-6+em-d 解三以y为参数，L=AC+CB 在上，同

8 于是      = + y y y y x y x x y y x x y y y x D 2 2 2 2 d d d d d d 2 1 1 0 x y y x y y y y y y ( ) d 2 1 ( ) d 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0  = + y y y y y d 8 2 d 8 15 2 1 3 1 0          = + − 1 2 2 2 0 1 2 16 1 16 15         = + − − y y y 2 3 = ． 注：在直角坐标系中计算二重积分时，积分次序的选择是十分重要的，一般应遵循能积 分、少分块，计算简单的原则． 例 6 设 d d L I y x x y = +  ，其中 L 为半径为 1 的上半 圆弧 ABC ，试问计算 I 有哪些方法？哪一种最简便？ 解一 以 x 为参数． L 的方程为 x x x y x y d 1 1 ,d 2 2 − = − = − ，则 x x x I x x d 1 1 1 1 2 2  −                 − = − + −           − − − =         − − − = − 1 0 2 2 2 1 1 2 2 2 1 d 1 1 d 2 1 x x x x x x x x x x x x d 4 1 d 1 1 2 1 0 2 1 0 2  − − − = 1 1 2 0 0 1 2arcsin 4 1 arcsin 0 2 2 x x x x   = − − + =     ． 解二 以 y 为参数． L AC CB = + ， 在 AC 上， y y y x y x d 1 1 ,d 2 2 − = − = − ， O x y C(0,1) L B(-1,0) A(1,0)

在CB上x=--下止= 手是 1=厂d++。r+d 应同小应同 解三以1为参数，L的方程为x=cs1y=snf,则 [sin r-sint)+cost-co -cos2dr sm 2 解四利用格林公式：因为 ACB ACBA-BA 手地-架器 =∬l-dd=0 所以 手山+-地+ =地+对=0 解五利用积分与格轻无关美 因为心。。1，故所的南战积分与积分路位无关，因 1=+=+ =0+x0d=0 比较上述各法，可以看出解五最简便 例7 计算1=+少山+(x-)d,其中上为曲线少=1-1-上从 点0(00)到点B20的一瘦 41,1)

9 在 CB上， y y y x y x d 1 1 ,d 2 2 − = − − = ， 于是 I d d d d AC CB = + + + y x x y y x x y   1 1 2 2 0 0 2 2 1 d 1 d 1 1 y y y y y y y y y y       = − + − +  − −             − −         d 0 1 2 1 1 0 2 2 2 =         − = − −  y y y y ． 解三 以 t 为参数． L 的方程为 x = cost, y = sin t ，则 I   π 0 = − +  sin ( sin ) cos cos d t t t t t  π π 0 0 1 cos 2 d sin 2 0 2 = = = t t t  ． 解四 利用格林公式．因为 ACB ACBA BA = − ， 而 d d d d ACBA D Q P y x x y x y x y     + = −          = − = D (1 1)dxdy 0 , 所以 I = d d ACBA y x x y +  d d BA − + y x x y  = − d + d = 0 BA y x x y ． 解五 利用积分与路径无关． 因为 1 P Q y x   = =   ，故所给曲线积分与积分路径无关，因此 I   = + = + L AB ydx xdy ydx xdy (0 0)d 0 1 1 = +  =  − x x ． 比较上述各法，可以看出解五最简便． 例7 计算 I x y x x y y L ( )d ( )d 2 2 2 2 = + + −  ，其中 L 为曲线 y =1− 1− x 上从 点 O(0,0) 到点 B(2,0) 的一段．

解利用蒸本计算法，由街可看出域x为参数比收简便 L=04+AB 在OA上，0<x<1y1-门-可=xd少=d面 在4B上，1<x<2y=1-1-=2-x=-d 于是 =x+)+x2-xd ++2-+-2-x- =2a+22-s- 解二利用格林公式：因为 L=折线24微O-仪) 面 a+广出+g-y --4= +h-=a=- 所以 484 1=方3 注：在计算闭曲线上对坐标的曲线积分时将积分路轻添加辅助线段或由线，构成面 阳减负两的封闲曲线，然后利用格林公式，墙常这样作装比用基本计算法简使，特别当曲板 积分与路轻无关时，则甲挂选取取结起点与许点且平行于坐标轴的线取或所线段进行计

10 解一 利用基本计算法．由图可看出选 x 为参数比较简便． L = OA+ AB ． 在 OA 上， 0  x 1, y =1− 1− x = x,dy = dx , 在 AB 上， 1 x  2, y =1− 1− x = 2 − x,dy = −dx ． 于是 I  = + + − 1 0 2 2 2 2 [(x x ) (x x )]dx [x (2 x) ] [x (2 x) ]( 1)dx 2 1 2 2 2 2  + + − + − − −   = + − = 2 1 2 1 0 2 3 4 2x dx 2(2 x) dx ． 解二 利用格林公式．因为 L = 折线 OABO − BO , 而 x y x x y y OABO ( )d ( )d 2 2 2 2 + + −     = − −        + −   − = − D D x y x y x y y x y x x y d d 2 ( )d d ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 2 d ( )d 1 2 0 = − − = −   − y y y x y x ，   + + − = = − 0 2 2 2 2 2 2 3 8 (x y )dx (x y )dy x dx BO ， 所以 3 4 3 8 3 4 I = − + = ． 注：在计算非闭曲线上对坐标的曲线积分时，将积分路径添加辅助线段或曲线，构成正 向或负向的封闭曲线，然后利用格林公式，通常这样作要比用基本计算法简便．特别当曲线 积分与路径无关时，则往往选取联结起点与终点且平行于坐标轴的线段或折线段进行计 算．