第五章不定积分 一、本章提要 1.基本概念 原稀数，不定积分 2基本公式 不定积分的基本积分公式(13个：分都积分公式 3。基本方法 第一换元积分法（凑微分法》：第二换元积分法：分部积分法简单有理函数的积分方 法 二、要点解析 月题！应用第二换元积分法应注意什么月题？ 解析用第二换元积分法计算不定积八x灿关键是要选择合适的变换场数 x),使得新的鼓积函数f(例)》p()具有原函数G)·再从x=)中得出 1='(x)代入G),即得f(x)的原函数，上述条件与结论用定理描述为： 定理（第二换元法）若函数x=)在某个区间上满是： (1)'()可导且9()≠0： (2)x■)的反函数1=(x)存在1 (3)（例)o')有原函数G().则有 ∫fx-f(o(m ndr-Go'x+C. 上述定理的证明是显然的，只需证明右端的导数是左边的被积函数即可，事实上， Gp'》+CY=Gug=G0 =fp0.1 '(u) =f(例)》 =fx)
1 第五章 不定积分 一、 本章提要 1. 基本概念 原函数，不定积分． 2. 基本公式 不定积分的基本积分公式（13 个）；分部积分公式． ３．基本方法 第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方 法． 二、 要点解析 问题 1 应用第二换元积分法应注意什么问题？ 解析 用第二换元积分法计算不定积 f (x)dx 关键是要选择合适的变换函数 x = (t) ，使得新的被积函数 f ((t))(t) 具有原函数 G(t) ，再从 x = (t) 中得出 ( ) 1 t x − = 代入 G(t) ，即得 f (x) 的原函数．上述条件与结论用定理描述为： 定理（第二换元法）若函数 x = (t) 在某个区间上满足： （1） (t) 可导且 (t) 0 ； （2） x = (t) 的反函数 t = x − 1 ( ) 存在； （3） f ((t))(t) 有原函数 G(t) ．则有 = = + − f (x)dx f ( (t)) (t)dt G( (x)) C 1 ． 上述定理的证明是显然的，只需证明右端的导数是左边的被积函数即可，事实上， (t) G x C G t t G t x + = = − 1 ( ( ( )) ) ( ) ( ) 1 = f t t t ( ( )) ( ) ( ) 1 = f ((t)) = f (x) ．
在利用第二换元积分法计算不定积分时，可表述为如下过程： f(xx=f()=ff(rdr =G)+C =G9(x》+C, 由此看来，在使用第二换元积分法计算不定积分时，尤其要注意所作代换x=()必 须存在反函数【=p(x) 门思2为什么同一个不定积分用不同的方法可得出形式完全不一样的结果？ 解析这是因为不定积分∫xd求的是f)的一切原函数，而八)的任何两个原 函数之间相差一个常数.也正是由于这个缘故，才会出现同一函数的两个原函数在形式上有 较大的差异，但是。不管所求原函数的形式如何，其导数都必须是被积函数，据此，可对所 求结果的正确性进行检验， 月题3在几何上如何根据被积函数的性态，来研究其原场数的形状。 解析根据不定积分(x灿的被积函数x)的性态，来研究其原函数F(x)(原函 数间彼此差一个常数)的性态，实质上线是。鼠据F气x)=(x)的性态，来研究F(x)的性 态。 假设我们有F《x)的图像，而塑面出F(x)的一个近拟图像。首先应注意到：F(x)的 图像在任何点的解率都是等于F(x)在那点的值，且有：(1)当F(x)的图像位于x轴之 上方时，F(x)是上升的，当F(x)的图像位于x轴下方时，F(x)是下停的：(2)如果F(x) 图像是递增的，则F(x)的图像就是上凹的，如果F(x)的图像是递减的，则F(x)的图像 是下回的 例1(x)的图像如图所示.画出f0)=0和f(O)=1两件情况下八x)的图像 解对于0≤x≤2，广的斜率是常数1，所以的图像是斜率为1的直线，对于 0 2 3 4
2 在利用第二换元积分法计算不定积分时，可表述为如下过程： f (x)dx = f ((t))d(t) = f ((t))(t)dt = G(t) + C = G( (x)) C − + 1 ， 由此看来，在使用第二换元积分法计算不定积分时，尤其要注意所作代换 x = (t) 必 须存在反函数 t = x − 1 ( ) ． 问题 2 为什么同一个不定积分用不同的方法可得出形式完全不一样的结果？ 解析 这是因为不定积分 f (x)dx 求的是 f (x) 的一切原函数，而 f (x) 的任何两个原 函数之间相差一个常数．也正是由于这个缘故，才会出现同一函数的两个原函数在形式上有 较大的差异．但是，不管所求原函数的形式如何，其导数都必须是被积函数．据此，可对所 求结果的正确性进行检验． 问题 3 在几何上如何根据被积函数的性态，来研究其原函数的形状． 解析 根据不定积分 f (x)dx 的被积函数 f (x) 的性态，来研究其原函数 F(x) （原函 数间彼此差一个常数）的性态．实质上就是，根据 F(x) = f (x) 的性态，来研究 F(x) 的性 态． 假设我们有 F (x) 的图像，而想画出 F (x) 的一个近似图像．首先应注意到： F(x) 的 图像在任何点的斜率都是等于 F (x) 在那点的值，且有：（1）当 F (x) 的图像位于 x 轴之 上方时， F(x) 是上升的，当 F (x) 的图像位于 x 轴下方时， F(x) 是下降的；（2）如果 F (x) 图像是递增的，则 F(x) 的图像就是上凹的，如果 F (x) 的图像是递减的，则 F(x) 的图像 是下凹的． 例１ f (x) 的图像如图所示．画出 f (0) = 0 和 f (0) = 1 两种情况下 f (x) 的图像． 解 对于 0 x 2，f 的斜率是常数 1，所以 f 的图像是斜率为 x 1 的直线．对于 O f 1 1 2 3 4
2≤x≤4，f'0.所以f的图像是递增的，又因为f'的值由1到0迷衔变小，所以f的 增长也是越米越缓慢.当x>4时，f“0,所以F的图像是递减的，又因为f(4)=0, 所以可导函数八x)在x=0处达到同部极大值 注意，关于对应于(0)=0和0)=1的两个解，它们在枫轴上的起始点不月，其 形状光全一样且被此平行（相同点具有相同的斜率）， 根貂的上述特性，画出其图像 例2下图给出了函)”的图像，面出原函数「的鲜线莱 解先画任意一个原函数，再把此图像上，下平移一个常数，而得到所有其他原函数.函 数f'给出了F的斜率，观察'的图像，可看出「在x=一2和x=0处具有水平切线〔因为 此时'=0.由于了'（一2）=0且'在x=-2处是灣减（了“<0）的，所以，f在x■-2处 有局部极大值：由于f"(0)=0且f'在x=0处是递增的〔f0),所以f在x=0处有局 部极小值.又因为'在x=一1处有同部极小值（当x由小增大经x=一1时，(f门）由负 变正)，所以f在=一1处具有拐点，又因为f'在x=1处，”有局部极大值（当x由小 增大经过x=1时，(f)'由正变负)，所以「在x=1处也具有拐点 3
3 2 x 4， f >0,所以 f 的图像是递增的，又因为 f 的值由 1 到 0 逐渐变小，所以 f 的 增长也是越来越缓慢．当 x 4 时， f 0），所以 f 在 x = 0 处有局 部极小值．又因为 f 在 x = −1 处有局部极小值（当 x 由小增大经 x = −1 时，（ ( f ) ）由负 变正），所以 f 在 x＝－1 处具有拐点．又因为 f 在 x =1 处， f 有局部极大值（当 x 由小 增大经过 x =1 时， ( f ) 由正变负），所以 f 在 x =1 处也具有拐点． -3 -2 -1 O 1 2 3 x f O x f 1 2 4
由于x0,f单增：-20时，f'>0 ∫单增. 由“的图像还可观察到。了'以x轴为水平渐近线。因为x+切时，有”→0，这 意味着∫的图像当x→0时，新趋平坦. 根据的原函数∫的上述性项，即可面出了的图像，原函数族(x)+C只需将∫的 图像进行沿y触若干次上下平移即可. 三.例恶精解 例3求∫f。 解j/哼灿可/学5d字-可/g学字+ 例4设s为/)的一个眼函数，求∫可气x灿。 解因为为心)的一个原函数，所以 ∫/ud=os+C 所以 ∫”(x灿=∫fx )-Jx灿 =xx)-cosx+C. 侧5已知f(snx)=cos2x,求f八x). 解一因为f"(sn)=cos2x,所以 f'(sn x)d(sn x)=cos'xd(sn x) 所以 由列=j0-m减由0=m-写n+C 所以 4
4 由于 x −2 时， f 0 , f 单增；− 2 x 0 时， f 0 , f 单减； x 0 时， f 0 ， f 单增． 由 f 的图像还可观察到， f 以 x 轴为水平渐近线，因为 x → + 时，有 f → 0 ，这 意味着 f 的图像当 x → + 时，渐趋平坦． 根据 f 的原函数 f 的上述性质，即可画出 f 的图像，原函数族 f (x) + C 只需将 f 的 图像进行沿 y 轴若干次上下平移即可． 三． 例题精解 例３ 求 x x f )d 5 ( ． 解 x x f )d 5 ( = ) 5 )5d( 5 ( x x f = ) 5 )d( 5 5 ( x x f =5 C x f ) + 5 ( ． 例４ 设 cosx x 为 f (x) 的一个原函数，求 xf (x)dx ． 解 因为 cosx x 为 f (x) 的一个原函数，所以 C x x f x x = + cos ( )d 所以 ( )d d[ ( )] xf x x = x f x = xf (x) − f (x)dx C x x = xf x − + cos ( ) ． 例５ 已知 f x x 2 (sin ) = cos ，求 f (x) ． 解一 因为 f x x 2 (sin ) = cos ， 所以 (sin )d(sin ) cos d(sin ) 2 f x x = x x 所以 (sin ) = (1− sin )d(sin ) 2 f x x x = sin x − sin x + C 1 3 3 ， 所以 f (t) = t − t + C 1 3 3 ， O x f -2 -1 1
即 f()-x-+C. 解二因为f(x)=cs2x=1-sn2x, 令s血x=h,代入上式得 '(）=1-w2, 所以 ∫fwdu-j0-w2. 所以 o--+c 所以 --c 解一令x=sc,则d女=实tnd sec u tan tadar secasee'u-1 =fdu H+C arccos+C. 解二令F一i=,则加，即=M.而 x2-1 x2=w2+1, 所以 d 2- -o* arctan+C =arctan x-1+C. 解三令x=,则d山r三-山
5 即 f (x) = x − x + C 1 3 3 ． 解二 因为 f x x 2 (sin ) = cos x 2 = 1− sin ， 令 sin x = u ,代入上式得 2 f (u) = 1− u ， 所以 f (u)du (1 u )du 2 = − ， 所以 f (u) = u − u + C 1 3 3 ， 所以 f (x) = x − x + C 1 3 3 ． 例６ 求 −1 d 2 x x x ． 解一 令 x = secu, 则 dx = secu tanudu ． −1 d 2 x x x = sec sec −1 sec tan d 2 u u u u u = du = u +C C x = + 1 arccos ． 解二 令 x 2 − 1 ＝u , 则 1 d d 2 − = x x x u ，即 xdx = udu ．而 1 2 2 x = u + ， 所以 − = − 1 d 1 d 2 2 2 x x x x x x x = u + u u u ( 1) d 2 = + 2 1 d u u = arctan u +C = arctan x −1 +C 2 ． 解三 令 u x 1 = , 则 u u x d 1 d 2 = −
■arccos+C arccos+C. x 由上可见，计算积分问题。采用何种变换取决于对被积函数的分析，着眼点不同就有不 同的方法 四、练习圈 1.判断正误 (1)[sin 2xdxr=-c0s2x+C: (×) 解折∫s如2d=打sm2d2)=-os2x+C 2因为f2)=.所时oek=/)+C； (√) 解析因为/2=2-了2)=2p),所以与/2)是()的一个原函数.所以 ∫rt=/2+c. (3)fx灿y=fx): (） 解析设F(x)是f)的一个原函数，则fx-F(x)+C,F'气)-f),所 以fx灿r=[Fx)+C=F'气x)=fx). (4)JdF(x)=F(x): (×) 解析设F《x)=f(x),即F(x)是八x)的一个原函数，所以 ∫dFx)=J/x灿=fF)+C. 2.选释圈 (1)∫d=(AH +C:( 3d.c. 11 6
6 −1 d 2 x x x − = 2 2 1 1 d x x x − = − 2 1 d u u = arccosu +C C x = + 1 arccos ． 由上可见，计算积分问题，采用何种变换取决于对被积函数的分析，着眼点不同就有不 同的方法． 四、 练习题 1． 判断正误 （1） sin 2xdx = −cos 2x + C ； ( × ) 解析 sin 2xdx ( ) = sin 2xd 2x 2 1 = − cos 2x + C 2 1 ． （2）因为 f (2x) = (x) ，所以 x dx = f (2x) + C 2 1 ( ) ； ( √ ) 解析 因为 f (2x) = 2 f (2x) = 2(x) ，所以 (2 ) 2 1 f x 是 (x) 的一个原函数，所以 x x = f (2x) + C 2 1 ( )d ． （3） ( ( )d ) f x x = f (x) ； ( √ ) 解析 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f x x = F x + C ( )d ( ) ， F(x) = f (x) ，所 以 ( ( )d ) f x x = F(x) + C = F(x) = f (x) ． （4） dF(x) = F(x) ； ( × ) 解析 设 F(x) = f (x) ，即 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，所以 dF(x) = f (x)dx =F(x) + C ． 2． 选择题 （1） = x xdx 3 ( A )； ( A) 6 11 11 6 x +C ； (B) 5 6 6 5 x +C ； (C) 3 4 4 3 x +C ； (D) 2 3 3 2 x +C ．
解折了r=可击-小d ”+C= 60 x6+C. 5 11 +1 6 (2)Jf)d=(B u)f():(B)()+C:(c)f(x).(D)f(x)+C. 解析令u=乐，则f)dG=∫/ud=f)+C=f)+C. 3)若x2)=(x>0.则f)=(B) )2G+C:C+C: (D)In +C. 折-=左所=可恤=声2C ()投a=h2,则j(2+ad=(c) w +C: n2+ (C) +2yx+C h2 (D) 2 +ln2)2+C. x+1 断je+a地-p4地-益x+C. 3.填空圈 (1)不定积分在几何上通常表示为积分由线能一 《2)函数风动是代)在区间I上的原两数，则必满足F(x)=f(x)· (3)函数f(x)的全体原桥数F(x)+C称为f(x)的不定积分 (4)设x)=(x+smx)灿r,则气x)在用区间0,2闲上的最大值为2 最小值为0· 解因为风)-∫（信+smx灿，所以'x)-x+snx,在闭区间0,2上连线，又 因为'气x=1+c0sx>0,所以p气x)单调增如，所以
7 解析 x xdx 3 x x dx 3 1 2 1 = x x x + C + = = + 1 6 5 6 5 1 6 5 1 d = x 6 + C 11 11 6 ． （2） = f ( x)d x ( B )． (A) f ( x ) ； (B) f ( x ) +C ； (C) f (x) ； (D) f (x) +C ． 解析 令 u = x ，则 f ( x)d x = f (u)du = f (u) + C = f ( x) + C ． （3）若 x f x 1 ( ) 2 = （ x 0 ），则 f (x) = ( B )． (A) C x + 1 ； (B) 2 x +C ； (C) x +C ； (D) ln x +C ． 解析 x f x 1 ( ) 2 = ，则 x f x 1 ( ) = ，所以 f (x) f (x)dx = x x d 1 = = 2 x +C ． （4）设 a = ln 2 ，则 + = a x x (2 )d 3 ( C )． (A) a x x 3 ln 2 2 + ； (B) 2 2 4 x 4 a C ln + + ； (C) x C x + + 3 (ln 2) ln 2 2 ； (D) 2 1 2 1 3 x x C + + + (ln ) + ． 解析 + a x x (2 )d 3 ( ) = + x x [2 ln 2 ]d 3 ( ) x C x = + + 3 ln 2 ln 2 2 ． 3． 填空题 （1）不定积分在几何上通常表示为 积分曲线族 ； （2）函数 F(x) 是 f(x) 在区间 I 上的原函数，则必满足 F(x) = f (x) ； （3）函数 f (x) 的全体原函数 F(x) + C 称为 f (x) 的 不定积分 ； （4）设 (x) = (x + sin x)dx , 则 (x) 在闭区间 0,2π 上的最大值为 2π 最小值为 0 ． 解 因为 (x) = (x + sin x)dx ，所以 (x) = x + sin x ，在闭区间 0,2π 上连续，又 因为 ( ) =1+ cos 0 x x ，所以 (x) 单调增加，所以
m=p'(2)=2x,p,=p'(0)=0. 4.简答题 1)求∫(e-e25) 解je-e2t=je-je25dr=-e-∫e2dk 令乐=t,则x=2,d=2d,则 ∫e25s=je2t=jede)=jdle2） e-小-2-”4C =G-+C. 所je-e6=-e”-小e26d-e-(-6+C (2)已知fu)有二阶连线的导数，求∫e产了(e)山： 解jef'e'r=∫e'f'e'ae)=je'd/'e -e'f'(e")-ff(e"nl(e")=e'f(e")-f(e")+c. (③)至少用三种方法求不定积分一d: sin x+cosx 。d点冷x+子-1，则x=1-子k= sin(x+ 4 -5fsnt 4 解二 sm x 一d= sin x(sin x+cosx) (sin x+cosxsn x+cosx) rxcosd 1+2sin xcosx 1-cos2x sin 2x ∫2 2dr=11+sn2x-008230 1+s如2x 1+sin 2x 11 d(1+sn 2x) 4 1+sin 2x
8 max = (2π) = 2π ， min =(0) = 0． 4. 简答题 （1）求 − − x x x (e e )d 2 ； 解 − = − x x x (e e )d 2 − = − x x x x e d e d 2 − − − x x x e e d 2 ， 令 x = t ，则 x t , dx 2tdt 2 = = ，则 x x e d 2 = t t t e 2 d 2 ( ) = t t t e d 2 2 ( ) = t t e 2 d = t − t t t e e d 2 2 t C t t = − + 2 2 e 2 1 e x C x = − + 2 )e 2 1 ( ， 所以 − − x x x (e e )d 2 = − − − x x x e e d 2 x C x x = − − − + − 2 )e 2 1 e ( ． （2）已知 f (u) 有二阶连续的导数，求 f x x x e (e )d 2 ； 解 f x x x e (e )d 2 ( ) = x x x e f (e )d e = e d (e ) x x f = e (e ) − (e )d(e ) x x x x f f f f C x x x = e (e ) − (e ) + ． （3）至少用三种方法求不定积分 x x x x d sin cos sin + ； 解一 + x x x x d sin cos sin x x x + = d ) 4 π 2 sin( sin （令 x + = t 4 π ，则 4 π x = t − ，dx = dt ） t t t − = d 2 sin ) 4 π sin( t t t t − = d sin sin cos 2 1 t t = (1− cot )d 2 1 = (t − ln sin t ) +C 2 1 = x + − x + )] + C 4 π ln sin( 4 π [ 2 1 ． 解二 + x x x x d sin cos sin ( ) ( )( ) + + + = x x x x x x x x d sin cos sin cos sin sin cos + + = x x x x x x d 1 2sin cos sin sin cos 2 + + − = x x x x d 1 sin 2 2 sin 2 2 1 cos 2 + + − = x x x x d 1 sin 2 1 sin 2 cos 2 2 1 ( ) + + = − x x x 1 sin 2 d 1 sin 2 4 1 2 1
=0-02=空-0+h2c 解三 sin x(cosx-snx) (cosx+sn xcosx-sin x) =可 sin 2x 1-cos2x ∫2 2d-打os2x+sn2-d cos2x cos2x -+m2-x2at=+m2ade小-x2db创 (4)知边际成本C气x)=33+38x-12x2,图定成本C0)=68,求： 园总成本函数，)平均成本场数国 解总成本函数为 C)=∫C(x)d=(33+38x-12x2山 =33x+19x2-4x2+C, 由题意C0)=68,代入上式，解得C=68, 所以(a总成本函数 C(x）=33x+19x2-4x3+68, 6》平均成本函数 Cm=33+19x-4r2+68 (5)某产品的产量变化率是时间t的函数f)=户+1。已知当时间1=0时，产 量为0，试求该产品的产量函数： 解设产量函数为F=F(), 由题意 F0=f)=2+1. 则 F0=可fu地=j收+业=++C 又知F(0)=0,代入上式，解得C=0, 所以。此产是的产景函数为F0一+ (6)已知F(x)=八x)的图像，且知F(O)=0,试根据八x)的如下4种图像， 分刚西出F(x)的图像： x x)t
9 + = − x x x )d 1 sin 2 cos 2 (1 2 1 = x − ln(1+ sin 2x) + C 4 1 2 1 ． 解三 + x x x x d sin cos sin ( ) ( )( ) + − − = x x x x x x x x d cos sin cos sin sin cos sin − − = x x x x x x d cos sin sin cos sin 2 2 2 − − = x x x x d cos 2 2 1 cos 2 2 sin 2 + − = x x x x d cos 2 cos 2 sin 2 1 2 1 = (1+ tan 2x − sec 2x)dx 2 1 ( ) ( ) = x + x x − sec 2xd 2x 4 1 tan 2 d 2 4 1 2 1 = x − x − ln sec 2x + tan 2x + C 4 1 ln cos 2 4 1 2 1 ． （4） 知边际成本 2 C(x) = 33+ 38x −12x ，固定成本 C(0) = 68 , 求： (a) 总成本函数，(b)平均成本函数 C x x ( ) ． 解 总成本函数为 C(x) = C(x)dx (33 38x 12x )dx 2 = + − = x + x − x + C 2 3 33 19 4 ， 由题意 C(0) = 68 ，代入上式，解得 C = 68 ， 所以 (a) 总成本函数 C(x) 33 19 4 68 2 3 = x + x − x + ， (b) 平均成本函数 C x x ( ) x x x 68 33 19 4 2 = + − + ． （5）某产品的产量变化率是时间 t 的函数 ( ) 1 2 f t = t + ，已知当时间 t = 0 时，产 量为０，试求该产品的产量函数； 解 设产量函数为 F = F(t) ， 由题意 ( ) ( ) 1 2 F t = f t = t + ， 则 F t = f t t = (t + ) t = t + t + C 2 3 3 1 ( ) ( )d 1 d ， 又知 F(0) = 0 ，代入上式，解得 C = 0 ， 所以，此产品的产量函数为 F t = t + t 3 3 1 ( ) ． （6）已知 F(x) = f (x) 的图像，且知 F(0) = 0 ，试根据 f (x) 的如下 4 种图像， 分别画出 F(x) 的图像； f (x) f (x) f (x) O x 1 1
(b) 解()f(x)的图像是直线，即f八x)为一次函数，面F气x)=f(x),所以F(x)为已 次函数，图像为抛物线：直线斜率(x)0,f八x)在0，+∞)上为负，即F(x)0,即F(x)>0,所以F(x) 在0，+o)上四，无拐点：(x)在(0)上为负，即F()0,所以F(x)在(0，)上单调减少，在1，+∞)上单调增加，且在x=1处取得极 小值：又知F(O)=0,即F(x)的图像过原点.画草图如下： F(x) (c)气x)的图像率两段直线，由前面分析，知F气x)的图像为两段抛物线：(x)在 10
10 解 (a) f (x) 的图像是直线，即 f (x) 为一次函数，而 F(x) = f (x) ，所以 F(x) 为二 次函数，图像为抛物线；直线斜率 f (x) 0 ，即 F(x) 0 ，所以 F(x) 在 (0,+ ) 下凹， 无拐点； f (x) 在 (0,1) 上为正，即 F(x) 0 ， f (x) 在 (1,+ ) 上为负，即 F(x) 0 ，所 以 F(x) 在 (0,1) 上单调增加，在 (1,+ ) 上单调减少，且在 x =1 处取得极大值；又知 F(0) = 0 ，即 F(x) 的图像过原点．画草图如下： (b) 与(a)类似， F(x) 图像为抛物线；直线斜率 f (x) 0 ，即 F(x) 0 ，所以 F(x) 在 (0,+ ) 上凹，无拐点； f (x) 在 (0,1) 上为负，即 F(x) 0 ， f (x) 在 (1,+ ) 上为正， 即 F(x) 0 ，所以 F(x) 在 (0,1) 上单调减少，在 (1,+ ) 上单调增加，且在 x =1 处取得极 小值；又知 F(0) = 0 ，即 F(x) 的图像过原点．画草图如下： (c) f (x) 的图像是两段直线，由前面分析，知 F(x) 的图像为两段抛物线； f (x) 在 O y 1 x F(x) O y x 1 F(x) O f (x) 1 x (b)