第十三章数值计算初步 一，本章提要 1,基本概含 算法。镜型误差，测量误差，候斯误差，舍入误差，绝对误差。相对误差，绝对误差凤。 相对误差限。有效数字，谈差估计，插植节点，被插函数，插植多项式，插值问愿。插植基 函数，酸点图，银合函数，正规方程组，直线抵合，由线抓合，数值积分，常微分方程的数 值解。 2.基本公式 多元函数的误差估计公式，牛顿选代公式，H次拉格朗日插值公式。插值多项式，插 值多项式的余项式，牛餐科茨求积公式，棉形公式，抛物公式，科茨公式，复化梯形公式， 复化辛替森公式，变步长梯形法则的漫连公式，求解常微分方程打值问思的欧拉公式。改进 的肽格式，因阶龙格库塔公式 3.基本方法 方程求根的二分法，牛领选代法，拉格解日插值方法。由线拟合的最小二兵法，数值积 分方法。求常微分方程初值问思的欧拉方法及改进钓欧拉方法，四阶龙格库塔方法. 4.定理 牛顿达代法的收敛定里 二，要点解析 问器1数值计时，为什么要对误整作出结计？ 解析由于数值计算求出的量植解一般都是近似解，为了使还似解端是一定的精度要 求，所以要对误差进行估计 图？用插值法使求出表格形式给出的函数的反函数吗： 解析科学实验及实际工作中，许多函数是由表格形式给出的函数。如果能够判新所要 求的反函数存在，则可以通过先给表格函数中自麦量与因变量换位，再进行斩值运算的方法 得到要求的反函数的插值多项式.如果烯数在整个区间中不单调变化，可在其单区间内进 行分段渐值。从而得到分段表达的“反两数”， 闻墨3怎样保证算法程序的正确性？ 解析要保证所编程序正勇（语法请误除外）无速智语误，首先县对所用算法理解透彻 其次要有正确的检验方法，检险算法程序是否有登辑律误的一个常月手段是，用所编程序
1 第十三章 数值计算初步 一、 本章提要 1. 基本概念 算法，模型误差，测量误差，截断误差，舍入误差，绝对误差，相对误差，绝对误差限， 相对误差限，有效数字，误差估计，插值节点，被插函数，插值多项式，插值问题，插值基 函数，散点图，拟合函数，正规方程组，直线拟合，曲线拟合，数值积分，常微分方程的数 值解． 2. 基本公式 多元函数的误差估计公式，牛顿迭代公式． n 次拉格朗日插值公式，插值多项式，插 值多项式的余项式，牛顿-科茨求积公式，梯形公式，抛物公式，科茨公式，复化梯形公式， 复化辛普森公式，变步长梯形法则的递推公式，求解常微分方程初值问题的欧拉公式，改进 的欧格式，四阶龙格-库塔公式． 3. 基本方法 方程求根的二分法，牛顿迭代法，拉格朗日插值方法，曲线拟合的最小二乘法，数值积 分方法，求常微分方程初值问题的欧拉方法及改进的欧拉方法，四阶龙格-库塔方法． 4. 定理 牛顿迭代法的收敛定理． 二、要点解析 问题 1 数值计算时，为什么要对误差作出估计？ 解析 由于数值计算求出的数值解一般都是近似解，为了使近似解满足一定的精度要 求，所以要对误差进行估计． 问题 2 用插值法能求出表格形式给出的函数的反函数吗？ 解析 科学实验及实际工作中，许多函数是由表格形式给出的函数，如果能够判断所要 求的反函数存在，则可以通过先给表格函数中自变量与因变量换位，再进行插值运算的方法 得到要求的反函数的插值多项式．如果函数在整个区间中不单调变化，可在其单调区间内进 行分段插值，从而得到分段表达的“反函数”． 问题 3 怎样保证算法程序的正确性? 解析 要保证所编程序正确（语法错误除外）无逻辑错误，首先要对所用算法理解透彻， 其次要有正确的检验方法． 检验算法程序是否有逻辑错误的一个常用手段是：用所编程序
对事先知道运算结果的某个具体网墨进行象解，若所求结果与事先知道的结果相符，则说明 此程序无问遐。否则说明有问思。通常称这科检数方法为用己知检验来知的方法，例如， 对于插值程序，要先校验插植节点处的函数值是否正确：再看对某已知解析式的函数《比如 直线y=3x+C)是香正确。一般地说，发现所篇程序的逻细情误运比发现语法错误要维， 因此在编程计算时，要特别注意逐辑错灵的检验，以保证所编程序正痛无误。 三，创区与精解 制1求一个多流式，根合下列量提 x,12345 片29527.08910.8 解描出数据表的股点图，发现这些点无似地在一直线上分有，因此考虑用一线性函影 板合所恰数据。段所求根合函数为 y=a。+ax 10 6 123456 由所给数据表可知 21+2+344+515 ∑+22+3+42+52-55 ∑影=29+52+70+89+108=48 含%=lk29+2524370+4945i08=i2a9 由直线氨合的正规方程组得 5a+15a=34.8 154+554-123.9
2 对事先知道运算结果的某个具体问题进行求解，若所求结果与事先知道的结果相符，则说明 此程序无问题， 否则说明有问题．通常称这种检验方法为用已知检验未知的方法．例如， 对于插值程序，要先检验插值节点处的函数值是否正确；再看对某已知解析式的函数（比如 直线 y x C = + 3 ）是否正确．一般地说，发现所编程序的逻辑错误远比发现语法错误要难， 因此在编程计算时，要特别注意逻辑错误的检验，以保证所编程序正确无误． 三、例题与精解 例 1 求一个多项式，拟合下列数据 2.9 5.2 7.0 8.9 10.8 1 2 3 4 5 i i y x 解 描出数据表的散点图，发现这些点近似地在一直线上分布，因此考虑用一线性函数 拟合所给数据，设所求拟合函数为 y a a x = 0 + 1 ， O 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 y x • • • • • 由所给数据表可知： 1 2 3 4 5 15 5 1 = + + + + = i= i x ， 1 2 3 4 5 55 2 2 2 2 2 5 1 2 = + + + + = i= i x ， 2.9 5.2 7.0 8.9 10.8 34.8 5 1 = + + + + = i= i y ， 1 2.9 2 5.2 3 7.0 4 8.9 5 10.8 123.9 5 1 = + + + + = i= i i x y ， 由直线拟合的正规方程组得 0 1 0 1 5 15 34.8, 15 55 123.9, a a a a + = + =
解之，得 %=1.11a=1.95 因此所求的报合函数为 y=1.11+1.95x. 例2用牛顿法求方程x2+2x=1的近拟值（要果绝对误差限E≤105）时，牛顿选 代格式怎样确定？初值如何进定？误差如何控制？ 解因为求方程x2+2x=1的根。等价于求函数f八x)=x2+2x-1的零点.又 f"(x)=2x+2, 所以牛领选代格式为 =名- f'(x) 即 x2+1 x4= 2x4+2 为确定初值，雷先西出(x)=x2+2x-1的草图（如图）发现其根有两个，分别在 x=-2及x=0附近。因此，在求x=一2附近的近蚁根时，可意初值■一2：在求x=0 附近的近根根时，可选初值x=0, 2- 由于婴求近似根绝对误差限B=10一5，故在计算过程中应该用所求近似根的前后两个 值是否小子105来拉制误差. dy 例3用做拉方法求微分方程初值闫题 d山y'在x=01,0,2,0.3处的数值解 0)=1, 解因为 红，)=一三，所以计算该问的做拉公式为
3 解之，得 0 1 a a = = 1.11, 1.95 因此所求的拟合函数为 y = 1.11+1.95x ． 例 2 用牛顿法求方程 2 1 2 x + x = 的近似值（要求绝对误差限 ≤ 5 10 − ）时，牛顿迭 代格式怎样确定？初值如何选定？误差如何控制？ 解 因为求方程 2 1 2 x + x = 的根，等价于求函数 ( ) 2 1 2 f x = x + x − 的零点．又 f (x) = 2x + 2， 所以牛顿迭代格式为 ( ) ( ) 1 k k k k f x f x x x + = − ， 即 2 2 1 2 1 + + + = k k k x x x ， 为确定初值，需先画出 ( ) 2 1 2 f x = x + x − 的草图（如图）发现其根有两个，分别在 x = −2 及 x = 0 附近． 因此，在求 x = −2 附近的近似根时，可选初值 x0 = −2 ；在求 x = 0 附近的近似根时，可选初值 x = 0 ． O 1 2 -2 y x 1 -1 -2 -1 由于要求近似根绝对误差限 = − 10 5 ，故在计算过程中应该用所求近似根的前后两个 值是否小于 10−5 来控制误差． 例 3 用欧拉方法求微分方程初值问题 d , d (0) 1, y x x y y = − = 在 x = 0.1,0.2,0.3 处的数值解． 解 因为 y x f (x, y) = − ，所以计算该问题的欧拉公式为
=y+(x,男) 取x。=0只=1，h=0.1,则无=无+底，0=1,23).应用上式计算如下： 月-%+M)-1+0.1x-9)-1 为=与+(x乃)=1+0.1×(- =09. 为=为+)=099+0.1x02 =0.97, 099 因此，0.)=1,02)=0.99,03)=097. 通过本例的学习，要进一步明确微分方程的数值解是求什么。 四，练习题 1,判断正误 《1)由刀+1相异固定节点及对应的函数值所得出的拉格期日插值多项式是唯一 的： (√) 解析由拉格阴日插值多项式的存在难一性可知，由n+1个相异国定节点及对应的函 数值所得出的拉格铜日插值多项式是唯一的， (2) 求定积分广：的近似值的梯形公式为T-6-aU@)+f6. 《√) 解析产∫广了x灿为梯形公式的计算式，它是牛候-科茨求积公式中当m=1时的情 况 (3) 求一个微分方程的爱值解就是要求出未知函数在若干个点处的函数值： (√) 解析微分方程初植同恩的数值解就是对未知函数给出一系列节点：玉。·马·“，X, 处的函数值。·片·“y。· (4)用牛顿法求方程（x)=0的根。不管初值透取如何，总楚得到足够精确的结 果。(×) 解析初值的透取不当，会导政近拟根序列{x,」不收效。初值x必策满足
4 ( , ) i 1 i i i y = y + hf x y + ， 取 x0 = 0, y0 =1,h = 0.1 ，则 ( 1,2,3) xi+1 = x0 + hxi i = ．应用上式计算如下： ) 1 1 0 ( , ) 1 0.1 ( y1 = y0 + hf x0 y0 = + − = ， ) 0.99 1 0.1 ( , ) 1 0.1 ( y2 = y1 + hf x1 y1 = + − = ， ) 0.97 0.99 0.2 ( , ) 0.99 0.1 ( y3 = y2 + hf x2 y2 = + − = ， 因此， y(0.1)≈1， y(0.2) ≈0.99 ， y(0.3) ≈097． 通过本例的学习，要进一步明确微分方程的数值解是求什么． 四 、 练习题 1．判断正误 （1） 由 n +1 相异固定节点及对应的函数值所得出的拉格朗日插值多项式是唯一 的； （ √ ） 解析 由拉格朗日插值多项式的存在唯一性可知，由 n +1 个相异固定节点及对应的函 数值所得出的拉格朗日插值多项式是唯一的． （2） 求定积分 b a f (x)dx 的近似值的梯形公式为 ( ) ( ) ( ) 2 1 T = b − a f a + f b ； （ √ ） 解析 T= b a f (x)dx 为梯形公式的计算式，它是牛顿-科茨求积公式中当 n =1 时的情 况． （3） 求一个微分方程的数值解就是要求出未知函数在若干个点处的函数值； （ √ ） 解析 微分方程初值问题的数值解就是对未知函数给出一系列节点： 0 x ， 1 x ，…， n x 处的函数值 0 y ， 1 y ，… n y ． （4）用牛顿法求方程 f (x) = 0 的根，不管初值选取如何，总能得到足够精确的结 果． （ ） 解析 初值的选取不当，会导致近似根序列{ n x }不收敛．初值 0 x 必须满足
fxf"(x)>0. 之选择题 (1)函数y=八x)过点(1,2)，(2,3)的拉格朗日插值多项式为(D1 (A)2x-1:B4x-5:C02x+1i (D0X+1, 解析由拉格阴日线性插植公式，有 P(x)=6 -+乃-。 其中5。l,2,y,2,乃3， 从而 2+3 R()=2-2 2)若f（x)在闭区间a,b上连续，且f（x)在开区间(a.b)内有10个根，则用方程 求根的二分法掩够求出八(x)=0(B方 (A) 唯一的一个根；(B)全部10个根：(C)全都正根：(D)全部负根. 解析由于方程求根的二分法在每一次二分之后，都要判定根的存在区间，因此，随着 二分过程无限的继续下去，最峰能求出八x)的全部实根 (3)对给定数据点（工，，）日=L,2,”,n进行曲线拟合之前，先面这些数据点的散点图， 其目的是(A): (A)根据散点图的形状推断拟合函数的形式： 《B)为保迁根合曲线过这些点： (C)观察散点图中点的个数是香与所给数据点一政： (D)为方便插值多项式次数的确定 解析我们先在平面直角坐标系中描出所给的数据点的散点图，是为了观察散点图上的 大多数点近似地在哪一条由线阳近，并凭经险确定出这条曲线的一般形式，最后根据“最小 二乘法”具体的求出这条由线， (4)下列说法正确的是(B). 《A)能对误差限能完全表示近似值的好坏程度： 《(B)相对误差限愈小，近似程度愈高： (C)按四舍五入原则写出00378551具4位有效数字的近拟值为00379：
5 f (x0 ) f (x0 ) 0 ． 2. 选择题 （1）函数 y = f (x) 过点 (1,2),(2,3) 的拉格朗日插值多项式为（ D ）； （A） 2x −1 ； (B) 4x −5 ； (C) 2x +1 ； (D) x +1． 解析 由拉格朗日线性插值公式，有 ( ) 1P x = 1 0 0 1 0 1 1 0 x x x x y x x x x y − − + − − ， 其中 0 x =1， 1 x =2， 0 y =2， 1 y =3， 从而 ( ) 1P x = 2 1 1 3 1 2 2 2 − − + − x − x = x +1． (2) 若 f (x) 在闭区间 a,b 上连续，且 f (x) 在开区间 (a,b) 内有 10 个根，则用方程 求根的二分法能够求出 f (x) = 0 （ B ）； (A) 唯一的一个根 ； （B）全部 10 个根； （C）全部正根； （D）全部负根． 解析 由于方程求根的二分法在每一次二分之后，都要判定根的存在区间，因此，随着 二分过程无限的继续下去，最终能求出 f (x) 的全部实根． （3）对给定数据点 ( , ) i i x y (i =1,2, ,n) 进行曲线拟合之前，先画这些数据点的散点图， 其目的是（ A ）； （A）根据散点图的形状推断拟合函数的形式； （B）为保证拟合曲线过这些点； （C）观察散点图中点的个数是否与所给数据点一致； （D）为方便插值多项式次数的确定． 解析 我们先在平面直角坐标系中描出所给的数据点的散点图，是为了观察散点图上的 大多数点近似地在哪一条曲线附近，并凭经验确定出这条曲线的一般形式，最后根据“最小 二乘法”具体的求出这条曲线． （4）下列说法正确的是（ B ）． （A）绝对误差限能完全表示近似值的好坏程度； （B）相对误差限愈小，近似程度愈高； （C）按四舍五入原则写出 0.037 855 1 具 4 位有效数字的近似值为 0.037 9；
(D)数学模型与近似公式之间的误差叫做会入误差， 解析)绝对误差限并不能完全表示近似值的好坏程度.如 x-10±1，y-1000±5， 虽然x的施对差限比y的施对误差限小，但1000作为y的近拟值要比10作为x的近 似值要好： 相对误差限愈小，近制程度愈高.如x=10士1的近似值x=10的相对差限为1件， 而y=1000±5的近似值y幸=1000的相对误差限为Q,5群： (C)按四舍五入原则得出0.0378551的具有4位有效数字的近似值为003786： )数学模型与近似公式之间的误差叫做棱型误差，由舍入产生的误差叫做舍入误差， 3.填空题 《1)求方程f(x)=0的根的牛顿选代格式为1■x一 f) f(x) 山 (2)求常微分方程初值问愿 =f(x,y) dr 的以拉格式为另=另+（代，）· 0)=6 (3)对月+1个相异节点的要据点x,另的刀次拉格阴日插值公式为 （)定积分了出的变步长的复化梯形遥推会式，=五，+之化)中的 2 2 (x)表示fx)在二分后新增节点处的函数值 4,解容题 (1)用牛领法求方程2”-3x=0在34上的近似根，要求达到精度6=0.001： 解因为求方程2”-3x=0的根等价于求函数八x)-2-3x的零点.又 f'(x)=2'h2-3. 所以牛镜选代格式为 5=名- f) "(x)
6 （D）数学模型与近似公式之间的误差叫做舍入误差． 解析 (A)绝对误差限并不能完全表示近似值的好坏程度．如 x =10 1， y =1000 5， 虽然 x 的绝对误差限比 y 的绝对误差限小，但 1000 作为 y 的近似值要比 10 作为 x 的近 似值要好； (B)相对误差限愈小，近似程度愈高．如 x =10 1 的近似值 x =10 的相对误差限为 10%， 而 y =1000 5 的近似值 y =1000 的相对误差限为 0.5%； ( C)按四舍五入原则得出 0.0378551 的具有 4 位有效数字的近似值为 0.03786； (D)数学模型与近似公式之间的误差叫做模型误差．由舍入产生的误差叫做舍入误差． 3．填空题 （1）求方程 f (x) = 0 的根的牛顿迭代格式为 ( ) ( ) 1 k k k k f x f x x x + = − ； （2）求常微分方程初值问题 0 d ( , ), d (0) y f x y x y y = = 的欧拉格式为 1 ( , ) i i i i y y hf x y + = + ． （3）对 n +1 个相异节点的数据点 i i x , y 的 n 次拉格朗日插值公式为 = = − − = n i n i j j i j j n i x x x x P x y 1 0 ( ) ； （4）定积分 b a f (x)dx 的变步长的复化梯形递推公式 = − = + n k n n k f x h T T 1 2 ( ) 2 2 1 2 1 中的 ( ) 2 1 k− f x 表示 f (x)在二分后新增节点处的函数值 ． 4． 解答题 （1） 用牛顿法求方程 2 − 3x = 0 x 在 3,4 上的近似根，要求达到精度 = 0.001 ； 解 因为求方程 2 − 3x = 0 x 的根等价于求函数 f (x) = x x 2 − 3 的零点．又 ( ) = 2 ln 2 − 3 x f x ， 所以牛顿迭代格式为 ( ) ( ) 1 k k k k f x f x x x + = −
即选代公式为 2"-3x: xw=X-24h2-3 由于f(x)=2n2)2>0,而f(3)=8-9=-10, 从而令x,4,代入达代公式，有 开=3.5056. x2=3.32330,黑，=3.3134， x,=3.3131. 因此，方程2”-3江=0在3,4上精度6=0001的近拟值为3313 (2)设有数据表 x-11/81 y,-1V21 求它的拉格朗日插值多项式（x),并用它计算在x=2处的近似值： 解取名-山，g名，%-12，乃 由抛物括值公式。得 f八x)=P(x)=(-0 --,1g+x-,a+x- 21 (-1-=-1-) 8 发+-)+1- 8 82+x+ 8 2 21 因此， 217 (3按抛物公式（辛带森公式）计算定积分儿心d血的近似值 解根据求定积分爱值解的推物公式。有 elo+42+om 6 0+4x×e+e)a81034, 1 6 2 因此，定积分d的适似值为Q81065. (4)用改进的欧拉方法求微分方程 y=2y. 10)=1 在0.0.6上的数值解，取步长h=02:
7 即迭代公式为 2 ln 2 3 2 3 1 − − + = − k k x k x k k x x x ， 由于 ( ) 2 (ln 2) 0 2 = x f x ，而 f (3) = 8 − 9 = −1 0 ， f (4) = 16 −12 = 4 0 ， 从而令 0 x =4，代入迭代公式，有 1 x =3.5056， 2 x =3.32330， 3 x =3.3134， 4 x =3.3131， 因此，方程 2 − 3x = 0 x 在 3,4 上精度 = 0.001 的近似值为 3.313． （2）设有数据表 1 1 2 1 1 1 8 1 − − y i y x 求它的拉格朗日插值多项式 f (x) ，并用它计算在 x = 2 处的近似值； 解 取 0 x = − 1， 1 x = 8 1 ， 2 x =1， 0 y = − 1， 1 y = 2 1 ， 2 y =1， 由抛物插值公式，得 f (x) = ( ) 2 P x = ) 8 1 (1 1)(1 ) 8 1 ( 1)( 1) 8 1 1)( 8 1 ( ( 1)( 1) 2 1 )( 1 1) 8 1 ( 1 )( 1) 8 1 ( ( 1) + − + − + + − + − + − − − − − − − x x x x x x = 21 8 21 8 2 − x + x + ， 因此， f (2) = 21 8 4 2 21 8 − + + = 7 6 ． (3)按抛物公式（辛普森公式）计算定积分 1 2 0 e dx x x 的近似值； 解 根据求定积分数值解的抛物公式，有 1 2 0 e dx x x ) (1)] 2 0 1 [ (0) 4 ( 6 1 0 f f + f + + − = 1 4 1 1 (0 4 e e) 6 2 + + =0.8810554， 因此，定积分 1 2 0 e dx x x 的近似值为 0.8810554． （4）用改进的欧拉方法求微分方程 2 , (0) 1 y y y = = 在 0,0.6 上的数值解，取步长 h = 0.2 ；
月=男+0.2×2y=14y. 解所给的初值问题的改进欧拉公式为 月=男+02×2y,=y+04yp =，(y。+), 21 计算结果如下 x002 0.4 0.6 另11.482.19043.241792 (求数据表 ,-1234 3.1610.918.1 的抓合函数 解描出散点图。 其形状类似于指数函数 y=ae", 两边取对数，有 hy=Ina+bx. 将数表变形为 x-1234 y1.131.792.392.90 设：=d+x,得方程组 「4a+8b=821 d=1.3665. 18a+30b=21.22 b=0.343 即 a=e=es=3.922. 因此，拟合函数为y=3.922e 8
8 O 3 3 18 x y 解 所给的初值问题的改进欧拉公式为 1 0.2 2 1.4 , 0.2 2 0.4 , 1 ( ) , 2 p i i i c i p i p i p c y y y y y y y y y y y y + = + = = + = + = + 计算结果如下 0 0.2 0.4 0.6 . 1 1.48 2.1904 3.241792 i i x y (5)求数据表 3.1 6 10.9 18.1 1 2 3 4 i i y x − 的拟合函数． 解 描出散点图， 其形状类似于指数函数 e bx y a = ， 两边取对数，有 ln y = ln a + bx ， 将数表变形为 1.13 1.79 2.39 2.90 1 2 3 4 i i y x − ， 设 z = a +bx ，得方程组 + = + = 8 30 21.22 4 8 8.21 a b a b 1.3665, 0.343, a b = = 即 1.3665 e e 3.922 a a = = = ， 因此，拟合函数为 0.343 3.922e x y = ．