第十章多元函数徽分学 本章提要 1,基木概之 多元辆数，二元函数的定文域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数， 混合偏导数，全微分。切平面，多元函数的极值。驻点。条件极值，方向导数。梯度， 2。基本方法 二元两数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求 导法划求偏导数。 隐函数微分法：拉格朗日乘数法。 3.定理 混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合雨数的偏导数，极值的必要条作。极 值的充分条件。 二、要点解析 问题1比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极 限存在、连续，可导、可微之间的关系 解析()多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的。由于从一元到二元会产 生一些新的月题，面从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元橘数为代表进行讨 论。 如果我们把白变量看成一点P,都么对于一元函数，点P在区间上变化：对于二元函数 (x,),点Px,y)将在一平面区战中变化，这样，无论对一元、二元减多元函数都可以 统一写成 M=f八P) 它称为点函数。利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成 (.() (2)二元离数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维 区间发展成二维为区域。在区间上P的变化只能有左右两个方向：对区线来说。点的变化 则可以有无限多个方向.这就是研究二元函数所产生的一切新闫题的恨源.例如，考察二元
1 第十章 多元函数微分学 一、 本章提要 １．基本概念 多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数， 混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度． ２．基本方法 二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求 导法则求偏导数． 隐函数微分法：拉格朗日乘数法． ３．定理 混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极 值的充分条件． 二、要点解析 问题１ 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极 限存在、连续、可导、可微之间的关系． 解析 (1) 多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产 生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨 论． 如果我们把自变量看成一点 P ，那么对于一元函数，点 P 在区间上变化；对于二元函数 f (x, y) ，点 P(x, y) 将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以 统一写成 u = f (P) ， 它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成 lim ( ) , lim ( ) ( ) 0 0 0 f P A f P f P P P P P = = → → ． （２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点 P 的变化从一维 区间发展成二维为区域．在区间上 P 的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化 则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元
函数的极限 V n x+ 容易看出，如果先让x→0再让y→0，那么 卿4=0=0 同样，先让y→0再让x→0。也得到 +=0 但是如果让(x,y)沿直线y=kk≠0)面趋于(0,0)，则有 x2+y2x20+k1+k 它将随k的不同而具有不同的值。因此极限 XY m 8+ 不存在，从这里我们可以体会到，从一推跨入二隆后情况会变得多么复杂。 又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数米说。这一结 论并不一定成立。考察函数 :=(x,)= x+y x2+y*0 0 x2+y2=0 f0,0)=m 0+4x,0)-f0,0) S 0-0=0 M0△ 同样 f0.0)=m f0.0+4y)-f0.0.m 0-00 A 04y 所以f(x,y)在(0.0)点可导.然而，我们已经看到极限 细x*守 不存在，当然八x,y)在0.0)不连续. 2
2 函数的极限 2 2 0 0 lim x y xy y x + → → ， 容易看出，如果先让 x →0 再让 y → 0 ，那么 lim (lim ) lim 0 0 0 2 2 0 0 = = y→ x→ x + y y→ xy ， 同样，先让 y → 0 再让 x →0 ，也得到 lim (lim ) 0 2 2 0 0 = → → x + y xy x y ， 但是如果让 (x, y) 沿直线 y = kx(k 0) 而趋于 (0,0) ，则有 2 2 2 2 0 2 2 0 (1 ) 1 lim lim k k x k k x x y x y x y kx x + = + = + → → → ， 它将随 k 的不同而具有不同的值，因此极限 2 2 0 0 lim x y xy y x + → → 不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂． 又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结 论并不一定成立．考察函数 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0, xy x y z f x y x y x y + = = + + = 0 0 0 lim (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 0 = − = + − = → x → x f x f f x x x ， 同样 0 0 0 lim (0,0 ) (0,0) (0,0) lim 0 0 = − = + − = → y → y f y f f y y y ， 所以 f (x, y) 在 (0,0) 点可导．然而，我们已经看到极限 0 0 lim → → y x f (x, y) = 2 2 0 0 lim x y xy y x + → → 不存在，当然 f (x, y) 在 (0,0) 不连续．
多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到馆异，其实仔细想一想是可 以理解的.因为偏导数f(0.0)实质上是一元函数(x0)在x=0处关于x的导数，它的存 在只保证了一元函数f(x,0)在点x=0的连线.同理，偏导数f0.0)的存在保证了f(0,y) 在y=0点的连线，从几何意义米看，一fx,y）是一素由面，：=fx,0),y=0为它 与平面y=0的交线，：=f0y),x=0为它与平面x=0的交线.函数：=f八x,y）在 (0,0)处的可导，仅仅保证了上述两条交线在(0.0)处连续，当然不足以说明二元函数 :=(x,y)即由面本身一定在(0.0)处连健. (3)在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的.自是对于二元函数来说，可微性要 比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保任函数的连线，但若：=(X,)在(X。,男)】 可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式 △出=xAx+(x,Ay+0武P列 其中当p+0时，0)+0，从而 mA=0, 因此函数在（气，片）可微，那么它在(x,。》必连线， 函数是香可微从定文木身可以检验。国不太方便。然而我们有一个很简便的充分条件：若 (x,y)在(：，)不仅可导而且偏导数违续，那么x,y)必在（气，）可微.函数 (x,)的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处。全微分立即可以写 出 d==f(x,y)d+f(x.y)dy. (4)二元橘数的极限。连续、偏导、可微关系图： 极限存在。连续。式 ”偏导数存在 偏导数连续
3 多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可 以理解的．因为偏导数 (0,0) x f 实质上是一元函数 f (x,0) 在 x = 0 处关于 x 的导数．它的存 在只保证了一元函数 f (x,0) 在点 x = 0 的连续．同理，偏导数 (0,0) y f 的存在保证了 f (0, y) 在 y = 0 点的连续，从几何意义来看， z = f (x, y) 是一张曲面， z = f (x,0) ， y = 0 为它 与平面 y = 0 的交线， z = f (0, y)， x = 0 为它与平面 x = 0 的交线．函数 z = f (x, y) 在 （ 0,0 ）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（ 0,0 ）处连续，当然不足以说明二元函数 z = f (x, y) 即曲面本身一定在（ 0,0 ）处连续． （３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要 比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式 ( , ) ( , ) ( ) z = f x x0 y0 x + f y x0 y0 y + o 其中当 → 0 时， o() →0 ，从而 lim 0 0 0 = = = z y x ， 因此函数在 ( , ) 0 0 x y 可微，那么它在 ( , ) 0 0 x y 必连续． 函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 不仅可导而且偏导数都连续，那么 f (x, y) 必在 ( , ) 0 0 x y 可微．函数 f (x, y) 的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写 出： d ( , )d ( , )d x y z f x y x f x y y = + ． （４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图： 极限存在 连续 偏导数存在 可微 偏导数连续
问题2如何求多元函数的偏导数？ 解析求多元橘数的偏导数的方法。实质上减是一元橘数求导法.例如，对x求偏导，瓷是 把其余自变量都智时看成常量，从而函数就变成是x的一元函数。这时一元函数的所有求导 公式和法测统统可以使用。 对于多元复合杨数求导，在一些简单的情况，当然可以把它门先复合再求偏导数，但是当复 合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁桑易铅，如果复合关系中含有抽象函数，先复合的 方法有时就行不通，这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性。由于函数复合关系可以 多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用. 例1设：=e”n头求色应 ax oy 解直接求偏导数 在 =ye siny, 女 =xe"sin y+e"cosy. y 利用全微分求偏导数 止=sinyde"+e"dsiny =e"sin y(dr+xdy)+e"cos jdy =ye"sin ydr+(xe"sin y+e"cos yidy, 所以 G =Je”sn只，。=e"siny+e"cosy d cy 例2设：=fe,sm以求空，空 dx'dy 解由复合函数求导法则，得 正 =f(e,siny)e.y. dx =e,imk”x+e,siny)cosy, c 其中厂，厂分别表示f(e”,siny对e,siny的偏导数. 问题3二元函数的极值是否一定在驻点取得？ 解析不一定，二元函数的极植还可能在偏导数不存在的点取得 4
4 问题２ 如何求多元函数的偏导数？ 解析 求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对 x 求偏导，就是 把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是 x 的一元函数．这时一元函数的所有求导 公式和法则统统可以使用． 对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复 合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的 方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以 多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用． 例 1 设 e sin , xy z y = 求 y z x z , ． 解 直接求偏导数 e sin z xy y y x = ， e sin e cos z xy xy x y y y = + ， 利用全微分求偏导数 d sin de e dsin xy xy z y y = + e sin ( d d ) e cos d xy xy = + + y y x x y y y e sin d ( e sin e cos )d xy xy xy = + + y y x x y y y ， 所以 e sin , e sin e cos z z xy xy xy y y x y y x y = = + ． 例 2 设 (e ,sin ), xy z f y = 求 y z x z , ． 解 由复合函数求导法则，得 1 (e ,sin )e z xy xy f y y x = ， 1 2 (e ,sin )e (e ,sin )cos z xy xy xy f y x f y y y = + ， 其中 1 2 f , f 分别表示 (e ,sin ) xy f y 对 e ,sin xy y 的偏导数． 问题 3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？ 解析 不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．
例3说明函数f(x,)-1一x+y2在解点的偏导数不存在，但在解点取得极大植， - 解 lim 0+A0-/00=m上F-1 =5n x △x 此极限不存在。所以在(0.0)处(0,0)不存在. 同理 lin 00+4-00=m-剑 +0 w 0△y 此极限不存在，所以，在点0.0)处，(0,0)不存在.但函数fx,)=1-√x+y2≤ f(0,0)=1,即f(x,y)在点(0.0)取得极大值1. 问题4在解决实标问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值月题与有条件极值问题 有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？ 解析在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小 值.最大、最小值是全局性概念，面极值却是同部性概念，它们有区别也有联系。如果连续 函数的最大，最小值在区城内部取得，那么它一定就是此函数的极大，极小值，又若函数在 区线内可导，那么它一定在驻点处取得.由于从实际问愿建立的函数住往都是连续可导函数， 面且最大（最小）值的存在性是显然的.因此，求最大、最小值的步露通常可筒化为三步： (1) 根据实际问题建立函数关系。确定定义域 (2) 求驻点： (3) 结合实际意义判定最大、最小值， 从实际问题所归纳的极值月题通常是条件极植，条件极值和无条件极值是两个不同的顺 急.例如，二元函数：=x2+y的极小值（无条件极值）显然在(0,0)点取得，其值为零. 但是(0,0)显然不是此函数的的束条件x+y-1=0下的条件极小值点，事实上x=0,y=0 根本不满足约束条件。容易算出，这个条件极小值在点 处取得，其值为三，从几何 2'2 2 上米看，它们的差异是十分明显的。无条件极小值是由面：=x2+y所有竖坐标中的最小 者，知图所示：而条件极小值是由面树应于平面黑+y一1=0上，即空同曲面 :=x2+y2 x+y-1=0 上各点的整坐标中最小者 我门所说的把条件极值化成无条件极值来处理， 0:=x2+y 型 +v-1=0
5 ) 2 1 , 2 1 , 2 1 ( x + y −1 = 0 2 2 z = x + y y x z 例 3 说明函数 2 2 f (x, y) = 1− x + y 在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值． 解 x x x x x f x f x x x − = − − = + − → → →0 2 0 0 lim 1 ( ) 1 lim (0 ,0) (0,0) lim ， 此极限不存在，所以在 (0,0) 处 x f (0,0) 不存在． 同理 y y y f y f y y − = + − →0 →0 lim (0,0 ) (0,0) lim ， 此极限不存在，所以，在点 (0,0) 处， y f (0,0) 不存在．但函数 2 2 f (x, y) = 1− x + y f (0,0) = 1 ，即 f (x, y) 在点 (0,0) 取得极大值 1． 问题 4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题 有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？ 解析 在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小 值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续 函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在 区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数， 而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： （1） 根据实际问题建立函数关系，确定定义域； （2） 求驻点； （3） 结合实际意义判定最大、最小值． 从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概 念．例如，二元函数 2 2 z = x + y 的极小值（无条件极值）显然在 (0,0) 点取得，其值为零． 但是 (0,0) 显然不是此函数的约束条件 x + y −1 = 0 下的条件极小值点．事实上 x = 0, y = 0 根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点 1 1 ( , ) 2 2 处取得，其值为 1 2 ，从几何 上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面 2 2 z = x + y 所有竖坐标中的最小 者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面 x + y −1 = 0 上，即空间曲面 + − = = + 1 0 , 2 2 x y z x y 上各点的竖坐标中最小者． 我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理
并不是化成原来函数的无条件极值。而是代入条件后 化成减少了自变量的新函数的无条件极值，例如把条 件y=1-x代入函数：=x2+y2,便将原米的条件 极值化成了一元函数 :=x2+0-)2=2x3-2x+1 的无条件极值， 用拉格朗日乘数法求出的点可能是极植点，到底是香为极值点还是要用极值存在的充分条件 成其他方法判刚。但是，若讨论的目标函数是从实际阿愿中得来。且实际门思确有其值。通 过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点藏是极值点，无需再判斯， 例4求：=x2+y2+5在约束条件y=1-x下的极值. 解作轴励函数 F(x,八A)=x2+y2+5+21-x-y): 则有 F=2x-元，F=2y-A, 2x-1=0 解方程组 2y-1=0 1-x-y=0. 得 =y=2A=1 现在紫P宁是香为条件餐值点 由于付题的实质是求旋转抛物面：■x2+y2+5与平面y=1-x的交线。即开口向上的抛 、物线的极镇。所以存在极小值，且在难一鞋点P风处 11 )处取得极小植：= 2 2 问题5方向导数和梯度对于研究函数有何意文？ 解析二元函数：=化)在点（化功处的方响导数斗刻画了函数在这点当白变量沿着 al 射线I变化时的变化率，梯度g=的方向则是函数在点(x,y)处方向导数最大的射线方 向。因此沿梯度方白也是函数植增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮励， 例5求函数“=少：在点P(1,一L,2)处网数值下降最快的方向. 解负梯度方向是函数值下降最快的方向。因
6 并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后 化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条 件 y = 1− x 代入函数 2 2 z = x + y ，便将原来的条件 极值化成了一元函数 (1 ) 2 2 1 2 2 2 z = x + − x = x − x + 的无条件极值． 用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件 或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通 过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断． 例 4 求 5 2 2 z = x + y + 在约束条件 y = 1− x 下的极值． 解 作辅助函数 ( , , ) 5 (1 ) 2 2 F x y = x + y + + − x − y ， 则有 Fx = 2x − , Fy = 2y − ， 解方程组 2 0, 2 0, 1 0, x y x y − = − = − − = 得 1 , 1 2 x y = = = ． 现在判断 1 1 ( , ) 2 2 P 是否为条件极值点： 由于问题的实质是求旋转抛物面 5 2 2 z = x + y + 与平面 y = 1− x 的交线，即开口向上的抛 物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点 1 1 ( , ) 2 2 P 处取得极小值 11 2 z = ． 问题 5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？ 解析 二元函数 z f x y = ( , ) 在点 (x, y) 处的方向导数 l f 刻画了函数在这点当自变量沿着 射线 l 变化时的变化率，梯度 grad z 的方向则是函数在点 (x, y) 处方向导数最大的射线方 向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助． 例 5 求函数 u xy z 2 = 在点 P(1,−1,2) 处函数值下降最快的方向． 解 负梯度方向是函数值下降最快的方向，因
grad oui=y+2x+xy grad w=21-4j+k, 放所果方向为a=-grdl2=-2i+4-k。 三、例思精选 例6求涵数：= 2x-y 的定义域。并作出定文城图形. 1-x2-y2) 解要使函数有意义。需满足条件 2x-y220. y'52x y3=2x 1-x=y2>0,即{x2+y2<1 1-x-y*1 (x,*(00 +y2=1 定义域如图阴影部分所示， 例7设f(,）=esin,求d(.x+y 解一因为f(,)=csin 所以 f(xy,x+y)=e sin(x+y). =je”snx++e"cosfx+ a =e”sinx++e'cosx+ y df(xy.x+y)=[ysin(x+y)+cos(x+y)e"dx+[xsin(x+y)+cosx+y)e"dy 解二由复合函数求导法则阁 _+=e”snx+yy+e"cosx+ uan证 道_道u,道n 莎wny =e"sindx+y)x+e cos(+y). 所以g(y,x+y)=e"[ysix+y+cosx+y)dr+ e [xsin(x+y)+cos(x+y)]dy 例8设：=f红，片)=+x),其中F为可微函数，且M=上，验证
7 O y 2x 2 = 1 2 2 x + y = 1 x y u u x = grad i u y + j z u + k y z 2 = i + 2xyz j 2 + xy k ， (1,-1,2) grad 2 4 u = − + i j k ， 故所求方向为 (1,-1,2) a i j k = − = − + − grad 2 4 u ． 三、例题精选 例 6 求函数 ln(1 ) 2 2 2 2 x y x y z − − − = 的定义域，并作出定义域图形． 解 要使函数有意义，需满足条件 2 2 2 2 0, 1 0, 1 1, x y x y x y − − − − − 即 + ( , ) (0,0), 1, 2 , 2 2 2 x y x y y x 定义域如图阴影部分所示． 例 7 设 ( , ) e sin , u f u v v = 求 d ( , ) f xy x y + ． 解一 因为 ( , ) e sin , u f u v v = 所以 ( , ) e sin( ) xy f xy x y x y + = + ， e sin( ) e cos( ) xy xy f y x y x y x = + + + ， e sin( ) e cos( ) xy xy f x x y x y y = + + + ， 所 d ( , ) sin( ) cos( ) e d xy f xy x y y x y x y x + = + + + + sin( ) cos( ) e d xy x x y x y y + + + ． 解二 由复合函数求导法则得 e sin( ) e cos( ) xy xy f f u f v x y y x y x u x v x = + = + + + ， e sin( ) e cos( ) xy xy f f u f v x y x x y y u y v y = + = + + + ， 所以 d ( , ) e sin( ) cos( ) d xy f xy x y y x y x y x + = + + + + e sin( ) cos( ) d xy x x y x y y + + + ． 例 8 设 z = f (x, y,u) = xy + xF(u) ，其中 F 为可微函数，且 x y u = ，验证
2+y ■：中球 dx 证这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示， 正.+gau=b+F+8 dF ou 汕a dua =y+F-上dE xd山 同理有 在过，=x+x dF ou =r十 de dy by ou dy dw dy =xy+xF(u)-y dF dF ++y dw =2xy+xF(m)=:+y: 例9设x,八，)=e:2,其中：=x,y)由方程x+y+-x=0所确定。求 (0.L-1). 解(x,片)=e2对x求偏导，并注意到：是由方程所确定的x,y的函数，得 川=e2+2e色 ① 下面求三，由Fx,=x+y+:-=0得色=-￡=-2，代入①得 dx 应F1-x at川-er2-是 于是 01-0=c21-21--l-l-5. 1-0-1 例10求由面x2+2y2+32=21平行于平而x+4y+6:=0的切平面方程. 解析此题的关键是找出切点。如果平面上的切点为（工。，头，。），则曲面过该点的法向量 可由，，。，。表示，要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平 面的法向量对应坐标成比例。于是韧点的坐标可找出， 解设曲面 Fxy,)=x2+2y2+32-21=0
8 z x x y y u z xy y z y x z x = + + ． 证 这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示． u F x y y F u x u u F y F u x x u u f x f x z d d ( ) d d ( ) = + − = + + + = ， 同理有 u F x y u u F x x y u u f y f y z d d d d = + = + + = ， u F x y y u F x y x F u y y z y x z x d d d d = + ( ) − + + + = 2xy + xF(u) = z + xy． 例９ 设 2 ( , , ) ex f x y z yz = ，其中 z = z(x, y) 由方程 x + y + z − xyz = 0 所确定，求 (0,1, 1) x f − ． 解 2 ( , , ) ex f x y z yz = 对 x 求偏导，并注意到 z 是由方程所确定的 x, y 的函数，得 2 , , ( , ) e 2e x x x z f x y z x y yz yz x = + ① 下面求 x z ，由 F(x, y,z) = x + y + z − xyz = 0 得 1 1 x z z zy F x F yx − = − = − − ，代入①得 2 1 , , ( , ) e 2e 1 x x x zy f x y z x y yz yz yx − = − − ， 于是 0 2 0 1 1 ( 1) (0,1, 1) e 1 ( 1) 2e 1 ( 1) 5 1 0 1 x f − − − = − − − = − ． 例 10 求曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 平行于平面 x + 4y + 6z = 0 的切平面方程． 解析 此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为 ( , , ) 0 0 0 x y z ，则曲面过该点的法向量 可由 0 0 0 x , y ,z 表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平 面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出． 解 设曲面 ( , , ) 2 3 21 0 2 2 2 F x y z = x + y + z − =
平行于已知平面的切平面与曲面相切于(x。,。,。),故该切平面的法向量 n={F%人FF'(怀} 过(x,乃a,5a)的切平面方程为 2x(x-x0)+4(y-%)+6(日-5a)=0. D 该切平而与已知平面x+4y+6:=0平行，所以 2%=4丛=5」 四 146 又由于(x,,)在由面上，所以 x6+26+38=21, 画 联立②与团式，解得 X4=1 X0d =-1, 1=2 e=-2 -2 52■-2 将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为 及 x+4y+6:-21=0 x+4y+6:+21m0. 例11求两数：=x3-4x2+2y-y2的极值 解第一步！由极值的必要条件，求出所有的驻点 正 =3x2-8x+2y=0 =2x-2y=0 y 解出 3=0 y=0. 货的 第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为板值点，为了简明列表如下 8 4= B= 2: C: dxdy
9 平行于已知平面的切平面与曲面相切于 ( , , ) 0 0 0 x y z ，故该切平面的法向量 n F x y z F x y z F x y z x y z ( , , ), ( , , ), ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 过 ( , , ) 0 0 0 x y z 的切平面方程为 2x0 (x − x0 ) + 4y0 (y − y0 ) + 6z0 (z − z0 ) = 0 ， ① 该切平面与已知平面 x + 4y + 6z = 0 平行，所以 6 6 4 4 1 2 0 0 0 x y z = = ， ② 又由于 ( , , ) 0 0 0 x y z 在曲面上，所以 2 3 21 2 0 2 0 2 x0 + y + z = ， ③ 联立②与③式，解得 = = = 2. 2, 1, 01 01 01 z y x = − = − = − 2. 2, 1, 02 02 02 z y x 将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为 及 4 6 21 0, 4 6 21 0. x y z x y z + + − = + + + = 例 11 求函数 3 2 2 z = x − 4x + 2xy − y 的极值． 解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点 2 3 8 2 0, 2 2 0, z x x y x z x y y = − + = = − = 解出 1 1 0, 0, x y = = 2 2 2, 2. x y = = 第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下： 2 2 x z A = x y z B = 2 y z C = 2
=6x-8 =2 =-2 B-AC 结论 (0.0) -80 -20 2>0 -20 不是极大值点 因此，函数的极大值为=0.0)=0， 例12求由线y=nx与直找x-y+1=0 之问的最短距离， x-y+1=0 解一切线法，若由线上一点到己知直线的距 一y=hx 离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相 切：反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线。 据此，我们先求y=nx的导数 y=令广-1（已知直线上的斜率为1），得】 x■1，这时y=0,故由线y=nx上点L,0)到直线x-y+1=0的距离最短，其值为 -0+L=反. d=- P+- 解二代入条件法（利用无条件极值求解）.设(x,y)为曲线y=的x上任意一点，则点(x,y) 到已知直线的距离为 d方- 将y=hx代入上式得 d:方-加+ 易知x-nx-1>0x>0.放d-5-hx+小 ① 令w=x-hx+l,则W=1-,由=0，得x=l,这是函数W=x-hr+1在(0，+o) 10
10 = 6x −8 = 2 = −2 B − AC 2 结论 (0,0) −8 0 2 0 − 2 0 −12 0 是极值点，且 为极大值点 (2,2) 4 0 2 0 − 2 0 12 0 不是极大值点 因此，函数的极大值为 z(0,0) = 0． 例 12 求曲线 y = ln x 与直线 x − y +1 = 0 之间的最短距离． 解一 切线法．若曲线上一点到已知直线的距 离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相 切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线． 据此，我们先求 y = ln x 的导数 1 y , x = 令 y = 1 （已知直线上的斜率为 1），得 x =1 ，这时 y = 0 ，故曲线 y = ln x 上点 (1,0) 到直线 x − y +1 = 0 的距离最短，其值为 2 1 ( 1) 1 0 1 2 2 = + − − + d = ． 解二 代入条件法（利用无条件极值求解）．设 (x, y) 为曲线 y = ln x 上任意一点，则点 (x, y) 到已知直线的距离为 1 2 1 d = x − y + ， 将 y = ln x 代入上式得 ln 1 2 1 d = x − x + ， 易知 x = ln x −1 0(x 0) ，故 ( ln 1) 2 1 d = x − x + ． ① 令 u = x −ln x +1 ，则 x u 1 = 1− ，由 u = 0 ，得 x =1 ，这是函数 u = x −ln x +1 在 (0,+) -1 1 1 x y x − y + 1 = 0 y = ln x O