第三章导数与微分 一、本章是要 1,基本概念 厨时速度，切线。导数，变化率。加速度，高阶导数，线性主忽，微分， 2基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式 3基本方法 (仙)利用导数定义求导数 (的利用导数公式与求导法则求导数： 围利用复合函数求导法则求导数： )隐含数微分法 )参数方程微分法： 附对数求导法： 们利用微分运算法则求微分成导数， 二、要点解析 问恩1从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率 解析对于作变速直线运动的质点，若位移变量3与时间变量！之间的函数关系为 5=),当！从！变化到1+W时，在间隔AM内的平均速度为业+△)-0 ,此式只风 映了在1点附近速度变化的快慢程度，即为：时刻速度的近似代替量，统使其过波到精确值， 必须使△M→0，即1时刻瞬时速度为)=m +山)一。也即解时速度反映函数 5=)在！时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示璃数在此点变化的快慢程 度 常见的变化率： )曲线y一)的切线斜率史是织坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几每 dx 意义： 电流强度 是电荷Q对时间1的变化率： d
1 第三章 导数与微分 一、本章提要 1. 基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法 ⑴ 利用导数定义求导数； ⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法； ⑺ 利用微分运算法则求微分或导数． 二、要点解析 问题 1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率. 解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量 s 与时间变量 t 之间的函数关系为 s = s(t) ，当 t 从 t 变化到 t + t 时，在间隔 t 内的平均速度为 t s t t s t ( + ) − ( ) ，此式只反 映了在 t 点附近速度变化的快慢程度，即为 t 时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值， 必须使 t →0 ，即 t 时刻瞬时速度为 t s t t s t v t t + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 ，也即瞬时速度反映函数 s = s(t) 在 t 时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程 度． 常见的变化率： ⑴ 曲线 y = f (x) 的切线斜率 x y d d 是纵坐标 y 对横坐标 x 的变化率，这是导数的几何 意义； ⑵ 电流强度 t Q d d 是电荷 Q 对时间 t 的变化率；
线密度加是质量m对长度1的变化率： dl 比热容9是热量Q对盟度日的变化率。 de 以及人口出生率，经济增长半，化学反应速度等等. 月题2讨论函数的可导性及如何求函数的导数？ 解析1.我们知道，函数的连续性贝是可导性的必要条件.函数(x)在点x。处可导 的充分必要条件是左导数厂（工。）与右导数广.(x,)存在并且相等，即 (x)=.()=.(x。) 因此，要判定一个函数在某点是香可导，可先检查函数在该点是香连续，如果不连续， 就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定： ()直接用定文： (构求左、右导数看其是否存在而且相等。 当然，也可以不先检查连铁性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续 性挂往比较方便。 2由于在科学技术和工程中所活到的函数大多是初等函数。因此，我们把求初等函数 的导数作为求导的重点。先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数一一幂函数、正弦 函数、余弦函数、对数函数与指最函数的导数。然后再用定义推出了几个主要的求导法则一 求导的四则运算法则、复合橘数的求导法则与反函数的求导法则.酷助于这些法则和上述 的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式，在此基础上解流 了基本初等函数的求导列愿，下面是我们解决这个间愿的思路： 基本初等函数的导数 导 公式 数的 初等函 求导的四则运算法则 复合函数的求导法则 的导数 反函数的求导法则 还需指出的是关于分段函数在分界点的求导间题.例如，有一定义于(-或，十)的函数 p(x.-0<x≤a, f(x)= ulx)a<x<+
2 ⑶ 线密度 l m d d 是质量 m 对长度 l 的变化率； ⑷ 比热容 θ Q d d 是热量 Q 对温度 θ 的变化率， 以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等． 问题 2 讨论函数的可导性及如何求函数的导数？ 解析 1. 我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件． 函数 f (x) 在点 0 x 处可导 的充分必要条件是左导数 ' ( ) 0 f x − 与右导数 ' ( ) 0 f x + 存在并且相等，即 '( ) ' ( ) ' ( ) 0 0 0 f x f x f x = − = + 因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续， 就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定： ⑴ 直接用定义； ⑵ 求左、右导数看其是否存在而且相等． 当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续 性往往比较方便． 2. 由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数 的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦 函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则— 求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则． 借助于这些法则和上述 的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决 了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路： 导 数 的 定 义 求导的四则运算法则 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 初 等 函 数 的 导 数 基本初等函数的导数 公式 还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题． 例如，有一定义于 (−,+) 的函数 + − = ( ), , ( ), , ( ) x a x x x a f x
其中例x)与x)分别在区间-1, x≤1 在x=1处的导数不存在， 因为 f.(1)=lm +Ar)-10m (+Ar)-1(2+A9)-2. △ Ax 1 -1 ,0 f0+A-.n+A·+ -)=-1 Ax Ar 所以)不存在。 问题3为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什 么1 解析复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决夏合函数
3 其中 (x) 与 (x) 分别在区间 − x a 与 a x + 可导， x = a 为其分界点，求 f '(x) ． ⑴ − x a 时，由于 f (x) = (x) ，所以 f '(x) = '(x) ； ⑵ a x + 时，由于 f (x) =(x) ，所以 f '(x) ='(x) ； ⑶ 在 x = a 的左、右邻域，由于 f (x) 要从两个不同的表达式 (x) 与 (x) 去计值， 所以求 f '(a) 必须先用左、右导数的定义求 f ' (a) − 与 f ' (a) + ．如果它们都存在而且相等， 那么 f ' (a) + = f ' (a) − = f '(a) ．在这里特别注意求左、右导数要按照定义 x a x a x f a x f a f a x x + − = + − = − → − → − ( ) ( ) lim ( ) ( ) ' ( ) lim 0 0 ， x a x a x f a x f a f a x x + − = + − = + → + → + ( ) ( ) lim ( ) ( ) ' ( ) lim 0 0 ． 我们不要因为当 − x a 时， f (x) = (x) 而认为 f '(a) = '(a) . 在− x a 时， f '(x) = '(x) 是对的，这在上面已经说过但不能误认为 '(a) 就是 f '(a) ，有时 f '(a) 可能不存在，如下例所示： 证明函数 = , 1 , 1 1 ( ) 2 x x x f x x ， 在 x =1 处的导数不存在． 因为 lim (2 ) 2 (1 ) 1 lim (1 ) (1) ' (1) lim 0 2 0 0 = + = + − = + − = − − → − → → − x x x x f x f f x x x ， ) 1 1 1 lim ( 1 1 1 lim (1 ) (1) ' (1) lim 0 0 0 = − + = − − + = + − = + + → + → → + x x x x f x f f x x x ， 所以 f '(1) 不存在． 问题 3 为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什 么？ 解析 复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数
的求导问愿，而且还是隐含数求导法、对数求导法，参数方程求导法等的基础， 复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形 式，在分解过程中关健是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分 解后的函数成为基本初等函数成易于求导的初等函数，最后逐一求导，求导时要分清是对 中间变量还是对自变量求导，对中间变量求静后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量 (或白变量)的导数。当熟炼掌握该方法后，函数分解过程可不必写出， 例1 段y=hsm2Wx),求y. 解令y=h4,鞋=v2,v=s球，球=x,由复合函数求导法则有 y-y.w.v.w,=(nu).(vy.(sn wy./xy, =12-60sw- 11 之mcos-5)=-261 cot 如果不写中间变量，可简写成 y,=(hs2, 2,= .2 sn' .2sn -cg1·)=-2co1 2s--c0s--(- 在相当熟炼之后，。可进一步简写成 、2 y=m,=12s1os- 1 问题4微分顺念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？ 解析微分概老的产生是解决实际月题的需要.计算函数的增量是科学技术和工程中经 常遇到的问愿，有时由于函数比较复条，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方 法。对可导函数类我们有一个近似计算方法，那是用微分山去近似代替y,根据函最的
4 的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础． 复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形 式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分 解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导． 求导时要分清是对 中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量 （或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出． 例1 设 ln sin (1 ) 2 y = x ，求 y' . 解 令 y = ln u ， 2 u = v ，v = sin w， w =1 x ，由复合函数求导法则有 u v w x u v w x y' y' u' v' w' (ln u)' (v )' (sin w)' (1 x)' 2 = = x x x x x x x v w u 1 cot 2 ) 1 ( 1 cos 1 2sin 1 sin 1 ) 1 2 cos ( 1 2 2 2 2 = − = − = − ， 如果不写中间变量，可简写成 x x x x x x x x x x y )' 1 (sin 1 2sin 1 )' sin 1 (sin 1 sin 1 )' 1 ' (ln sin 2 2 2 2 = = = x x x x x )' 1 ( 1 cos 1 2sin 1 sin 1 2 = x x x x x x 1 cot 2 ) 1 ( 1 cos 1 2sin 1 sin 1 2 2 2 = − = − ， 在相当熟练之后，可进一步简写成 x x x x x x x y x x 1 cot 2 ) 1 ( 1 cos 1 2sin 1 sin 1 )' 1 ' (ln sin 2 2 2 2 = = − = − ． 问题 4 微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？ 解析 微分概念的产生是解决实际问题的需要．计算函数的增量是科学技术和工程中经 常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方 法．对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分 dy 去近似代替 y ，根据函数的
微分定义知 dy=T(xdr(d在=△) 是函数增量 Ay=f(x)Ar+o(Ar) 的线性主部，它有两个性质， (1)dy是Ar的线性函数： (2)△y与d山少y之差是△r的高阶无穷小《当△r+0),正是由于性质(1)，计算4y的 近似值dy是比较方锂的。同时由于性质(2)，当根小时，近叙程度也是较好的，因此： 一些科学工作者、工程师以及在实际工作中必须同函数的增量y或导数业打交道的人， dr 在自己所婴求的精确范围内，往往就用微分少去代替增量Ay,用差商代替导数 △x dx 微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个白变量还是一个变量的函 数，y=f()的微分y一了（灿这一形式不变。蓄要说明一点是：当u为自变量时，作 为定义。d山=△u:当u是另一个变量的函数时，du≠△， 微分与导数是两个不月的概念，微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量 的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率，对于一个给定的函数米说，它的微分跟X与 △r都有关，面导数只与x有关因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关 于娜个变量的微分，但提到导数必烫说清是对哪个变量的导数， 三、例愿精解 例2 若f八x)在点x,处可导，求 四 f(x+ah)-f(xo-h) 解因为八x)在点x。处可导，所以 m+的-.rk 因此 m+h)-f-m刚
5 微分定义知 dy = f '(x)dx (dx = x) 是函数增量 y = f '(x)x + o(x) 的线性主部，它有两个性质： （1） dy 是 x 的线性函数； （2） y 与 dy 之差是 x 的高阶无穷小（当 x →0 ）．正是由于性质（1），计算 y 的 近似值 dy 是比较方便的，同时由于性质（2），当 x 很小时，近似程度也是较好的．因此， 一些科学工作者、工程师以及在实际工作中必须同函数的增量 y 或导数 x y d d 打交道的人， 在自己所要求的精确范围内，往往就用微分 dy 去代替增量 y ，用差商 x y 代替导数 x y d d ． 微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函 数， y = f (u) 的微分 dy = f '(u)du 这一形式不变．需要说明一点是：当 u 为自变量时，作 为定义， du = u ；当 u 是另一个变量的函数时， du u ． 微分与导数是两个不同的概念．微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量 的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率. 对于一个给定的函数来说，它的微分跟 x 与 x 都有关，而导数只与 x 有关. 因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关 于哪个变量的微分，但提到导数必须说清是对哪个变量的导数． 三、例题精解 例2 若 f (x) 在点 0 x 处可导，求 h f x h f x h h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − − → ． 解 因为 f (x) 在点 0 x 处可导，所以 '( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x h f x h f x h = + − → 因此 h f x h f x h h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − − →
la (a)-()-() ah =(x)+(x。)=(@+f(x) 例3 设x)= c;x≤0，当a.b为何值时，)在x=0处连续且可导。 a+h,x>0, 解因为mfx)=me'=lmfx)=m(a+bx)=a, 所以敏使(x)在x=0处连候，领有 mf)=f=/0). 由此解得a=1,又 .(0)=im ()-1(o)-im1=1. f.o=-@=m0+-l=b. -40。 要使(0)存在，则b=1. 放当a■b■1时，f(x)在x■0处连线且可导 例4 设函数例u)可微。求函数y-n(s知x的微分dy. 解一因为y= 2o列snx)p(snx)00sx,所以 o(sn x) dy-2(sn x)(sn x)-cosd o'(sn x) 解二由一阶微分形式不变性得 dy=- 1-d02(smx0= -·2 o(sn x)dc(sinx) (sin x) o(sn x) 2o(sn)(s)d(sn x)2(sn xh'(sn x)cos dr (sn x) (sin x) 例5 投f八(x)=sin xsn3xsn5x,求"(0) 解一利用乘积求导法则 6
6 ] ( ) ( ) ( ) ( ) lim[ 0 0 0 0 0 h f x h f x h f x h f x h − − − + + − = → '( ) '( ) ( ) '( ) 0 0 0 =f x + f x = + f x ． 例3 设 + = , 0 , e , 0 , ( ) a bx x x f x x 当 a,b 为何值时， f (x) 在 x = 0 处连续且可导. 解 因为 f x f x a bx a x x x x x = = = + = → − → − → + → + lim ( ) lim e 1, lim ( ) lim ( ) 0 0 0 0 ， 所以欲使 f (x) 在 x = 0 处连续，须有 lim ( ) lim ( ) (0) 0 0 f x f x f x x = = → − → + ， 由此解得 a =1 ，又 1 e 1 lim ( ) (0) ' (0) lim 0 0 = − = − = → − → − − x x f x f f x x x ， b x bx x f x f f x x = + − = − = → + → + + (1 ) 1 lim ( ) (0) ' (0) lim 0 0 ， 要使 f '(0) 存在，则 b =1． 故当 a = b =1 时， f (x) 在 x = 0 处连续且可导． 例4 设函数 (u) 可微，求函数 ln (sin ) 2 y = x 的微分 dy ． 解一 因为 x x x x y 2 (sin ) (sin ) cos (sin ) 1 ' ' 2 = ，所以 x x x x x y d (sin ) 2 (sin ) '(sin ) cos d 2 = ． 解二 由一阶微分形式不变性得 2 (sin )d (sin ) (sin ) 1 d (sin ) (sin ) 1 d 2 2 2 x x x x x y = = x x x x x x x x x d (sin ) 2 (sin ) '(sin ) cos '(sin )d(sin ) (sin ) 2 (sin ) 2 2 = = ． 例5 设 f (x) = sin x sin 3x sin 5x ，求 f ''(0) . 解一 利用乘积求导法则
f(x)=cosxsin 3xsin 5x+3sin xcos3xsin 5x+5sin xsin 3xcos5x. 雕续用乘积求导法则求导得 f(x)=-35sn xsin 3xsin 5x+30sin xcos3xsn 5x+ 10cosxsin 3xcos 5x+6c06.xcos3xsin 5x. 所以 "(0)=0. 解二对函数先用和差化积公式得 f)=hxm3红血5红=（宁hew2红-cos8到 (-sx+sn 3x+sn 7x-sn9x). (x)=(csx+3cos3x+7cos7x-9cos9x). "()-(sx-9sn3x-49s7x+81sn9). 所以 "(0)=0. 解三利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”。由(x)为奇函数知厂(x) 为偶函数，"(x)为奇函数，又因为奇函数在x=0处两数值为零，知“(0)=0. 比较上述方法知解三较优。 例6己知摆线的参数方程 =-)求 y=a(l-cosr). 解一利用参数方程求导法求导 dy adl-costy sin! dx a(t-sin r 1-cost d sin f d'y-dy1=山1-ct cos(1-cos)-sin /san f dr dx dx dx 1-c0s)2 al-cost) d山 -1 a1-c0st)月 解二利用导数为微分之商求得 dy asn idr sn dr a(1-cosr)dr 1-cost >
7 f '(x) = cos xsin 3xsin 5x + 3sin x cos3x sin 5x + 5sin x sin 3x cos5x . 继续用乘积求导法则求导得 f ''(x) = −35sin x sin 3x sin 5x + 30sin x cos3x sin 5x + 10cos xsin 3xcos5x + 6cos xcos3xsin 5x， 所以 f ''(0) = 0． 解二 对函数先用和差化积公式得 )sin (cos 2 cos8 ) 2 1 f (x) = sin x sin 3x sin 5x = ( x x − x )( sin sin 3 sin 7 sin 9 ) 4 1 = ( − x + x + x − x ， )( cos 3cos3 7cos7 9cos9 ) 4 1 f '(x) = ( − x + x + x − x ， )(sin 9sin 3 49sin 7 81sin 9 ) 4 1 f ''(x) = ( x − x − x + x ， 所以 f ''(0) = 0． 解三 利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”. 由 f (x) 为奇函数知 f '(x) 为偶函数， f ''(x) 为奇函数，又因为奇函数在 x = 0 处函数值为零，知 f ''(0) = 0 . 比较上述方法知解三较优. 例 6 已知摆线的参数方程 = − = − (1 cos ) , ( sin ) , y a t x a t t 求 2 2 d d x y ． 解一 利用参数方程求导法求导 t t a t t a t x y 1 cos sin ( sin )' (1 cos )' d d − = − − = ， (1 cos ) 1 (1 cos ) cos (1 cos ) sin sin d d ) 1 cos sin ( d d ) d d ( d d d d 2 2 2 t a t t t t t t x t t t x y x x y − − − − = − = = 2 (1 cos ) 1 a − t − = ． 解二 利用导数为微分之商求得 t t a t t a t t x y 1 cos sin (1 cos )d sin d d d − = − =
d, (1-cosr)cosidr sn Isn idr (1-cosr) 1-cosf)° dx a1-cos1d山 a(1-cosr) 例？求由x=少确定的y=(x)在)处的切线方程 解方程两边取对数，得 上nx=上hy,即xhx-yhy 方程两边对x求导得 1 hx+x二=yhy+y-y, 于是，+血x 1+hy Mn -1. 所以，切线方程为y-1=x-1,即y-x=0. 例8设有一深为18，顶部直径为12m的正圆维形漏斗装满水，下面接一直径为10■ 的圆柱形水桶如图所示)，水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12c■，水面下降速度为1c■/s 时，求桶中水面上升的速度 解设在时刻1漏斗中水面的高度4=州)，漏斗在高为州)处的截面半径为风)。桶 中水面高度H=H(), ()建立变量h与H的关系， 由于在任意时刻！，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量， 则 (停r2uh0+5i0=6' 又因四-0，所以r0=(白0，代入上式得 618 分h0+25i0=6 (2四()与H()之间的关系 将上式两边对求导得 (gr0w0+25ar0-0
8 2 2 2 2 2 (1 cos ) 1 (1 cos )d (1 cos ) sin sin d (1 cos ) (1 cos ) cos d d ) d d d( d d a t t a t t t t t t t t t x x y x y − − = − − − − − = = ． 例 7 求由 x y x = y 确定的 y = f (x) 在 (1,1) 处的切线方程. 解 方程两边取对数，得 y x x y ln 1 ln 1 = ，即 x ln x = y ln y ， 方程两边对 x 求导得 ' 1 'ln 1 ln y y y y y x x + x = + ， 于是， y x y 1 ln 1 ln ' + + = ， ' 1 (1,1) y = ． 所以，切线方程为 y −1 = x −1 ，即 y − x = 0 ． 例 8 设有一深为 18cm，顶部直径为 12cm 的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为 10cm 的圆柱形水桶（如图所示），水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm/s 时，求桶中水面上升的速度. 解 设在时刻 t 漏斗中水面的高度 h = h(t) ，漏斗在高为 h(t) 处的截面半径为 r(t) ，桶 中水面高度 H = H (t) . ⑴ 建立变量 h 与 H 的关系， 由于在任意时刻 t ，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量， 则 ) ( ) ( ) 5 π ( ) 6 π 3 π ( 2 2 3 r t h t + H t = ， 又因 18 ( ) 6 r(t) h t = ，所以 ) ( ) 3 1 r(t) = ( h t ，代入上式得 ) ( ) 25π ( ) 6 π 27 π ( 3 3 h t + H t = ． ⑵ h'(t) 与 H '(t) 之间的关系 将上式两边对 t 求导得 ) ( ) '( ) 25π '( ) 0 9 π ( 2 h t h t + H t =
所以 HF()=- 20x附0 9×25 由已知，当)=12cm时，H()=-1cms,代入上式得 H"'0=- 122 9x25×-)=(c/s). H(r) 因此，当漏斗中水深为12c面，水面下降速度为1c/s时， 桶中水面上升速度为 6 es. 四、练习题 1.列断正误 )若函数y=f气x)在点x,处可导，则(x在点x处一定可导： 〔×) 解析函数在一点可导的充要条作是函数在该点的左右导数存在并且相等。如函数 fx)=x在x=0处可导，面/x到-川- -x,x<0, 在x=0处左右导数存在但不相 x.x20 等，所以(x在x=0处不可导. 四若fx在点x,处可导，则f(x)在点处一定可导： (×) -1.x<0. 解析V(x在一点可导，(x)在该点不一定可导.如函数(x)= 11,x20, /(x或=1在x=0处可导，但f八x)在x=0处却不可导. (③初等两数在其定义域内一定可导： (×) 解析初等函数在其定文区间内连续，但连续不一定可导.如函数y■√：是初等函 数，其定义区间为（的，+小，但y=F=时在x=0点处却不可导。 0若y一f(x)在(-a,)可导且为奇（国）函数，则在该区间内。厂(x)为偶（奇） 函数： √) 解析①若y=(x)为奇函数，即(-x)=一(x),则由导数定义 f'-)=m f(-x+Ax)-f(-x) 9
9 所以 '( ) 9 25 ( ) '( ) 2 h t h t H t = − ， 由已知，当 h(t) = 12cm 时， h'(t) = −1cm s ，代入上式得 ( ) 25 16 ( 1) 9 25 12 '( ) 2 − = cm s H t = − ， 因此，当漏斗中水深为 12cm ，水面下降速度为 1cm s 时， 桶中水面上升速度为 cm s 25 16 . 四、练习题 1.判断正误 ⑴ 若函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导，则 f (x) 在点 0 x 处一定可导； （ × ） 解析 函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在并且相等．如函数 f (x) = x 在 x = 0 处可导，而 − = = , 0 , 0 , ( ) x x x x f x x 在 x = 0 处左右导数存在但不相 等，所以 f (x) 在 x = 0 处不可导． ⑵ 若 f (x) 在点 0 x 处可导，则 f (x) 在点 0 x 处一定可导； （ × ） 解析 f (x) 在一点可导， f (x) 在该点不一定可导．如函数 − = 1 , 0 , 1 , 0 , ( ) x x f x f (x) =1 在 x = 0 处可导，但 f (x) 在 x = 0 处却不可导． ⑶ 初等函数在其定义域内一定可导； （ × ） 解析 初等函数在其定义区间内连续，但连续不一定可导．如函数 2 y = x 是初等函 数，其定义区间为 (−,+ ) ，但 y = x = x 2 在 x = 0 点处却不可导． ⑷ 若 y = f (x) 在 (−a, a) 可导且为奇（偶）函数，则在该区间内， f '(x) 为偶（奇） 函数； （ √ ） 解析 ① 若 y = f (x) 为奇函数，即 f (−x) = − f (x) ，则由导数定义 x f x x f x f x x − + − − − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 H(t) h(t)
=m-fx-A)+/ △r +(-Ax)-f(x) -Ax =f(x): 所以(x)为偶函数. 国若y=f(x为偶函数，即f(-x)=f(x),则由导数定文 f-x-n-+A--到 Ar = x-Ax)-八x) A lm +(Ax}-f.←) A-0 -Ar =-x 所以(x)为奇函数 ③若y一f(x)在点x。处可微，则f(x)在点x,处也一定可导 解析因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命愿正确 2选择思 ()y=x-在x=1处(A (A)连续： (B)不连线：(C)可导：(D)可微 解折y=-- x-1,x21, 1-x,x0)的导数为(D): 10
10 x f x x f x x − − + = → ( ) ( ) lim 0 ( ) x f x x f x x − + − − = → ( ) lim 0 = f (x) ， 所以 f '(x) 为偶函数． ② 若 y = f (x) 为偶函数，即 f (−x) = f (x) ，则由导数定义 x f x x f x f x x − + − − − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x x f x x − − = → ( ) ( ) lim 0 ( ) ( 1) ( ) lim 0 − − + − − = → x f x x f x x = − f (x)， 所以 f '(x) 为奇函数． ⑸ 若 y = f (x) 在点 0 x 处可微，则 f (x) 在点 0 x 处也一定可导. （ √ ） 解析 因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命题正确. 2.选择题 ⑴ y = x −1 在 x =1 处（ A ）； （A）连续； （B）不连续； （C）可导； （D）可微． 解析 − − = − = 1 , 1 , 1 , 1 , 1 x x x x y x lim ( ) lim (1 ) 0 1 1 = − = → − → − f x x x x ， lim ( ) lim ( 1) 0 1 1 = − = → + → + f x x x x ，所以 lim ( ) 0 1 = → f x x ， 且 f (1) = 0 ，则 lim ( ) (1) 1 f x f x = → ，所以函数 y = x −1 在 x =1 处连续； 另一方面， x f x f f x + − = → − − (1 ) (1) (1) lim 0 x x x − − = → − 0 lim 0 = −1， x f x f f x + − = → + + (1 ) (1) (1) lim 0 x x x − = → + 0 lim 0 = 1， 左右导数存在但不相等，所以函数 y = x −1 在 x =1 处不可导，也不可微． ⑵ y = x (x 0) x 的导数为（ D ）；