第七章定积分的应用 一、本章提要 1,基本概含 微元法。面积微元，体机微元，氧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数， 2.基本公式 平面由战乳意元分式 3基本方法 (1 用定积分的微元法求平面图形的面积， 2 求平行截面直积已知的立体的体积， (3 求曲线的弧长， 0 求变力所作的功， (5 求液体的侧压力， (6 求转动惯量， (70 求连埃函数风小在血，区刺上的平均值， (8) 求平面薄片的质心。也称重心， 二，要点解析 问题1什么样的量可以考成用定积分求解？成用微元法解决这些月题的具体表霞如 何？ 解所具有可加性的儿何量成物理量可以考虑用定分求解，即所求景Q必须清足条件： (1)Q与变藏x和r的变化区闻应，b以及定义在该K间上某一函数)有关：(2)Q在 【血.上具有可加性，微元法是“从分剂颗近风。米和取慢限”的定积分基本思想方法中餐 括出来的，具体步程如下， (1》选变量定区间：根据实标问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适 当的变量（如x,并确定积分变量的变化区间4，b小： (2)取近杖找微分，在，]内任取一代表性区侧工，x+d],当d很小时运用“以 直代曲，以不麦代变”的屏证思想，获取微元表达式dQ与八x△Q(△Q为量Q在
1 第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数 f(x)在 a,b 区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题 1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如 何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量 Q 必须满足条件： （1） Q 与变量 x 和 x 的变化区间 a,b 以及定义在该区间上某一函数 f(x)有关；（2） Q 在 a,b 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概 括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适 当的变量（如 x ），并确定积分变量的变化区间 a,b ； （2）取近似找微分：在 a,b 内任取一代表性区间 x, x + dx ，当 dx 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式 d = ( )d Q f x x ≈Q （ Q 为量 Q 在
小区同k,x+上所分布的部分量的近似值为 (3)对微元进行积分得Q-可广d0=广f灿。 下面举例说明。 例1用定积分求半径为？的网的面积. 0 R 解一透取如图所示 的坐标系，取x为积分变量， 其变化区间为[R风 分剂区阿R风战若干个 小区同。其代表性小区间 名，X+d)所对应的面积微 元 d=(R-x-(-R-x)dx=2R-xdx. 于是 A=44=2R-dk=xR2, 解二选取如图所示的坐标系。 da R 取0为积分变量，其变化区间为02.分刺区间02成若干个小区间，其代表性 小区 侧B,8+d0所对应的面积微元d4=。Rd0,于是 44-广ra0-R2x- 解三选取r为积分变量，其变化区间为0，，如图，分制白，同成若干个小区间， 其代表性小区间，r+d]所对应的雨积微元d4=2心，于是 2
2 小区间 x, x + dx 上所分布的部分量的近似值）； （3）对微元进行积分得 = d ( )d b b a a Q Q f x x = ． 下面举例说明． 例 1 用定积分求半径为 R 的圆的面积． 解一 选取如图所示 的坐标系，取 x 为积分变量， 其变化区间为 − R,R， 分割区间 − R,R 成若干个 小区间，其代表性小区间 x, x + dx 所对应的面积微 元 dA ( R x ( R x ))dx 2 R x dx 2 2 2 2 2 2 = − − − − = − ， 于是 − − = = − R R R R A dA 2 R x dx 2 2 = 2 π R ． 解二 选取如图所示的坐标系， O R d r 取 为积分变量，其变化区间为 0,2π．分割区间 0,2π 成若干个小区间，其代表性 小区 间 , + d 所对应的面积微元 d 2 1 d 2 A = R ，于是 2 2 2π 0 2 2π 0 2π π 2 1 d 2 1 A = dA = R = R = R ． 解三 选取 r 为积分变量， 其变化区间为 0,R ，如图，分割 0,R 成若干个小区间， 其代表性小区间 r,r + dr 所对应的面积微元 dA = 2πrdr ，于是 O y -R R x
R O rr+dr 月圈2如时帮莲续通数在树区间k小上的平均值u一。'广油是有 限个数的算术平均值的推广， 解析首先，我们知道几个数另，乃八.的算术平均值为 万=0出+为++)1n=2, 对于函数(x),我们把区间山，b】▣等分，设分点为=x<无1<…<x,=b。区间 的长度△x= -品=1，之小，各分点x所对应的函数值为人儿红，小 其算术平均值 上之化)可滋似地表达橘数)在，司上取得一切值的平均值.显然， :越大，分点越多，这个平均值就越接近函数八x)在口，月上取得一切值的平均值.。因此。 称极限 mΣfx) +家行e司 为函数f八)在闭区间a,上的平均植，记为小 下面用定积分表示函数fx)在口，上的平均值儿小在定积分定文中，若取 气=·Ax-6-0.则 广地-=2-=22 这里天-m4m,A-6 因此 3
3 2 0 2 0 π 2 2π d 2π R r A r r R R = = = ． R O r r r + dr 问题 2 如何理解连续函数 f(x) 在闭区间 a,b 上的平均值 − = b a f x x b a u ( )d 1 是有 限个数的算术平均值的推广． 解析 首先，我们知道几个数 y y y 1 2 n , , , 的算术平均值为 y y y y n n y n k k n = + + + = = ( 1 2 ) / 1 1 ， 对于函数 f (x) ，我们把区间 a,b n 等分，设分点为 a = x0 x1 xn = b ．区间 的长度 ( 1,2, , ) i b a x i n n − = = ，各分点 i x 所对应的函数值为 1 2 f x f x ( ), ( ), , ( ) n f x ， 其算术平均值 = n i i f x n 1 ( ) 1 可近似地表达函数 f (x) 在 a,b 上取得一切值的平均值．显然， n 越大，分点越多，这个平均值就越接近函数 f (x) 在 a,b 上取得一切值的平均值． 因此， 称极限 lim n→ 1 n 1 f xi i n ( ) = 为函数 f (x) 在闭区间 a,b 上的平均值，记为 a b y , ． 下面用定积分表示函数 f (x) 在 a,b 上的平均值 a b y , ．在定积分定义中，若取 i i = x ， x b a n i = − ，则 = → = → − = = n i i n n i i i b a n b a f x x f x f x 1 1 0 ( )d lim ( ) lim ( ) ， 这里 max , , , 1 2 n b a x x x n − = = ． 因此
广e 免 在生产实我和科学研究中，有许多连续量的平均值需要计算。如平均电流强度、平均电 压、平均功率等等 例2求从0到T这段时间内自由落体运动的平均速度， 解因为自由落体运动的速度？三慰，所以 三，例愿精解 例3求纯电阻电路中正弦电流()。.smC在一个周期上的平均功率（其中I.及 得均为常数) 解设电阻为R(R为常数)，则电路中的电压 u=iR=RI sin of 而功率 p=iu =R(I sin ow). 因此p在[Q,2酒 上的平均功率（功率的平均值） 41-cos20md山 2w20 2 -10-o/)-2R-w. (U-1R). 这说明纯电阻电溶中正弦电流的平均功率等于电流、电压的峰植之积的一半 对一粒的周期为T的交变电流()，它在？上消耗的功率为P=城()=()R,在
4 n b a f x b a f x n n i i n n i i n − − = = → = → 1 1 lim ( ) 1 ( ) 1 lim 1 1 lim ( ) n i i n i f x x b a → = = − − = b a f x x b a ( )d 1 ， 即 − = b a a b f x x b a y ( )d 1 [ , ] ． 在生产实践和科学研究中，有许多连续量的平均值需要计算，如平均电流强度、平均电 压、平均功率等等． 例 2 求从 0 到 T 这段时间内自由落体运动的平均速度． 解 因为自由落体运动的速度 v = gt ，所以 2 0 0 1 1 1 1 d 0 2 2 T T v gt t gt gT T T = = = − ． 三、例题精解 例3 求纯电阻电路中正弦电流 i t I t ( ) = m sin 在一个周期上的平均功率（其中 m I 及 均为常数）． 解 设电阻为 R （ R 为常数），则电路中的电压 u iR RI t = = m sin ， 而功率 2 p iu R(I sin t) = = m ， 因此 p 在 2π 0, 上的平均功率（功率的平均值） 2π 2 π 2 2 2 2π 0 0 1 1 cos 2 sin d d 0 2π 2 m m RI t p R t t t I − = = − 2 2π 2 0 1 1 (1 cos )d( ) ( ) 4π 2 2 m m m m m m I R t t I R I U U I R = − = = = ， 这说明纯电阻电路中正弦电流的平均功率等于电流、电压的峰值之积的一半． 对一般的周期为 T 的交变电流 i(t) ，它在 R 上消耗的功率为 p u(t)i(t) i (t)R 2 = = ，在
∫reRu [0,T]上的平均功率为p= 通常交流电器上标明的功率就是平均功率， 例4当交变电流()在其一个周期内在负载电阅”上消耗的平均功率等于取因定值电 流I的直流电在R上消耗的功率时，称I为()的有效值，即电流()的有效值为I,试求 )的有效值 解固定值为/的电流在电阻R上消耗的功率为户R, 对于交变电流()在其一个周别内在负载电阻R上消耗的平均功率为 -0随-ro. 于是 得 为交变电流()的有效值 通常在之流电的电器上所标明的电流即为交变电流的有效值 般地，把 [了产山称为连续函数fx)在a,司上的均方根.因此，周明性 电流)的有效值就是它的一个周期上的均方根。 例5由力学知道，位于平面上点（属，月）处的质量为两，0=12…，)的几个质点所构 成的质点系的质心（也叫质点系的重心》坐标(：，）计算公式为 My y= 所（质点系中全部质点的质量之利，M,一∑m天《质点
5 0,T 上的平均功率为 T i t R t p T = 0 2 ( ) d ． 通常交流电器上标明的功率就是平均功率． 例 4 当交变电流 i(t) 在其一个周期内在负载电阻 R 上消耗的平均功率等于取固定值电 流 I 的直流电在 R 上消耗的功率时，称 I 为 i(t) 的有效值，即电流 i(t) 的有效值为 I ，试求 i(t) 的有效值． 解 固定值为 I 的电流在电阻 R 上消耗的功率为 2 I R ． 对于交变电流 i(t) 在其一个周期内在负载电阻 R 上消耗的平均功率为 = = T T i t t T R i t R t T p 0 2 0 2 ( ) d ( )d 1 ， 于是 = T i t t T R I R 0 2 2 ( )d ， 得 = T i t t T I 0 2 ( )d 1 为交变电流 i(t) 的有效值． 通常在交流电的电器上所标明的电流即为交变电流的有效值． 一般地，把 − b a f t t b a ( )d 1 2 称为连续函数 f (x) 在 a,b 上的均方根．因此，周期性 电流 i(t) 的有效值就是它的一个周期上的均方根． 例 5 由力学知道，位于平面上点 ( , ) i i x y 处的质量为 m (i 1,2, ,n) i = 的几个质点所构 成的质点系的质心（也叫质点系的重心）坐标 (x , y) 计算公式为 m M x y = ， m M y x = ， 其中 = = n i m mi 1 (质点系中全部质点的质量之和)， = = n i y i i M m x 1 （质点系中，各质点
关于y轴的静力矩之和它网天，称其为顺点系对y轴的静力矩。M,=之叫乃《候 点系对x轴的静力矩) 由此可见。藏点系属(i=1,2,n)的质心坐标(X,》满足：质量为m=) 坐标为（云，下》的质点财关于y轴和x轴的静力矩分别与质点系关于y轴和x轴的静力矩 相等 按上述关于凝点系之质心的概念，用定积分的微元法时论均匀薄片的质心 解设均匀薄片由曲线y■f(x儿f八x)0),直线a,严b及x轴所围成，其面密 度“为常数，其质心坐标（元，下）. yf(x) 0 为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成若干个小部分，每一小部分近制看成一个质 点，于是该薄片就可近似看成质点系。具体做法如下： 将[山，区间分成若干个小区间。代表性小区间玉，x+d所对应的窄长条博片的质量 微元 dm=d山=(xdr, 由于山很小，这小窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条的左面一条边上，由于质量 是均匀分布的。故该窄条薄片又可看作质量集中在点 处且质量为dm的质点， 所以这窄条薄片关于x轴及y轴的静力矩微元dM,与dM,分别为 dM.=(=()ds, dM,=x(x)dx, 把它们分别在口b上作定积分，便得到静力矩 6
6 关于 y 轴的静力矩 mixi之和 m xi i i n = 1 ，称其为质点系对 y 轴的静力矩）， = = n i x i i M m y 1 （质 点系对 x 轴的静力矩）． 由此可见，质点系 mi（ i = 1,2, ,n ）的质心坐标（ x, y ）满足：质量为 m mi i n = = 1 ， 坐标为（ x, y ）的质点 M 关于 y 轴和 x 轴的静力矩分别与质点系关于 y 轴和 x 轴的静力矩 相等． 按上述关于质点系之质心的概念，用定积分的微元法讨论均匀薄片的质心． 解 设均匀薄片由曲线 y = f (x)( f (x) ≥ 0) ，直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成，其面密 度 为常数，其质心坐标（ x, y ）． O y a x x + dx b x y = f (x) 为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成若干个小部分，每一小部分近似看成一个质 点，于是该薄片就可近似看成质点系．具体做法如下： 将 a,b 区间分成若干个小区间，代表性小区间 x, x + dx 所对应的窄长条薄片的质量 微元 dm = ydx = f (x)dx， 由于 dx 很小，这小窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条的左面一条边上，由于质量 是均匀分布的，故该窄条薄片又可看作质量集中在点 ( ) 2 1 x, f x 处且质量为 dm 的质点， 所以这窄条薄片关于 x 轴及 y 轴的静力矩微元 dM x 与 dM y 分别为 M f x f x x f x x x ( )d 2 1 ( ) ( )d 2 1 d 2 = = ， M x f x x d y = ( )d ， 把它们分别在 a,b 上作定积分，便得到静力矩
M,=5t M,=x灿， 又因为均匀薄片的总质量 所以该薄片的质心坐标 为 广油 res 。fi 上而关于质心（太，y)的计算公式适用于求均匀薄片的质心，有关非均匀薄片质心的计 算将在二重积分应用中予以介绍， 例6求密度均匀，率径为R的半圆形薄片的质心. 解如图所示建立坐标系， -R0 上半圆周方程y=√R-x2,，由期称陆，质心在y轴上，即x=0,利用例5中的 质心计算公式得 2 3π 故所求频心为(0， 3 四。练习思 判断正误 ()由x轴，y轴及y=(任-？所国平面图形的面积为定积分。x-): /=-
7 M f x x b a x ( )d 2 2 = ， = b a y M xf (x)dx ， 又因为均匀薄片的总质量 = = b a b a m dm f (x)dx ， 所以该薄片的质心坐标 为 = = b a b y a f x x xf x x m M x ( )d ( )d ， 1 2 ( )d 2 ( )d b a x b a f x x M y m f x x = = ． 上面关于质心（ x, y ）的计算公式适用于求均匀薄片的质心，有关非均匀薄片质心的计 算将在二重积分应用中予以介绍． 例 6 求密度均匀，半径为 R 的半圆形薄片的质心． 解 如图所示建立坐标系， 上半圆周方程 2 2 y = R − x ，由对称性知，质心在 y 轴上，即 x = 0 ，利用例 5 中的 质心计算公式得 2 3 2 2 2 0 2 2 2 1 1 ( ) d 2( ) 2 3 4 2 , 1 3π d π 2 R R R R R x R x x R x R y R x x R − − − − = = = − 故所求质心为 4 (0, ) 3π R ． 四． 练习题 判断正误 (1) 由 x 轴， y 轴及 2 y = (x −1) 所围平面图形的面积为定积分 (x 1) dx 1 0 2 − ； O x y − R R y 1 x 2 y =(x−1) O
() 解析x轴，y轴及y=(红一)所围成的由边三角形位于x轴的上方，由定积分的几 何意文可知，其面积正是(x-)山。 (2)闭区间a,上的连续函数f)在该区间上的平均值为)， b-a 解析由定积分中植定理可知。闭区间[a,)】上的连铁函数f(x)在该区间上的平均值 为。地 《3)由曲边梯形A口≤x≤b,0≤y≤f气x)绕x轴旋转一国所产生的蒙转体的体 积r-(灿 (√) 解析如图，对任意的x©a,b小，能转体的藏面积A(x)=(x),由平行裁面物体的 体积得V=广Ax)=广f户灿 ) (4)若变量y关于x的变化利为3x2,则 (×) 解斩y关于x的变化率为3r2,则少=3，积分得 y=∫3xd=2+C. 2.填空题 ()设一平面由线方程为y=x),其中x)在a,b)上具有一阶连续导数，则此画 线对应于x=a到x=b的弧长上广、+)厅d:若曲线的参数方程为任三化(a y=, ≤1≤B),)0在[a,月上有莲线导数，则此曲线派长= ∫r+r· 2设一平面图形由y=f（x以y=g(xx=a,x=b所围成(g(x)>f气x》,其中
8 （ √ ） 解析 x 轴、y 轴及 2 y = (x −1) 所围成的曲边三角形位于 x 轴的上方，由定积分的几 何意义可知，其面积正是 (x 1) dx 1 0 2 − ． （2）闭区间 a,b 上的连续函数 f (x) 在该区间上的平均值为 f x b a ( ) − ； （ × ） 解析 由定积分中值定理可知，闭区间 [a,b] 上的连续函数 f (x) 在该区间上的平均值 为 1 ( )d b a f x x b a − ． （3）由曲边梯形 D：a ≤ x ≤ b ，0≤ y ≤ f (x) 绕 x 轴旋转一周所产生的旋转体的体 积 2 π ( )d b a V f x x = ； （ √ ） 解析 如图，对任意的 x [a,b] ，旋转体的截面积 A(x) = 2 π ( ) f x ．由平行截面物体的 体积得 V = ( )d b a A x x = 2 π ( )d b a f x x ． （4）若变量 y 关于 x 的变化率为 2 3x ，则 3 y = x ． （ × ） 解析 y 关于 x 的变化率为 2 3x ，则 d 2 3 d y x x = ，积分得 y = 2 3 d x x = 3 x C+ ． 2．填空题 (1) 设一平面曲线方程为 y = f (x) ，其中 f (x) 在 a,b 上具有一阶连续导数，则此曲 线对应于 x = a 到 x = b 的弧长 L= 2 1 [ ( )] d b a + f x x ；若曲线的参数方程为 ( ), ( ), x x t y y t = = （ a ≤ t ≤ ）， x(t), y(t) 在 , 上有连续导数，则此曲线弧长 L= 2 2 [ ( )] [ ( )] d x t y t t + ； (2) 设一平面图形由 y = f (x), y = g(x), x = a, x = b 所围成 (g(x) f (x)) ，其中 y 0 A(x) x f(x) y O x g(x) f(x) a x x+dx b
(x,g(x)在4，上连线，则该平面图形的面积=[g()-xdx: 解如图， 因为g(x)>f八x),取x为积分变量，于是得d4-gx)-八x,故平面图形的 面积 4g-f. 3)周期为T的矩形脉冲电瓷 0si≤c c0) 的有效值为 。二。心了户灿称为连线函数f)在a,例上的均方根。周期性 解一股地， 流()的有效值就是它的一个周期上的均方根， 则 P(nd-faidr-fodr-ae. 所以此林冲电流的有效值 -ro俨层 (4)若某产品的总产量的变化率为()=10-户，那么1从。=4到，=8这段时间 内的总产量为 272 3 解设总产量为0)，则g)=f)=10-2 积分得 0-可aow-fw=6w-写=9 及解答题 (1)抛物线y2=2x把图形x2+y2一8分成两部分。求这两部分面积之比： 解曲线围成的区域如图中阴影部分
9 f (x) ， g(x) 在 a,b 上连续，则该平面图形的面积 S= [ ( ) ( )]d b a g x f x x − ； 解 如图， 因为 g(x) f (x) ， 取 x 为积分变量，于是得 d [ ( ) ( )]d A g x f x x = − ，故平面图形的 面积 A = [ ( ) ( )]d b a g x f x x − ． (3) 周期为 T 的矩形脉冲电流 , 0 ( ) , ( 0) 0 , a t c i t a c t T = 的有效值为 T c a ； 解 一般地，把 1 2 ( )d b a f t t b a − 称为连续函数 f (x) 在 [a,b] 上的均方根．周期性电 流 i(t) 的有效值就是它的一个周期上的均方根， 则 2 0 ( )d T i t t = 2 0 d c a t + 0d T c t = a c 2 ， 所以此脉冲电流的有效值 I = 2 0 1 ( )d T i t t T = T a c 2 = T c a ． (4) 若某产品的总产量的变化率为 2 f (t) = 10t − t ，那么 t 从 t 0 = 4 到 t 1 = 8 这段时间 内的总产量为 3 272 ． 解 设总产量为 Q(t) ， 则 Q(t) = f (t) = 2 10t − t ， 积分得 Q = 8 2 4 (10 )d t t t − = 8 4 3 2 ) 3 (5 t t − = 3 272 ． 3. 解答题 （1）抛物线 y 2x 2 = 把图形 8 2 2 x + y = 分成两部分，求这两部分面积之比； 解 曲线围成的区域如图中阴影部分． y O 2 2 x 1 s 2 s
联立方程 {→ 得到两条曲线相交的交点为(2， 2),(2.-2) 从而 s-可-52-号. 其中 5-可42i425ostd25sm0-8coms =40+cos2a=T+2sin2zf-2+元， 所以 S,22*- 4 )2π+ 面 S+5,=(2W2)x=8m 于是 8=颜-2x+-6g- 所以，两部分面积比为 S:S:=(9x-2:(3x+2). (2)计算y=与直线y=0之间位于第一象限内的平面图形绕x轴旋转一周所得的 旋转体的体积： 解如图， y=e y 当x◆+o时，y=e→0，我中长的匹域餐作当x→+o时的闭区减， x 则其绕x轴旋转一周的体积 fPe-g-k受 2 所以，所得旋转体体积为
10 O y x e x y − = 联立方程 2 2 2 2 , 8, y x x y = + = 2, 2, x y = = 或 2, 2, x y = = − 得到两条曲线相交的交点为 （2， 2），（2， −2 ）． 从而 2 S =2 2 2 2 0 ( 8 )d 2 y − − y y =2( 2 2 2 2 0 0 8 d d 2 y − − y y y )， 其中 2 2 0 8 d − y y y t = 2 2 sin π 4 0 4 2 2 cos d(2 2 sin ) t t = π 4 2 0 8cos dt t = π 4 0 4 (1 cos 2 )d + t t = π 4 0 π 2sin 2 + t =2+ π， 2 2 0 d 2 y y = 2 0 3 6 1 y = 3 4 ， 所以 2 S =2（2+ 4 π 3 − ）=2 π + 3 4 ， 而 1 S + 2 S = 2 (2 2) π =8 π， 于是 S1 = 4 8π (2π ) 3 − + = 4 6π 3 − ， 所以，两部分面积比为 1 S ： 2 S =（9 π -2）：（3 π +2）． （2）计算 e x y − = 与直线 y = 0 之间位于第一象限内的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的 旋转体的体积； 解 如图， 当 x → + 时， y = e 0 − x → ，我们可以把未封闭的区域看作当 x → + 时的闭区域， 则其绕 x 轴旋转一周的体积 V = 2 0 π ( )d f x x + = 2 0 π e dx x + − = 2 0 π e 2 − + x − = π 2 ， 所以，所得旋转体体积为 π 2 ．