第一章函数 一、本章提要 基本概之 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数 基本初等函数。初等函数，数学校型 二，要点解析 问思1判定两个函数是否相同的依据是什么？ 解析判定两个函数是否相同，要禁据函数的两个要素：定文城和对应规律 例1下列各题中，了(x)与g(x)是否表示同一函数？为什么1 f (x)-I x1.g (x) ((x)=x,g (x)=sin(aresin x). 解(1)了(x)和g(x)是同一函数.因为，尽管二者的形式不一样，但定义线和对 应法则都相同 (2)了(x)和8(x)不是同一函数.因为，了(x)的定文城是(-，+0)，而g《x) 的定文域是[-1,1： 月题2分段函数是不是初等函数？ 解析分段函数一般不是初等函数。不同区间上其解析式不相同，即它不能用一个解 析式来表示，所以说它不是初等函数。但是。也有特殊的分段函数，。如 x.x20, f八(x)= -黑，x<0, 它与g(x)-V是相同的函数，故∫(x)可以用一个解析式表示，所以∫(x)可以 称为初等函数。 三、例题精解 例2设y=fx),x∈[04，求f八x)和f(x+5)+f(x-5)的定义域. 解因为y=f(x)的定义域为[0.4们，对于f(x)应有0≤x≤4，即有2≤x≤2，所
1 第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数， 基本初等函数，初等函数，数学模型 二、要点解析 问题 1 判定两个函数是否相同的依据是什么？ 解析 判定两个函数是否相同，要依据函数的两个要素：定义域和对应规律． 例 1 下列各题中， f ( x )与 g ( x )是否表示同一函数？为什么？ ⑴ f ( x )=∣ x ∣, g ( x )= 2 x ， ⑵ f ( x )= x , g ( x )=sin( arcsin x )． 解 （1） f ( x )和 g ( x )是同一函数.因为，尽管二者的形式不一样，但定义域和对 应法则都相同． （2） f ( x )和 g ( x )不是同一函数．因为， f ( x )的定义域是(−,+ ),而 g ( x ) 的定义域是[-1,1]. 问题 2 分段函数是不是初等函数？ 解析 分段函数一般不是初等函数，不同区间上其解析式不相同，即它不能用一个解 析式来表示，所以说它不是初等函数．但是，也有特殊的分段函数，如 − = , , ( ) x x f x 0 , 0 , x x 它与 g ( x )= 2 x 是相同的函数，故 f ( x )可以用一个解析式表示，所以 f ( x )可以 称为初等函数． 三、例题精解 例２ 设 y = f (x) , x ∈[0,4],求 ( ) 2 f x 和 f (x + 5) + f (x − 5) 的定义域． 解 因为 y = f (x) 的定义域为[0,4]，对于 ( ) 2 f x 应有 0≤ x 2≤4,即有-2≤ x ≤2，所
以，f(x2)定义援为[2,2] 0sx+5s4,-5sxs1, 对于f八x+5)+f(x-5)应有 0≤x-5s4.5≤x≤9 此不等式组无解，所以(x+5)+八x一S)的定义城为空集。 例3判断下列函数的奇偶性： (mfx)=xsnx:②fx)=smx-c0sx:周fx)=nx+V2+I) 解(1)f(-x)=-xsin-x)=xsnx=f(x),所以fx)=xsnx是每函数。 (2)（-x)=sn-x)-co风-x)=-snx-cosx,所以f(x)=smx-c0sx既不是 奇函数也不是钙函数， (3)f-x=n-x+-x+1)=n-x+2+1) -h x+vr+1 =In- +2+1 =-f(x): 所以(x)=h(x+Vx2+1)是奇函数】 例4下列函数是由哪些简单函数复合而成的： (y=3,0y=30+2xF 解0y=3,w=v2,v=nx. ②y=w,u=1+2x 例5（抵押统款横型）设二室一厅商品房价值100000元，王某白筹了40000元， 要购房还需要借贷60000元，借款月利率为1%，条件是每年还一部分，25年还清，假如还 不起，房子线归债权人，王某具有什么能力才憷惜贷呢？ 解模型假设. 起始借款60000元.借款月利率r=0.01,借拥n(月)=25（年）×12（月）=300（月）， 每月还x元，儿，表示第：月仍欠借主的线 2
2 以， ( ) 2 f x 定义域为[-2，2]． 对于 f (x + 5) + f (x − 5) 应有 − + 0 5 4 , 0 5 4 , x x 即 − 5 9． 5 1 , x x 此不等式组无解，所以 f (x + 5) + f (x − 5) 的定义域为空集． 例 3 判断下列函数的奇偶性： ⑴ f (x) = x sin x ; ⑵ f (x) = sin x − cos x ; ⑶ ( ) ln( 1) 2 f x = x + x + . 解 （1） f (−x) = −x sin( −x) = x sin x = f (x) ，所以 f (x) = x sin x 是偶函数． （2） f (−x) = sin( −x) − cos(−x) = −sin x − cos x ，所以 f (x) = sin x − cos x 既不是 奇函数也不是偶函数． （3） f (−x) = ln( −x + ( ) 1 2 −x + ）= ln( −x + 1 2 x + ) = + + + + + − 1 1 ln ( 1 ) 2 2 2 x x x x x x = ln 1 1 2 x + x + = − f (x) ， 所以 f (x) = ln (x+ 1 2 x + )是奇函数． 例 4 下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ ⑴ x y 2 tan = 3 ； ⑵ y = 2 3 (1+ 2x) . 解 ⑴ y = u 3 , 2 u = v , v = tan x . ⑵ 3 2 y = u , u =1+ 2x. 例 5 （抵押贷款模型） 设二室一厅商品房价值 100000 元，王某自筹了 40000 元， 要购房还需要借贷 60000 元，借款月利率为 1%，条件是每年还一部分，25 年还清，假如还 不起，房子就归债权人，王某具有什么能力才能借贷呢？ 解 模型假设． 起始借款 60000 元，借款月利率 r =0.01，借期 n （月）=25（年）×12（月）=300（月）， 每月还 x 元， n y 表示第 n 月仍欠借主的钱．
核型建立， a=0000. "%4(1+r)-x, 为=0+)-x=%。0+r)2-k1+r）+小. 为=，0+)-x-0+ry'-+r时2+1+)+小 男.=y0+r少-1+r+0+r小2++0+)+ -xd+-+- 当贷就还清时，.0，可得 =0+r" 1+r-1 肥n-300.r=0.01,。=60000代入得 X631.93, 即只要王某每月能拿出632元，线可以借贷， 四、练习题 1.列断正误（说明判断理由》 ()函数y=snx在[0，上单调增加 (X) 解析函数y=snx在0，上的图像为 0 所以函数y=5确x在0，上单调增加，在于，上单调减少， (②y=x2，xe0.+)是偶函数. (×)
3 模型建立． 0 y =60000， 1 y = 0 y (1+ r ) − x , 2 y (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 = y1 + r − x = y0 + r − x + r + ， (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 3 2 y3 = y2 + r − x = y0 + r − x + r + + r + ， …… (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 2 = 0 + − + + + + + + + − − y y r x r r r n n n n r x r y r n n (1 ) 1 (1 ) 0 + − = + − ， 当贷款还清时, n y =0,可得 (1 ) 1 (1 ) 0 + − + = n n r y r r x ， 把 n =300, r =0.01, 0 y =60000 代入得 x≈631.93 ， 即只要王某每月能拿出 632 元，就可以借贷. 四、练习题 1.判断正误（说明判断理由） ⑴ 函数 y = sin x 在 [0, π] 上单调增加． （ × ） 解析 函数 y = sin x 在 [0, π] 上的图像为 所以函数 y = sin x 在 ] 2 π [0, 上单调增加，在 , π] 2 π [ 上单调减少． ⑵ 2 y = x ， x(0,+ ) 是偶函数． （ × ） π y x O 2 π
解析判所函数的奇阔性，必须要求函数的定义区间关于银点对称，而x0,+)不 是关于原点对称的区间，所以该函数不是偶函数： =-1 与y=x+1是不相同的函数. (√) x-1 解析两个函数是否相同，取决于其定文城和对应法则是香相同。函数y一之一的 x-1 定义城为（四，U(,+小，面y-x+1的定文城是全体实数，所以y=-与 x-1 y=x+1不是相同的函数。 )y一√一u与“一三不能复合成复合函数， () 解析两个函数能否复合成一个复合函数，取决于外层函数的定义域与内层函数的值 城是否有公共部分.函数y一和的定义城为(0,0小，函数仙一之的值城为0，+)。 二者交集为空集，所以y=√一山与超= 不能复合成复合函数， 2选择题 (仙)函数y=1+nx是(D). (A)奇函数： (B)偶函数： (C)单调增如两数：(D)有界函数 解析因为-1≤snx≤1，即0≤1+snx≤2，所以函数y=1+snx为有界函数， (白下列函数中不是复合函数的是(A), = (B)y=e: (c)y=h-x:(D)y=sin(2x+1). 解析(A)y=()Y是基本初等函数中的指数函数，不是复合函数：《B),(C)、(D) 那是复合函数。 (国下列是初等函数的是(C). xx0:
4 解析 判断函数的奇偶性，必须要求函数的定义区间关于原点对称，而 x(0,+ ) 不 是关于原点对称的区间，所以该函数不是偶函数． ⑶ 1 1 2 − − = x x y 与 y = x +1 是不相同的函数． （ √ ） 解析 两个函数是否相同，取决于其定义域和对应法则是否相同．函数 1 1 2 − − = x x y 的 定义域为 (−,1)(1,+ ) ，而 y = x +1 的定义域是全体实数，所以 1 1 2 − − = x x y 与 y = x +1 不是相同的函数． ⑷ y = − u 与 2 1 x u = 不能复合成复合函数． （ √ ） 解析 两个函数能否复合成一个复合函数，取决于外层函数的定义域与内层函数的值 域是否有公共部分．函数 y = − u 的定义域为 (− ,0 ，函数 2 1 x u = 的值域为 (0,+ )， 二者交集为空集，所以 y = − u 与 2 1 x u = 不能复合成复合函数． 2.选择题 ⑴ 函数 y = 1+ sin x 是（ D ）． （A） 奇函数； （B） 偶函数； （C） 单调增加函数； （D） 有界函数． 解析 因为 −1 sin x 1 ，即 0 1+sin x 2 , 所以函数 y = 1+ sin x 为有界函数． ⑵ 下列函数中不是复合函数的是（ A ）． （A） x y ) 3 1 = ( ； （B） 2 1 e x y + = ； （C） y = ln 1− x ； （D） y = sin( 2x +1) ． 解析 （A） x y ) 3 1 = ( 是基本初等函数中的指数函数，不是复合函数；（B）、（C）、（D） 都是复合函数． ⑶ 下列是初等函数的是（ C ）． （A） x =1， x 是自变量； （B） = , , 2 x x y 0 ; 0 , x x
[-l,x0. 解析由定义，初等函数是由基本初等雨数经过有限次的四则运算和有限次的复合步 隙得到的用一个解析式表达的函数。(C)y=+知三为常数函数，即为初等函数：（⑧）、 (D)不能用一个解析式表达，不是初等函数。 ()下列是函数的是(C》, -x,-1≤x≤0. (A)x)= x',0sxsl, (B)y=snx-2 2, Isxs2; a b c (C)自变量xea,b,c(abc为互异实数)，f:↓↓↓1 111 (D)y= 1-x In(x-1) 解析(A)x■1对应y=1和y=2两个函数值，不符合函数一一对应的概之 (B)-1≤smxs1,得-3≤snx-2≤-1，所以y=Vsmx-2的定义域为空集. 1-x20 xs1 (D)y= 1-x 要求 x-1>0, 即{x>1,无解，定文域为空集 Inx-1) x-1≠1 *2 只有(C)满足两数定文， 3,填空题 )y=一x的定义域为1，】 解1-x2之0，即x≤1，解得-1≤x≤1，所以函数定义域为[1， ②y=en是由y=e',n=smp,r=x2 复合而成的 )开区同(a,b)的集合表示方法为a<x<b)。 5
5 （C） 7 π e sin 2 y = + ； （D） − = 1, 0, 1, y 0． 0 , 0 , = x x x 解析 由定义，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步 骤得到的用一个解析式表达的函数。（C） 7 π e sin 2 y = + 为常数函数，即为初等函数；（B）、 （D）不能用一个解析式表达，不是初等函数． ⑷ 下列是函数的是（ C ）． （A） − − = 2 , 1 2 ; , 0 1 , , 1 0 , ( ) 2 x x x x x f x （B） y = sin x − 2 ； （C）自变量 x {a,b,c} ( a,b,c 为互异实数)， 1 1 1 : a b c f ； （D） ln( 1) 1 − − = x x y ． 解析 （A） x =1 对应 y = 1 和 y = 2 两个函数值，不符合函数一一对应的概念． （B） −1 sin x 1 ，得 −3 sin x − 2 −1，所以 y = sin x − 2 的定义域为空集． （D） ln( 1) 1 − − = x x y ，要求 − − − 1 1 1 0 1 0 x x x ， 即 2 1 1 x x x ，无解，定义域为空集． 只有（C）满足函数定义． 3．填空题 ⑴ 2 y = 1− x 的定义域为 −1,1 ． 解 1 0 2 − x ，即 1 2 x ，解得 −1 x 1 ，所以函数定义域为 −1, 1． ⑵ 2 sin e x y = 是由 2 y e ,u sin v,v x u = = = 复合而成的． ⑶ 开区间 (a,b) 的集合表示方法为 x a x b ．
-1,x0, 解分段函数应分段求值，分段作图。 x=-30，则f八x)=x2+1,f2)=5, 4,解答题 ()y=1-x与x=1+e是否可复合成复合函数？为什么？ 解两个函数能否复合成复合函数，取决于外层函数的定义域和内层函数的值域有没 有公共部分.函数y=-x的定义域为-x之0小，即中≤，函数x=1+e的值 线为>小二者交集为空集，所以y=-x与x=1+心不可复合成复合函数 (0f(x)=sn2x+c0s2x与g(x)=1是否是相同的函数？ 解两个橘数是香相同，取决于其定文域和对应法则是否相同。函数 f(x)=m2x+cs2x-1与g(x)=1的对应法则相同，且定义城都为全体实数，所以 f八x)=m2x+cs2x与g(x)=1是相同的函数. 街)=h,工，g)=nx-n1+)是否是相月函数2 1+x 解函数fx)=h,的定义城为(-，-U(0,+),而函数g)=hx-1+x) 1+ 的定义城为0+加)，即两个函数的定义域不同，所以f)=n,工和 1+x )=hx-1+x)不是相同的函数 )阔函数和奇函数的图像具有怎样的对称性？ 解偶函数(-)=(x),图像美于y轴对称：奇函数f(-)=一(x),图像关于 原点对称 ③完成下表，给出函数∫，8和h的值.已知下列条件：(a)了关于y轴对称：(b) g关于原点对称：(c)h是f与g的复合函数(Mx)=gx】方 6
6 ⑷ 设 + = − = 1 , 0, 0 , 0 , 1 , 0 , ( ) 2 x x x x f x 则 f (−3) = －1 ， f (0) = 0 ， f (2) = 5 ． 解 分段函数应分段求值，分段作图． x = −3 0， 则 f (x) = −1 ， f (−3) = −1， x = 0 ， 则 f (x) = 0 ， f (0) = 0 ， x = 2 0 ， 则 ( ) 1 2 f x = x + ， f (2) = 5 ． ⒋ 解答题 ⑴ y = 1− x 与 t x = 1+ e 是否可复合成复合函数?为什么? 解 两个函数能否复合成复合函数，取决于外层函数的定义域和内层函数的值域有没 有公共部分．函数 y = 1− x 的定义域为 x 1− x 0 ，即 x x 1 ，函数 t x = 1+ e 的值 域为 x x 1 ，二者交集为空集，所以 y = 1− x 与 t x = 1+ e 不可复合成复合函数． ⑵ f x x x 2 2 ( ) = sin + cos 与 g(x) =1 是否是相同的函数？ 解 两个函数是否相同，取决于其定义域和对应法则是否相同．函数 f x x x 2 2 ( ) = sin + cos =1 与 g(x) =1 的对应法则相同，且定义域都为全体实数，所以 f x x x 2 2 ( ) = sin + cos 与 g(x) =1 是相同的函数． ⑶ x x f x + = 1 ( ) ln ， g(x) = ln x − ln(1+ x) 是否是相同函数？ 解 函数 x x f x + = 1 ( ) ln 的定义域为 ( , 1) (0, ) − − + ，而函数 g(x) = ln x − ln(1+ x) 的定义域为 (0, ) + ，即两个函数的定义域不同，所以 x x f x + = 1 ( ) ln 和 g(x) = ln x − ln(1+ x) 不是相同的函数． ⑷ 偶函数和奇函数的图像具有怎样的对称性？ 解 偶函数 f (−x) = f (x) ，图像关于 y 轴对称；奇函数 f (−x) = − f (x) ，图像关于 原点对称． ⑸ 完成下表，给出函数 f ， g 和 h 的值．已知下列条件：（a） f 关于 y 轴对称；（b） g 关于原点对称； （c） h 是 f 与 g 的复合函数（ h(x) = g[ f (x)] ）；
f八x) g(x) (x) f() 8x) x) -3 0 0 0 1 2 -2 -2 -2 2 -2 2 -2 -2 -1 2 2 3 0 0 0 0 0 0 解了关于y轴对称，期八x)是偶函数，即(-x)=八x): 名关于原点对称，则g(x)是奇函数，即g(-x)=一g(x) Mx)=gfx川，则州-x=gf（-x川=f(x川=Mx): 间若Mx)=x+1,g(x)=丘，求g[h(xg(x)(x)月. 解gMx=+, Mgx-(+1=F+1. Mx月=(3+1+1=x'+3x+3x2+2. 初求y=1+x+2)的反函数。 解移项有y-1=Hx+2),即x+2=e,所以反橘数为x=e-2. 剧设水以常速（以单位时间的体积计）注入如图所示的容器内， 作出水的高度关于时间1的函数y=)的图像. 解当1=0时，容器内水的高度为0，即f(0)■0，图像过原点 由于容器为网台形，由下而上逐渐变窄，而水以常速注入容器内，所 以随着时间的增如，水的高度增加的越来越快。图形如下：
7 x f (x) g(x) h(x) x f (x) g(x) h(x) -3 0 0 0 １ 2 -2 -2 -2 2 2 -2 ２ 2 -2 -2 -1 2 2 -2 ３ 0 0 0 0 0 0 0 解 f 关于 y 轴对称，则 f (x) 是偶函数，即 f (−x) = f (x) ， g 关于原点对称，则 g(x) 是奇函数，即 g(−x) = −g(x) ， h(x) = g[ f (x)] ，则 h(−x) = g[ f (−x)] = g[ f (x)] = h(x) ． ⑹ 若 ( ) 1 3 h x = x + ， g(x) = x ，求 g[h(x)], h[g(x)], h[h(x)] ． 解 [ ( )] 1 3 g h x = x + ， [ ( )] ( ) 1 1 3 3 h g x = x + = x + ， [ ( )] ( 1) 1 3 3 2 9 6 3 3 3 h h x = x + + = x + x + x + ． ⑺ 求 y = 1+ ln( x + 2) 的反函数． 解 移项有 y −1 = ln( x + 2)，即 1 2 e − + = y x ，所以反函数为 e 2 1 = − y− x ． ⑻ 设水以常速（以单位时间的体积计）注入如图所示的容器内， 作出水的高度关于时间 t 的函数 y = f (t) 的图像． 解 当 t = 0 时，容器内水的高度为 0，即 f (0) = 0 ，图像过原点； 由于容器为圆台形，由下而上逐渐变窄，而水以常速注入容器内，所 以随着时间的增加，水的高度增加的越来越快。图形如下： y O x