第四章徽分学的应用 一、本章提要 1.基本概念 未定型极值点，驻点尖点，可能极值点，极值，最值。由率，上凹，下回，拐点，渐近线，水 平渐近线，铅直渐近线· 2基本方法 (仙)用洛必达法则求未定型的极限： (留函数单调性的判定： 围单调区间的求法： ()可佳极植点的求法与极大值（或极小植）的求法： )连续函数在阳区间上的最大值及最小值的求法： 阁求实际问题的最大（或最小）值的方法： (团曲线的凹向及拐点的求法 围曲线的渐近线的求法： 倒一元橘数图像的描绘方法 3定理 柯西中值定理，拉格朗目中值定理，罗尔中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定定理， 极值的必要条件，极值的第一充分条件，极值的第二充分条件，由线凹向的判别法则 二，要点解析 月题！如何根据曲线的几何形状及导数的几何意义记忆曲线四向的判别法则？ 解析拿捉曲线的凹向判定准则关键是要拿握二阶导数 ∫(x)的符号与曲线四向的具体联系。为此，可先在纸上属 一条有确定四向的由线弧，比如下凹曲线弧（如右图），然后， 在其上作两条切线，当【逐渐增大时，观察其上各点切线斜率 厂(x)的变化规律。不难发现当名na=f(x2》.即一阶导数f'(x)单减， 所以，业包<0，即∫”(x)<0这就是说若曲线到是下凹曲
1 第四章 微分学的应用 一、 本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水 平渐近线,铅直渐近线． 2. 基本方法 ⑴ 用洛必达法则求未定型的极限； ⑵ 函数单调性的判定； ⑶ 单调区间的求法； ⑷ 可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸ 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹ 求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺ 曲线的凹向及拐点的求法； ⑻ 曲线的渐近线的求法； ⑼ 一元函数图像的描绘方法． 3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理, 极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则． 二、 要点解析 问题 1 如何根据曲线的几何形状及导数的几何意义记忆曲线凹向的判别法则？ 解析 掌握曲线的凹向判定准则关键是要掌握二阶导数 f (x) 的符号与曲线凹向的具体联系．为此,可先在纸上画 一条有确定凹向的曲线弧,比如下凹曲线弧（如右图），然后, 在其上作两条切线．当 x 逐渐增大时,观察其上各点切线斜率 f (x) 的变化规律．不难发现,当 1 2 x x 时,有 ( ) tan tan ( ) 1 1 2 2 f x = = f x ,即一阶导数 f (x) 单减, 所以, ( ) 0 d d x f x ,即 f (x) 0 这就是说,若曲线弧是下凹曲 O x y x1 x2 1 2
线弧则有”(x)0时，1+x)0，由单调性判断定理妃)0，网)上单调错起所认 当x>0时.有f八x)>f(0)=0,即 x-H1+x)>0. 所以x>0时，有x>1+x) 在本例的证明过程中，有利于单增函数最本质的属性，当玉>玉时，八（高）>（无2）.应 用此性质时，要特别注意黑，x必领属于(x)的单增区间.因此，在上面的证明过程中，所断 定的(x)的单调增区间0,0小包含点x=0是必要的。 三例愿精解 倒2求出函数(x)=x2-hx的单调区间. 解因为f(x)=x2-hx2在其定义域(-0.01U0,+o)内连埃
2 线弧,则有 f (x) 0 按上述方法,就不会弄错 f (x) 的符号与曲线凹向的对应关系． 问题 2 在函数单调性判别定理中,定理的假设条件除了要求 f (x) 在开区间 (a,b) 内 有确定符号（大于零或小于零）外,还特别要求 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续,它与定理结论 中的函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上单调（单增或单减）有何联系？在利用该定理考虑有关问 题时,将闭区间 [a,b] 一律写成开区间 (a,b) 行吗？ 解析 对于该定理, f (x) 在开区间 (a,b) 内存在并有确定的符号是不容易被忽视 的．容易忽视的是 f (x) 的单调区间究竟是 (a,b) , (a,b] ,[a,b) 或 [a,b] 中哪一种形式？这 从该定理的证明过程中可知, f (x) 在上述四个区间中,哪一个区间上连续,则 f (x) 就是在 相应区间上单调（单增或单减）．在利用该定理求解问题时,应特别注意定理的条件与结论的 对应,不能忽视 f (x) 在区间 [a,b] 的端点处的性态．请注意例 1 是如何应用单调性判别定理 证明不等式的． 例 1 证明当 x 0 时， ln(1+ x) x ． 证 令 f (x) = x − ln(1+ x) ，则 f (x) 在 0,+) 上连续,且在 (0,+) 内， ( ) 0 1 1 1 1 + = + = − x x x f x ，由单调性判断定理知, f (x) 在 0,+) 上单调增加,所以, 当 x 0 时,有 f (x) f (0) = 0 ，即 x − ln(1+ x) 0 ， 所以 x 0 时,有 x ln(1+ x)． 在本例的证明过程中,有利于单增函数最本质的属性：当 1 2 x x 时, ( ) ( ) 1 2 f x f x ．应 用此性质时,要特别注意 1 x , 2 x 必须属于 f (x) 的单增区间.因此,在上面的证明过程中,所断 定的 f (x) 的单调增区间 0,+) 包含点 x = 0 是必要的． 三.例题精解 例 2 求出函数 2 2 f (x) = x − ln x 的单调区间． 解 因为 2 2 f (x) = x − ln x 在其定义域 (−,0)(0,+) 内连续．
又因为当xe(←∞，0U0,+)时.有 =2-2=24-.24-+ 令“(x)0得(x)的单测区何的可能分界点：马=-l,黑2=1，用它们将f(x)的定 义域分为几个小区阿：(-，-1)，(-1,0)，(0,1)，1，+).列表时论了"(x)在各个小区间内 的符号，并判定函数（x)在每个小区何内的增碱性如下： (-0,-10 -10 (0.10 (L,+o ) f) 注：表中用“、”表示单或。用“表示单增 因此了(x)的单增区间有(-1,0)和(L,+四)，(x)的单减区间有(-，-)和(0，)： 例3己知(x)=x3+r2+br在x=1处有极值一12，试确定常系数4与k 解因为)=x2+x2+b,所以f气x)=3x2+2+b, 因为()=-12为极值点，所以f()=0,即 3+2a+b=0. ① 由f1)=-12.得 1+a+b=-12, ② 解由①与②组成的方程组，得a=10,b=-23 例4由曲线y=x2,x触和直线x=16国成一曲边三角形 Q4B,在曲边OB上求一点，使过此点的切线与x轴和直线x=16 围成的三角形MAN面积最大，并求出其最大面积， M A 解曲线y=x2上点(x,y)处的切线斜率y=2x,设(X,) 为曲线y=x2上点(x,y)处的切战上任一点之坐标，于是曲线y=x2上点(x,y)处的切战方 程为 y-y=2X-x): 即 Y-x2=2x(X-x). ① 3
3 又因为当 x(−,0)(0,+) 时,有 ( ) x x x x x x x f x x 2( 1) 2( 1)( 1) 2 1 2 2 2 − + = − = − = 令 f (x) =0,得 f (x) 的单调区间的可能分界点: x1 = −1, x2 =1,用它们将 f (x) 的定 义域分为几个小区间： (−,−1) , (−1,0) , (0,1) , (1,+) ．列表讨论 f (x) 在各个小区间内 的符号,并判定函数 f (x) 在每个小区间内的增减性如下： x (−,−1) (−1,0) (0,1) (1,+) f (x) － + － + f (x) ↘ ↗ ↘ ↗ 注：表中用“↘”表示单减, 用“↗”表示单增. 因此 f (x) 的单增区间有 (−1,0) 和 (1,+) , f (x) 的单减区间有 (−,−1) 和 (0,1) ． 例 3 已知 f x = x + ax + bx 3 2 ( ) 在 x＝１处有极值－12,试确定常系数 a 与 b． 解 因为 f x = x + ax + bx 3 2 ( ) ,所以 f (x) = 3x + 2ax + b 2 ， 因为 f (1) = −12 为极值点,所以 f (1) = 0 ,即 3+ 2a +b = 0， ① 由 f (1) = −12 ,得 1+ a +b = −12， ② 解由①与②组成的方程组，得 a = 10,b = −23 ． 例 4 由曲线 2 y = x , x 轴和直线 x =16 围成一曲边三角形 OAB ，在曲边 OB 上求一点,使过此点的切线与 x 轴和直线 x =16 围成的三角形 MAN 面积最大,并求出其最大面积． 解 曲线 2 y = x 上点 (x, y) 处的切线斜率 y = 2x ，设 (X,Y) 为曲线 2 y = x 上点 (x, y) 处的切线上任一点之坐标，于是曲线 2 y = x 上点 (x, y) 处的切线方 程为 Y − y = 2x(X − x) ， 即 2 ( ) 2 Y − x = x X − x ． ① O x y M A B N
将X=16代入①式，得切线与直线AB的交点N的纵坐标为 Y=216-x)+x2=32x-x2, 将Y=0代入①式，得切线与x轴的交点M的横坐标为 于是，△4W的面积为 5-M,w-06-8-f --16r2+236r (016超出了范围，故舍去.因为在(016)内Sx)有惟一的驻点x,= 32 3 且S号=-16<0，即当写-号时，S)取得极大值，所以，名=号 2 是最大值 点.其最大面积 s3--13+26号-3。 因此，所求切点的坐标为 四、练习题 1.判断正误 ()若xa是可导函数f(x)的一个极值点，则必有f(x。)=0 (√) 解析函数的极值点为驻点成尖点，若是可导函数的极值点。则必为驻点。即必有 f"(x)=0. 由若函数f(x)在开区间(，b)内是单调的，则由线y=八x)必是上四的或必是下凹 的 (×) 解析函数在某区间单调不是函数由线上凹或下凹的必要条件。如函数八x)=x’,在
4 将 X =16 代入①式,得切线与直线 AB 的交点 N 的纵坐标为 2 2 Y = 2x(16 − x) + x = 32x − x ， 将 Y = 0 代入①式,得切线与 x 轴的交点 M 的横坐标为 2 2 2 x x x X = x − = ， 于是, MAN 的面积为 )(32 ) 2 (16 2 1 2 1 ( ) 2 x x x S x = MA AN = − − 16 256 (0 16) 4 1 3 2 = x − x + x x ， 所以 32 256 4 3 ( ) 2 S x = x − x + ， 32 2 3 S(x) = x − ， 令 S(x) = 0 ，解得 3 32 x1 = , 32 3 96 x2 = = ． 由于 x2 = 32 16 超出了范围，故舍去．因为在 (0,16) 内 S(x) 有惟一的驻点 x1 32 3 = , 且 ) 16 0 3 32 S( = − ，即当 3 32 x1 = 时， S(x) 取得极大值，所以， x1 32 3 = 是最大值 点．其最大面积 3 2 3 ) 3 32 ( 3 32 ) 256 3 32 ) 16( 3 32 ( 4 1 ) 3 32 S( = − + = ， 因此，所求切点的坐标为 3 ) 3 32 ,( 3 32 ． 四、练习题 1.判断正误 ⑴ 若 0 x 是可导函数 f (x) 的一个极值点,则必有 f (x0 ) = 0 ； ( √ ) 解析 函数的极值点为驻点或尖点，若是可导函数的极值点，则必为驻点，即必有 f (x0 ) = 0 ． ⑵ 若函数 f (x) 在开区间 (a,b) 内是单调的,则曲线 y = f (x) 必是上凹的或必是下凹 的； ( × ) 解析 函数在某区间单调不是函数曲线上凹或下凹的必要条件．如函数 3 f (x) = x ，在
开区何（②，0）上是单调增加的，但在（历.0）内是下凹的，在(0，+0)内是上四的。 围若(x,)=0,则(x(》必为曲线y=fx)的拐点： (×) 解析由定义，曲线的拐点是曲线上四与下回的分界点.如函数f气x)■x,则 f"(x)=4x',f(x)=12x2, 显然 f"(x)=12x220. 所以由线是上凹的，无据点：但(0)=0，此时(0,0)点就不是曲线的据点。因此二 阶导数为零的点不一定是由线的拐点， ()若f（x)在0，+o)上连续，且在(0.+o)内f气x)<0,则f(0)为f(x)在[0+∞)上 的最大值： () 解析f(x)在(0.+∞)内f"(x)<0,可知f(x)在(0，+)上单调诚少，又因为f(x)在 [0,+)上连铁。所以f八x)在x=0处取得最大值，即f(0)为f气x)在0+)上的最大值. 2意择题 ()f(x)=x-s中x在闭区间0，小上的最大值为(C A00: 01: c)1-sm1: (D) 解因为f"(x=1-cosx20,fx)在[0，上单调增血，所以函数在闭区回[0，上 的最大值为 厂=f0)=1-sm1. (的气x)=0是y=f(x)的图形在x。处有拐点的(D) 》充分条件！ ()必要条件：C充分必要条件：《D)以上说法都不对， 解析由定义，锡点为由线上四和下四的分界点，所以拐点两侧(x)必然异号，拐点 的横坐标x。应是了(x)=0或"气x。)不存在的点，所以()=0不是函数y=八x)的 图形在x。处有锡点的必要条件.另一方面，了“(x。)=0也不是函数y=(x)的图形在工。处 有拐点的充分条件，如函数(x)=x,则"(x)=12x2≥0，显然函数在(-画，+0)上凹， 无拐点，但(O)=0,所以f(x)=0不是y=八x)的图形在x。有拐点的充分条件
5 开区间 (− ,+) 上是单调增加的，但在 (−,0) 内是下凹的，在 (0,+ ) 内是上凹的． ⑶ 若 f (x0 ) = 0 ，则 ( , ( )) 0 0 x f x 必为曲线 y = f (x) 的拐点； ( × ) 解析 由定义，曲线的拐点是曲线上凹与下凹的分界点．如函数 4 f (x) = x ，则 3 f (x) = 4x ， 2 f (x) =12x ， 显然 ( ) 12 0 2 f x = x ， 所以曲线是上凹的，无拐点；但 f (0) = 0 ，此时 (0 , 0) 点就不是曲线的拐点．因此二 阶导数为零的点不一定是曲线的拐点． ⑷ 若 f (x) 在 [0, ) + 上连续,且在 (0, ) + 内 f (x) 0 ,则 f (0) 为 f (x) 在 [0, ) + 上 的最大值； ( √ ) 解析 f (x) 在 (0,+) 内 f (x) 0 ，可知 f (x) 在 (0, ) + 上单调减少，又因为 f (x) 在 [0, ) + 上连续，所以 f (x) 在 x = 0 处取得最大值，即 f (0) 为 f (x) 在 [0, ) + 上的最大值． 2. 选择题 ⑴ f (x) = x − sin x 在闭区间 [0,1] 上的最大值为（ C ）． (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 1− sin 1 ; （Ｄ） 2 π . 解 因为 f (x) = 1− cos x 0 ， f (x) 在 0,1 上单调增加，所以函数在闭区间 0,1 上 的最大值为 fmax = f (1) =1− sin 1． ⑵ f (x0 ) = 0 是 y = f (x) 的图形在 0 x 处有拐点的（ D ）． (A) 充分条件； (B)必要条件； (C) 充分必要条件； （Ｄ）以上说法都不对． 解析 由定义，拐点为曲线上凹和下凹的分界点，所以拐点两侧 f (x) 必然异号，拐点 的横坐标 0 x 应是 f (x0 ) = 0 或 ( ) 0 f x 不存在的点，所以 f (x0 ) = 0 不是函数 y = f (x) 的 图形在 0 x 处有拐点的必要条件．另一方面， f (x0 ) = 0 也不是函数 y = f (x) 的图形在 0 x 处 有拐点的充分条件，如函数 4 f (x) = x ，则 ( ) 12 0 2 f x = x ，显然函数在 (− ,+) 上凹， 无拐点，但 f (0) = 0 ，所以 f (x0 ) = 0 不是 y = f (x) 的图形在 0 x 有拐点的充分条件．
围曲线y= 2+l(B) X-1 A》有水平新近线无垂直新近线： (B)无水平渐近线有垂直渐近线： (C)慨无水平渐近线又无垂直渐近线： (D)医有水平渐近线又有垂直渐近线， 解由于m x2+1 ■o,所以曲线有垂直渐近线为x=1:又由m x+1 ■0，所 x-1 以曲线无水平渐近线。 ()f(x)=x- 弓x的极值点的个数是〔c) (A)0个： (B)1个： (C)2个： (D)3个. 当x=0时了(x)无定文。所以x=0为函数（x)的尖点， 令f代)1“家 0,得x=1为函数f(x)的驻点， -0,0j 0 0,】 0,+ f(x) 不存在 0 极大值 极小值 所以函数fx)=x- 有2个极值点 3填空圈 ()函数f(x)的可能极值点有驻点_和尖点 ②/儿国=血x在0，上满足罗尔中值定理的条件，当牙时.了)=0. 解由愿意fx)=smx在0，上连续，在(0，)上可导，且fO)=f(x)=0 由罗尔中值定理。在0，π)上至少有一点5，使得()=0。 ◆f-0sx-0,有x=2±号 (为整数)， 因5在0，上，所以取5= 5
6 ⑶ 曲线 y x x = + − 2 1 1 ( B )． (A) 有水平渐近线无垂直渐近线； （B）无水平渐近线有垂直渐近线； (C) 既无水平渐近线又无垂直渐近线； （D）既有水平渐近线又有垂直渐近线． 解 由于 = − + → 1 1 lim 2 1 x x x ，所以曲线有垂直渐近线为 x =1 ；又由 = − + → 1 1 lim 2 x x x ，所 以曲线无水平渐近线． ⑷ 3 2 2 3 f (x) = x − x 的极值点的个数是 ( C )． （A） 0 个； （B） 1 个； （C） 2 个； （D） 3 个． 解 = − 3 2 2 3 f (x) x x 3 1 1 − = − x 3 1 1 x = − ， 当 x = 0 时 f (x) 无定义，所以 x = 0 为函数 f (x) 的尖点， 令 0 1 ( ) 1 3 = − = x f x ，得 x =1 为函数 f (x) 的驻点， x (−,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ) f (x) ＋ 不存在 － 0 ＋ f (x) 极大值 极小值 所以函数 3 2 2 3 f (x) = x − x 有 2 个极值点． 3. 填空题 ⑴ 函数 f (x) 的可能极值点有 驻点 和 尖点 ． ⑵ f (x) = sin x 在 0, π 上满足罗尔中值定理的条件, 当 = 2 π 时, f ( ) = 0 ． 解 由题意 f (x) = sin x 在 0, π 上连续，在 (0,π) 上可导，且 f (0) = f (π) = 0 由罗尔中值定理，在 (0,π) 上至少有一点 ，使得 f ( ) = 0 ． 令 f (x) = cos x = 0 ，有 2 π x = 2kπ (k为整数)， 因 在 (0,π) 上，所以取 2 π = ．
线函数八x)= x3+x+1 2x-2x+5 的水平渐近线为y=互 11 x3+x+1 1++51 解im lim-x x3 m2x3-2x+5“2- 2.52 所以函数)的水平渐近线为y2 9 ④曲线y=3x'+二x的拐点为(0,0) 2 9 解广-9x+乞广=18x 令y°=0，解得x=0 当x0时y>0,所以x=0为曲线拐点的横坐标，即曲战 9 y=3+乞x的拐点为0.0 4.解答题 ()过平面上的点P1,1)引一直线，使它在两坐标轴上的餐距都为正数且乘积最小，求 此直线方程 解设直线在两坐标轴上的餐距分别为a.b(a.b>0) 则直线方程为 +=1, a b 1.1 又知直线过点P(1,),则 -+2=1, a h 可得 a-1 由题意，直线在两坐标轴上的截距乘积最小，设了■b,求最小植， 号r.2a0-g.9g-2 f=ab-a a-时a-明 令f'=0,解得a=0(不符合题意，舍去)，a=2(惟一). 当02时，>0，f单调增加，所以f 在口=2处取得极小值，因驻点惟一，此极小值也为函数厂的最小值。所以口=2， 》
7 ⑶ 函数 2 2 5 1 ( ) 3 3 − + + + = x x x x f x 的水平渐近线为 2 1 y = ． 解 2 1 2 5 2 1 1 1 lim 2 2 5 1 lim 2 3 2 3 3 3 = − + + + = − + + + → → x x x x x x x x x x ， 所以函数 f (x) 的水平渐近线为 2 1 y = ． ⑷ 曲线 y x x 2 9 3 3 = + 的拐点为 (0,0) ． 解 2 9 9 2 y = x + ， y = 18x ， 令 y = 0 ，解得 x = 0， 当 x 0 时 y 0 ，当 x 0 时 y 0 ，所以 x = 0 为曲线拐点的横坐标，即曲线 y x x 2 9 3 3 = + 的拐点为 (0,0)． 4. 解答题 ⑴ 过平面上的点 P(1,1) 引一直线,使它在两坐标轴上的截距都为正数且乘积最小,求 此直线方程． 解 设直线在两坐标轴上的截距分别为 a,b (a,b 0) 则直线方程为 + = 1 b y a x ， 又知直线过点 P(1,1) ，则 1 1 1 + = a b ， 可得 −1 = a a b ． 由题意，直线在两坐标轴上的截距乘积最小，设 f = ab ，求最小值． 1 2 − = = a a f ab ， ( ) 2 2 1 2 ( 1) − − − = a a a a f ( ) 2 1 ( 2) − − = a a a ， 令 f = 0 ，解得 a = 0 （不符合题意，舍去）， a = 2 （惟一）． 当 0 a 2 时， f 0 ， f 单调减少，当 a 2 时， f 0 ， f 单调增加，所以 f 在 a = 2 处取得极小值，因驻点惟一，此极小值也为函数 f 的最小值，所以 a = 2
b=4=2,所求直线方程为 +=1 g-1 22 即 x+y=2. 伪求曲线y=任-业 的渐近线， (x+) 解 (x- 如x+ =0,所以由线有垂直新近线x=-1, ,x- m 所以曲线有水平渐近线y=1 u+ 国设a,4,a,a,为常数，f)-左x-a,广，间x取何值时，)取极小值 解f)=22x-a,)=2m-224,r)=2n 令了"气x)=0,得驻点 而 f"(x)=2别>0， 所以函数在x点处取极小值，即x=。=之a时，)=：-a)广取极小恤 ()求函数y=(x-x+1)子的单调区间. 解y=(x+)'+(x-1)3x+1)2=2(x+)(2x-), 令y'=0,得驻点 高=-1和“7 (-0,-0 5+) 所似，函数y=(红-x+广在(~，宁上单调减少，在（宁+）上单调加
8 2 1 = − = a a b ，所求直线方程为 1 2 2 + = x y ， 即 x + y = 2． ⑵ 求曲线 ( ) 3 3 ( 1) 1 + − = x x y 的渐近线． 解 ( ) = + − →− 3 3 1 ( 1) 1 lim x x x ，所以曲线有垂直渐近线 x = −1， ( ) 1 ) 1 (1 1 1 lim ( 1) 1 lim 3 3 3 3 = + − = + − → → x x x x x x ，所以曲线有水平渐近线 y = 1． ⑶ 设 a a a an , , , , 1 2 3 为常数， f x (x ai) i n ( ) = − = 2 1 ，问 x 取何值时， f (x) 取极小值？ 解 ( ) = = = − = − n i i n i f x x ai nx a 1 1 ( ) 2 2 2 ， f (x) = 2n， 令 f (x) = 0 ，得驻点 = = n i ai n x 1 0 1 ， 而 f (x0 ) = 2n 0， 所以函数在 0 x 点处取极小值，即 = = = n i ai n x x 1 0 1 时， f x (x ai) i n ( ) = − = 2 1 取极小值． ⑷ 求函数 3 y = (x −1)(x +1) 的单调区间． 解 ( 1) ( 1)3( 1) 2( 1) (2 1) 3 2 2 y = x + + x − x + = x + x − ， 令 y = 0 ，得驻点 x1 = −1 和 2 1 x2 = ， x (−,−1) ) 2 1 (−1, , ) 2 1 ( + y － － ＋ y 所以，函数 3 y = (x −1)(x +1) 在 ) 2 1 (−, 上单调减少，在 , ) 2 1 ( + 上单调增加．
自正明：当0 6 证一令f八x)=snx-x+ 则 6 f闭-1+号，-mx4 f"()=-cosx+1=1-c0sx>0 00-0, 所以代)在D,孕上连楼且单调蜡加，则了>0)=0。 所以)在0，孕上造续且单调增血.则/)>0)=0， 即 f（x)=snx-x+ >0. 6 也即 、 知nr>r 00=0， 2 6 即 f（x)=snx-x+ >0 6 也即 sinx>x 6 0<<孕. 们品b为何值时，点(1，一2)为曲线y=x’+bx2的拐点？
9 ⑸ 证明：当 2 π 0 x 时, sin x x x − 3 6 ； 证一 令 6 ( ) sin 3 x f x = x − x + ，则 2 ( ) cos 1 2 x f x = x − + ， f (x) = −sin x + x ， f (x) = −cos x +1 = 1− cos x 0 ) 2 π (0 x ， 所以 f (x) 在 ] 2 π [0, 上连续且单调增加，则 f (x) f (0) = 0 ， 所以 f (x) 在 ] 2 π [0, 上连续且单调增加，则 f (x) f (0) = 0 ， 所以 f (x) 在 ] 2 π [0, 上连续且单调增加，则 f (x) f (0) = 0 ， 即 0 6 ( ) sin 3 = − + x f x x x ， 也即 sin x x x − 3 6 ) 2 π (0 x ． 证二 令 6 ( ) sin 3 x f x = x − x + ， 则 ( ) 2 2sin 2 1 cos 2 2 ( ) cos 1 2 2 2 2 x x x x x f x = x − + = − − = − ， 当 2 π 0 x 时，有 2 2 sin x x ) 0 2 2( 2 2 2sin 2 ( ) 2 2 2 2 = − − = x x x x f x ， 所以当 2 π 0 x 时，函数 6 ( ) sin 3 x f x = x − x + 单调增加，有 f (x) f (0) = 0 ， 即 0 6 ( ) sin 3 = − + x f x x x ， 也即 sin x x x − 3 6 ) 2 π (0 x ． ⑹ a, b 为何值时,点(1,－2) 为曲线 3 2 y = ax + bx 的拐点？
解y-3r2+2hm,y-6m+2b, b 令y”=0,解得 =- 3a -2=a12+b-12, 由题意 解得a=1, 1b=-3 所以，当a=1,b=-3时，点(L,-2)为曲线y=四3+br2的拐点. )描绘橘数y=e的图形. 解①定义域为(，+∞)，值城为(0， ②不具备周期性。是偶函数，图形关于y轴对称。 @y'=e(-2x),令y'=0,解得驻点x=0, y=2e22-.◆r=0.解得x=±5 2 0 0 扬点 极大值 ④ne=lim 1 =0,所以曲线有水平渐近线y=0 综上，画函数草图如下： 周根据两数小的像，回等下列问笔： 了代在哪里改变符号？-号 0 f 10
10 解 y 3ax 2bx 2 = + ， y = 6ax + 2b ， 令 y = 0 ，解得 a b x 3 = − ， 由题意 = − − = + , 3 1 2 1 1 , 3 2 a b a b 解得 = − = 3 , 1 , b a 所以，当 a =1，b = −3 时，点 (1,−2) 为曲线 3 2 y = ax + bx 的拐点． ⑺ 描绘函数 2 e x y − = 的图形． 解 ①定义域为 (−,+ ) ，值域为 (0 ,1． ②不具备周期性，是偶函数，图形关于 y 轴对称． ③ e ( 2 ) 2 y x x = − − ，令 y = 0 ，解得驻点 x = 0， 2e (2 1) 2 2 = − − y x x ，令 y = 0 ，解得 2 2 x = ， x 0 ) 2 2 (0, 2 2 , ) 2 2 ( + y 0 － － － y － － 0 ＋ y 极大值 1 拐点 ,e ) 2 2 ( 2 1 − ④ 0 e 1 lim e lim 2 2 = = → − → x x x x ，所以曲线有水平渐近线 y = 0． 综上，画函数草图如下： ⑻ 根据函数 f (x) 的图像，回答下列问题； (a) f (x) 在哪里改变符号？ 4 a O x x b 1 x 2 x 3 x 5 x f (x) 1 O x y 2 1 e − 2 2 − 2 2