力学 杨维纮 中国科学莪术大学 近代粉理系
杨维纮
第五拿动量理 第五章角动量定理 国 种个物理量—角动量。这一概念在物理学上经 在描述转动的问题时,我们需要引进另 学 技历了一段有趣的演变过程。18世纪在力学中才 术 定义和开始利用它,直到19世纪人们才把它看 大成力学中的最基本的概念之一,到20世纪它加 学圆入了动量和能量的行列,成为力学中最重要的 杨概念之一。角动量之所以能有这样的地位,是 由于它也服从守恒定律,在近代物理学中其运 维 盆用是极为广泛的
第五章 角动量定理 在描述转动的问题时，我们需要引进另一 个物理量——角动量。这一概念在物理学上经 历了一段有趣的演变过程。18世纪在力学中才 定义和开始利用它，直到 19世纪人们才把它看 成力学中的最基本的概念之一，到 20世纪它加 入了动量和能量的行列，成为力学中最重要的 概念之一。角动量之所以能有这样的地位，是 由于它也服从守恒定律，在近代物理学中其运 用是极为广泛的。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 第五章角动量定理 中国科学技术大学杨维 §5.1孤立体系的角动量守恒 §5.2质点系角动量定理 §5.3质心系的角动量定理 §5.4万有引力 §5.5关于万有引力的讨论 §5.6质点在有心力场中的运动
第五章 角动量定理 §5.1 孤立体系的角动量守恒 §5.2 质点系角动量定理 §5.3 质心系的角动量定理 §5.4 万有引力 §5.5 关于万有引力的讨论 §5.6 质点在有心力场中的运动 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 85.1孤立体系的角动量守恒 国 科 第三章我们介绍了与平动相联系的守恒量—动量, 学關对于转动我们希望能找到这样一个物理量角动量, 技 它具备以下的条件: 术 21.若质点关于空间某一点作平动,它取值为零,它取非 大 零值表示质点关于该空间点作转动 学國2.对于孤立体系,它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。 杨 维
§5.1 孤立体系的角动量守恒 第三章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量， 对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量， 它具备以下的条件： 1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非 零值表示质点关于该空间点作转动； 2. 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 85.1孤立体系的角动量守恒 中国科学技术大学杨维 5.11单质点孤立体系和掠面速度 51.2两个质点的孤立体系和角动量
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 中 §5.1 孤立体系的角动量守恒 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中511单质点孤立体系和掠面速度 国 单质点的孤立体系就是不 科)受外力作用的自由质点,它作 学關匀速直线运动(我们取惯性参4 技 考系,且静止看成是匀速直线 运动的特例)。 术 4-- H B 如图5.1,设该质点位于P 大点,沿直线AB从A向B方向 图5.1单质点孤立体系 学额运动,在相等的时间间隔∠ 的位移是As=∠t 杨 我们在AB上取一个参考点Q,随着P点的运动, 维□由于OP的方向不发生改变,故尸点相对于Q点没有转 OP的方向(即r的方向)在不断改变,故P点相对于 O点有转动。我们现在来寻找守恒量
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 单质点的孤立体系就是不 受外力作用的自由质点，它作 匀速直线运动（我们取惯性参 考系，且静止看成是匀速直线 运动的特例）。 如图5.1，设该质点位于P 点，沿直线 AB 从 A 向 B 方向 运动，在相等的时间间隔 ⊿t 的位移是 ⊿s = v⊿t。 我们在 AB 上取一个参考点 Q，随着 P 点的运动， 由于 QP 的方向不发生改变，故 P 点相对于 Q 点没有转 动。但如果参考点取不在 AB 上的点，譬如 O 点，由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。我们现在来寻找守恒量。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中5.11单质点孤立体系和掠面速度 国 由图可见,各时间间隔∠t 科)庸内矢径r扫过的那些小三角形具 学圖有公共的高线OH,因而有相等 的面积,于是我们找到的守恒量 技术大 是:矢径r在单位时间内扫过的 面积S,我们称该面积S为质点A P的掠面速度。设矢径r与AB 线的夹角为0,故对单质点的孤 图5.1单质点孤立体系 学立体系有 S=r-sinb=nsn=常量 2△t2 杨维 该式也可以换一种表达法,即掠面速度对时间的微 商为零 0 dt
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具 有公共的高线 OH，因而有相等 的面积，于是我们找到的守恒量 是：矢径 r 在单位时间内扫过的 面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤 立体系有： = = 常量 = sin 2 1 sin 2 1 rv t s S r 该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微 商为零： = 0 dt dS 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中5.11单质点孤立体系和掠面速度 国当然,上面所考虑的只是 科)平面运动的情况,对于单个的 学自由质点,它只可能在某个平4 技∥面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点,仅考虑某一个 术 4-- H B 平面就不行了,我们可以利用 大矢量运算法则,将掠面速度定 图5.1单质点孤立体系 学题义为与该平面垂直的矢量。即: S r×V 杨 维 这样,对于单质点的孤立体系,我们找到的守恒量 结某掠面速度矢量S。当然,它与参考点的选择有关,若 参考点选在直线AB上,则掠面速度为零
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 当然，上面所考虑的只是 平面运动的情况，对于单个的 自由质点，它只可能在某个平 面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点，仅考虑某一个 平面就不行了，我们可以利用 矢量运算法则，将掠面速度定 义为与该平面垂直的矢量。即： S = r v 2 1 这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量 是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若 参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中 512两个质点的孤立体系和角动量 国 对于两个质点的孤立体系, 科)它们虽然不受外力作用,但两个 学關质点之间是有作用力的。我们现 技在来寻找守恒量,首先我们能想 术息到的是它们每个质点掠面速度的 28和。为此,在空间建立惯性参考 大系,如图52,两个质点的质量分 学题别为m,m2,其位矢和速度分别 为r1r2和v1,v2。设其掠面速度图5.2两个质点的孤立体系 杨分别为SS,有 维 s,=r2Xv2 纮 2
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 对于两个质点的孤立体系， 它们虽然不受外力作用，但两个 质点之间是有作用力的。我们现 在来寻找守恒量，首先我们能想 到的是它们每个质点掠面速度的 和。为此，在空间建立惯性参考 系，如图5.2，两个质点的质量分 别为 m1 , m2，其位矢和速度分别 为 r1 , r2 和 v1 , v2 。设其掠面速度 分别为 S1 , S2 ，有： 1 1 1 2 1 S = r v 2 2 2 2 1 S = r v 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中 512两个质点的孤立体系和角动量 国而掠面速度对时间的微商为 科)_1dr v.+-r 学 dt 2 dt i2 C 技 v xV, +ri dt 2 =r: 术 2其中=1,2。为了对上式中的 大求和,我们列出质点运动的牛顿 学方程: 图5.2两个质点的孤立体系 em1=f12=fm2,2=f21=-f 杨 dt dt 维 一r; r1×f 2=-r,× r2×f dt2 dt 2m dt 2 2n 圆田m,m2可以为任意值,故+22≠0 dt dt
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 而掠面速度对时间的微商为： dt d dt d dt d i i i i i v v r S r = + 2 1 2 1 dt d i i i i v = v v + r 2 1 2 1 dt d i i v = r 2 1 其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿 方程： f f v = 12 = dt d m 1 1 f f v = 21 = − 2 2 dt d m r f v r S = = 1 1 1 1 1 2 1 2 1 dt m d dt d r f v r S = = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 dt m d dt d 0 1 2 + dt d dt 因 m dS S 1 , m2 可以为任意值，故 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮