4.11镜像法 镜像法 当流体外部流场中存在奇点(如点源、点涡 等)时,常用镜像法求得满足边界条件的复 位势,其作法是在物体内部适当位置也布置 奇点,称为外部奇点的镜像,使得由奇点及 其镜像产生的复速度势满足物体边界总是 条流线 如欲求圆柱外一位于二0点,强度为r的点涡的复位势,可在圆柱内2点 添加一强度为-r的点涡,在原点添加一强度为r的点涡,三个奇点在圆柱 外共同产生的复位势即所求的复位势,且保证圆柱面本身是一条流线 请注意圆内aZ∠点即对于圆外一点二0的所谓镜像点,它们的模的乘积等于 圆半径的平方,|=0=a2:它们的圆心处于同一条直线上,即0和 有相同的幅角
4.11 镜像法 如欲求圆柱外一位于 点，强度为 的点涡的复位势，可在圆柱内 点 添加一强度为 的点涡，在原点添加一强度为 的点涡，三个奇点在圆柱 外共同产生的复位势即所求的复位势，且保证圆柱面本身是一条流线。 0 z 2 0 a z − 0 z 2 0 2 0 a z a z = 0 z 0 2 z a 镜像法 当流体外部流场中存在奇点（如点源、点涡 等）时，常用镜像法求得满足边界条件的复 位势，其作法是在物体内部适当位置也布置 奇点，称为外部奇点的镜像，使得由奇点及 其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一 条流线 请注意圆内 点即对于圆外一点 的所谓镜像点，它们的模的乘积等于 圆半径的平方， ； 它们的圆心处于同一条直线上，即 和 有相同的幅角。 2 0 a z 2 0 a z • • • 0 z − a
A1镜像法 以实轴为边界 假设奇点全在y>0 的上半平面内,当无物体边界时,其复速度势 为f(),当实轴为边界时,这些奇点在上半平面产生的复位势为 F()=f()+f( 式中f(=)表示除z外其余复常数均取 其共轭值。 如图求实轴上点涡r的复位势, 点涡复位势 (=)=T 2丌 i )-2兀 2 i i 2-20 In(2-3)+=In( 2丌 2丌
假设奇点全在 的上半平面内，当无物体边界时，其复速度势 为 ， 当实轴为边界时，这些奇点在上半平面产生的复位势为 y 0 f (z) F(z) = f (z)+ f (z) 4.11 镜像法 以实轴为边界 式中 表示除 外其余复常数均取 其共轭值。 如图求实轴上点涡 的复位势， 点涡复位势 f (z) ( ) ln ( 0 ) 2 i f z z z = − − ( ) ln ( 0 ) 2 i f z z z = − z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ln ln ln 2 2 2 z z i i i F z z z z z z z − − = − + − = − • • 0 z 0 z −
A1镜像法 这表明以实轴为边界时,一个点涡 的复位势等于它本身的复位势与其 以实轴为镜面的镜像点三。处一个 反方向旋转的点涡的复位势的迭加。 事实上在实轴上,z=2,(2)=f()y(2)即()的复共轭 函数,表示对f()中所有复数取共轭),F()=()+7()=实数, 即实轴是一条v=0的流线,并且在y>0的区域内并未增加新 的奇点,即在上半平面内F()的奇点和f(=)的奇点完全一样,是除 原奇点外的解析函数
事实上在实轴上， ， （ 即 的复共轭 函数，表示对 中所有复数取共轭)， 实数， 即实轴是一条 的流线，并且在 的区域内并未增加新 的奇点，即在上半平面内 的奇点和 的奇点完全一样，是除 原奇点外的解析函数。 o z z z = f z f z ( ) = ( ) f z( ) f (z) f (z) F(z) = f (z) + f (z) = = 0 y 0 F(z) f (z) 4.11 镜像法 这表明以实轴为边界时，一个点涡 的复位势等于它本身的复位势与其 以实轴为镜面的镜像点 处一个 反方向旋转的点涡的复位势的迭加。 • • 0 z 0 z −
A1镜像法 以虚轴为边界 设奇点全在x>0的平面内,当无物体边界时,其复位势为f(),当虚 轴为边界时,这些奇点在右半平面内产生的复位势为 F()=f(=)+f(-z) 事实上在虚轴上-=2,f(-)=f(F(=)=f(x)+f(2)=实数,即 虚轴是v=0的流线,并且在x>0的区域内并不增加新的奇点
事实上在虚轴上 ， ， 实数，即 虚轴是 的流线，并且在 的区域内并不增加新的奇点。 设奇点全在 的平面内，当无物体边界时，其复位势为 ，当虚 轴为边界时，这些奇点在右半平面内产生的复位势为 x 0 f (z) F(z) = f (z)+ f (− z) 4.11 镜像法 以虚轴为边界 − =z z f z f z (− =) ( ) F z f z f z ( ) ( ) ( ) = + = = 0 x 0
以点涡为例,由上式 F()=2m(=-=)+2m(=-) In(2-2+-In(z+zo+ 2丌 2丌 2丌z+z0 复位势可以增加或减少一个常数,而不影响流体运动,c可以略去。上式 表明当以虚轴为边界时,一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以 虚轴为镜面的镜像点-ˉ处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加
复位势可以增加或减少一个常数，而不影响流体运动，c可以略去。上式 表明当以虚轴为边界时，一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以 虚轴为镜面的镜像点 处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。 • 0 −z − • 0 z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ln ln 2 2 ln ln 2 2 ln 2 i i F z z z z z i i z z z z c i z z c z z = − − + − − = − − + + + − = − + + o −z 以点涡为例，由上式
A1镜像法 圆定理 设在无界流体中的复位势为f(),其所有奇点都在圆|=a外,当在流场 中有一个圆心在原点,半径为a的圆柱时,满足圆柱面是条流线的复位势为 F(=)=f(-)+f 在圆上2===a2,a=,f()=f(,所以F()=f()+()=实数, 即圆周是一条流线。另一方面,奇点位置|=>a,全在圆外,其镜像点位 置<a,全在圆内,圆外未增加奇点
在圆上 所以 实数， 即圆周是一条流线。 另一方面，奇点位置 ，全在圆外，其镜像点位 置 ，全在圆内，圆外未增加奇点。 设在无界流体中的复位势为 ，其所有奇点都在圆 外，当在流场 中有一个圆心在原点，半径为 的圆柱时，满足圆柱面是条流线的复位势为 f (z) z = a a 2 ( ) ( ) ( ) a F z f z f z = + 2 2 2 2 , , ( ) ( ), a a z z z a z f f z z z = = = = F(z) = f (z) + f (z) = z0 a a z a 0 2 4.11 镜像法 圆定理
圆柱的无环量绕流 平行流的复位势f()=U 圆柱无环量绕流的复速度势 F()=U=+ 这正是47节所求得到的结果
f z U z ( ) = z a U z a f 2 2 = ( ) = + z a F z U z 2 圆柱的无环量绕流 平行流的复位势 圆柱无环量绕流的复速度势 这正是4.7节所求得到的结果
A1!镜像 例1:设在=20点有一强度为的点涡,|=0|>a,f()=m(-),求存在 半径为a的圆周|=a时的复位势 解:F(=)=f(=)+ 2丌 2丌 In z+In F()=-2兀 2-二 lr Inz+c 2丌 上式中常数可以删去。这正 是我们在介绍镜像法时举例 提到的圆外点涡流场的结果
例1：设在 点有一强度为 的点涡， ， ，求存在 半径为 的圆周 时的复位势 0 z = z z0 a ( ) ln ( 0 ) 2 f z z z i = − a z = a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 ln ln 2 2 ln ln ln ln ln ln 2 ln ln 2 2 a i i a F z f z f z z z z z a z a a z z z z z z z z z i F z z z i a i z z c z − = + = − + − − = − − = − − + − = − − + − − + 上式中常数可以删去。这正 是我们在介绍镜像法时举例 提到的圆外点涡流场的结果。 4.11 镜像法 解： 2 0 a z • • • 0 z − a
4.12保角变换 保角变换 B=6+ 复变函数2=八(-)把z=x+ly平面上的区域映射到=5+in平面的 某区域上去。如果函数()在三平面处解析且()0则么 的值与增量c的方向无关,而只是点的函数.设吗=M dz 或dl=Aede,则上式中A,a只应是点的函数
4.12 保角变换 复变函数 把 平面上的区域映射到 平面的 某区域上去。如果函数 在 平面处处解析且 ，则 的值与增量 的方向无关，而只是点的函数. 设 , 或 ，则上式中 ， 只应是点的函数。 z = x + iy = + i f (z) z f '(z) 0 dz d i Ae dz d = i d Ae dz = A = f (z) dz 保角变换 dz d = + p p c c x y z = f (z)
12保角变换 6 d5人B=0+a 由上式可以看出在二平面上一点处具有长度为的线元d,经 过=/()变换以后,在5平面的相应线元d的长度伸长了A倍, ds 变为d1=4h,而且曲线的方位旋转了角。由于只是z的 函数,过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角 度,且旋转方向相同,于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角 在变换后保持不变,这种映射称为保角映射
4.12 保角变换 由上式可以看出在 平面上一点处具有长度为 的线元 ，经 过 变换以后，在 平面的相应线元 的长度伸长了 倍， 变为 ，而且曲线的方位旋转了 角。由于 只是 的 函数，过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角 度，且旋转方向相同，于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角 在变换后保持不变，这种映射称为保角映射。 z dz dz = f (z) d A d = Adz dz d z dz d = + p p c c x y z