《高等流体力学》第十一章例题

1.拉格朗日变数(ab,c)给出的流体运动规律为x=ae2,y=b(1+t) - ce l)求以欧拉变数描述的速度场 2)问流动是否定常 3)求加速度。 解:1)设速度场的三个分量是,l2, x e t =2b(1+) 2b(1+t) 1+t =2ce2(+1)2-(1+1)3] 2ce(1+t) at 1+t 消去以上表达式中的拉格朗日变数, n2y w1+ 2zt u=-2x v 1+t

1. 拉格朗日变数 (a, b, c) 给出的流体运动规律为 2 2 , (1 ) , t x ae y b t − = = + 2 2 (1 ) t z ce t − = + 1) 求以欧拉变数描述的速度场； 2) 问流动是否定常； 3) 求加速度。 解: 1) 设速度场的三个分量是, u v w , , 2 2 x t u ae t  − = = −  2 2 (1 ) 2 (1 ) 1 y b t v b t t t  + = = + =  + 2 2 2 2 3 2 (1 ) 2 [(1 ) (1 ) ] 1 t z ce t t t w ce t t t t −  + − − = = + − + =  + 2 2 2 , , 1 1 y zt u x v w t t = − = = + + 消去以上表达式中的拉格朗日变数

2y X. y 1+t 1+t 2)欧拉表达式中包括变量t,是不定常流动。 3)在欧拉参考系中求加速度 au u 2x(-2)=4x 2y+ Oy(1+1)21+t1+t(1+1) Ow Ow 2z 2zt 2zt 2t 2=(1+2t) ato1+t(1+1)21+t1+t(1+1)

2) 欧拉表达式中包括变量t , 是不定常流动。 3）在欧拉参考系中求加速度 2 ( 2) 4 x u a u x x x  = = − − =  2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 (1 ) y v v y y y a v t y t t t t   − = + = + =   + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) 1 (1 ) 1 1 (1 ) z w w z zt zt t z t a w t z t t t t t   + = + = − + =   + + + + + 2 2 2 , , 1 1 y zt u x v w t t = − = = + +

在拉格朗日参考系中求加速度, (-2ae)=4ae=4x t at [2b(1+)=2b=2y 4cet 2ce 6ce-t 2ce a-t at (1+1)」(1+1)3(1+1)3(1+ 2ce[2(1+)+(1+t)-3]2ce"(2t2+1)2z(2t2+1) (1+1) (1+t)

2 2 2 2 ( 2 ) 4 4 t t x x a ae ae x t t   − − = = − = =   2 2 2 2 [2 (1 )] 2 (1 ) y y y a b t b t t t   = = + = =   + 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 2 6 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) t t t t z z t ce t ce ce t a ce t t t t t t     = = = + −     + + + +   2 2 2 2 4 4 2 2 [2 (1 ) (1 ) 3 ] 2 (2 1) 2 (2 1) (1 ) (1 ) (1 ) t t ce t t t t ce t z t t t t + + + − + + = = = + + + 在拉格朗日参考系中求加速度

2.设平面剪切运动的速度分布为=ay,v=w=0试求 1)涡量V× 2)应变率张量S 3)旋转张量an 4)变形速度SnOx和旋转速度anδx 解 1)Vxi=a/ax a/dy a10z=-ak 0 0a/20 a/200 000

1) 涡量 2) 应变率张量 3) 旋转张量 4) 变形速度 和旋转速度 2.设平面剪切运动的速度分布为 u ay v w = = = , 0 试求: u   ij s ij a ij j s x  解: / / / 0 0 i j k u x y z ak ay       =       = −       0 / 2 0 / 2 0 0 0 0 0 ij a s a     =       ij j a x  1) 2)

0a/20 0 0a/20δx1「ay/2 a/200δ aSx/2 000‖|z 0 0 /20‖|x aox a/2006y a6x/2 0006z

0 / 2 0 / 2 0 0 0 0 0 ij a a a     = −      0 / 2 0 / 2 / 2 0 0 / 2 0 0 0 0 ij j a x a y s x a y a x z                   = =                   0 / 2 0 / 2 / 2 0 0 / 2 0 0 0 0 ij j a x a y a x a y a x z                   = − = −                   3) 4) 5)

以上结果表明一个平面剪切运动可以分解为一个剪切变形运动和一个旋转 运动可以用下图直观的表示 u=ay 0 a sx 6x/2

以上结果表明一个平面剪切运动可以分解为一个剪切变形运动和一个旋转 运动,可以用下图直观的表示。 u ay = / 2 / 2 0 ij j a y s x a x        =       / 2 / 2 0 ij j a y a x a x        = −     

3.一流场中流体的密度为1,速度分布为=ax,y=ay,z=-2az 其中a为常数,求在体积-1≤x≤1,-1≤y≤1,-1≤x≤1中质量随体导数。 解: pi·nd4=V(ldz Dt Or j pdr+ pu ndA Jou nda=adA+ adA+adA+adA 2adA- 2adA=0 V (pu dr=v(axi+ayj-2azk dr=0

u ax y ay z az = = = − , , 2 −   −   −   1 1, 1 1, 1 1 x y z 3. 一流场中流体的密度为1,速度分布为 其中a 为常数, 求在体积 中质量随体导数。 解: ( ) A A D d d u ndA u ndA u d Dt t             = +  =  =        2 2 0 A A A A A A A u ndA adA adA adA adA adA adA   = + + + − − =        左 右 后 前 上 下 ( ) ( 2 ) 0 u d axi ayj azk d    =  + − =      x y z

4.流体内某处的应力张量可表示为 120 试求作用于平面x+3y+2=1外侧(离开原点一侧)的应力矢量 及应力矢量的法向和切向分量。 解:求该平面外侧的法向单位矢量, F=x+3y+z-1 VE 3j+k i+3j+k VE 1+32+1 0 (131)120 (5,7,3)

4.流体内某处的应力张量可表示为 0 1 2 1 2 0 201           σ = 试求作用于平面 外侧（离开原点一侧）的应力矢量 及应力矢量的法向和切向分量。 x y z + + = 3 1 解: 求该平面外侧的法向单位矢量， F x y z = + + − 3 12 3 3 1 3 1 11 F i j k i j k n F  + + + + = = =  + + 0 1 2 1 1 (1,3,1) 1 2 0 (5,7,3) 11 11 201 n p n     =  = =       σ x z y

/11 n,B=后;(131) √11 (5+21+3) 52+72+3229,6

5 11 1 7 1 29 (1,3,1) (5 21 3) 11 11 11 11 3 11 nn n  n p         =  = = + + =           2 2 2 2 2 2 5 7 3 29 6 2 | | ( ) 11 11 11 n n nn p    + + = − = − =

5.圆球表面应力如下, Buc 3HU po 2a 2a one 0 求圆球所受的力,以上表达中,P0,为无穷远处压强和流体速度, 为动力粘性系数,a为圆球半径。 解:球坐标和直角坐标关系, 2 er=sin 8 cos@, +sin sinoe, +cose e P pe=cos e cos aer cos sina, -. e =sing e +coso e RRR Ree Poer 2a

5.圆球表面应力如下, 3 cos 2 RR o U p a    = − + 3 sin 2 R U a     = −  R = 0 求圆球所受的力，以上表达中， 为无穷远处压强和流体速度 ， 为动力粘性系数 ， a 为圆球半径。 p0 ,U  解: 球坐标和直角坐标关系, sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos R x y z x y z x y e e e e e e e e e e e               = + + = + − = + 0 3 2 n RR R R R z p e e U p e e a      = + = − +  RR  R  R   P x y z a