笛卡尔张量 (1标表示法和符号约定 指标表示法 、y、二分别计作x1、x2、x3, 42、aa分别计作a1、a2、a3, 而三个单位矢量,元,分别计作,E2,23 ai +a.itak=a,,+ae, tae 也可表示为, 冫是自由指标,可取1、2、3
1 1 2 2 3 3 a a i a j a k a e a e a e x y z = + + = + + （1）指标表示法和符号约定 指标表示法 x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az分别计作a1、a2、a3， 而三个单位矢量 分别计作 也可表示为， i 是自由指标，可取1、2、3。 , , , 1 2 3 e e e i a i j k , , 笛卡尔张量
求和约定 在同一项中如有两个指标相同时,就表示对该指标从1到3求和 √a-+a2+a a, 6 ,=a,61+a2b2+a363 a: e= ae,+ ae + e 重复出现的指标称为哑指标, 改变哑指标的字母并不改变表达式的内容
ai bi = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 1 1 2 2 3 3 a e a e a e a e i i = + + 2 2 2 i i 1 2 3 a a a a a a = + + = 求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和: 重复出现的指标称为哑指标， 改变哑指标的字母并不改变表达式的内容
克罗内克( Kronecker)符号 0 l≠ 6n符号具有以下重要性质: JJ 6n=O1+62+S3=3 j
克罗内克(Kronecker)符号 = 1 0 ij i j i = j ij 符号具有以下重要性质： ij = ji ija j = ai ii = 3 ij jk = ik ij ij = ii = 3 12 21 31 13 = , = j a j = a j a j = a j a j = a i ja j = ai , , , 1 1 2 2 3 3 ii = 11 + 22 + 33 = 3
置换符号6j i、j、k中有两个以上指标相同时 ik ij、k偶排列,123,231,312 ik奇排列,213,321,132 Eik有以下重要性质 Eist =dsskt-dsks 26 k kt 6=36-δ=26 kt erik 26=6 kk
ijk ist js kt jt ks = − ijk ijt kt = 2 ijk ijt j j kt j t kj kt kt kt = − = 3 − = 2 ijk ijk = 2 kk = 6 ijk ij = 0 ijk 置换符号 − = 1 1 0 ijk i、j、k 偶排列，123，231，312 i、j、k中有两个以上指标相同时 i, j, k 奇排列 ，213，321，132 ijk 有以下重要性质：
矢量和张量的运算举例 × Xe=-e =8 213-3 e.×e e,×e 12331 (e3×e2)=1(-e1)=-1=E132 k e
ij i j e e = 矢量和张量的运算举例 i j ijk k e e e = 1 2 3 123 3 2 1 3 213 3 e e e e e e e e = = = − = , ( ) ijk i j k e e e = 1 2 3 1 1 123 1 3 2 1 1 132 e e e e e e e e e e = = = = − = − = ( ) 1 , ( ) ( ) 1 ( ) i j k i jkl l jkl i l jki ijk e e e = e e = = =
a. b-(a,, b,e )=a,b, e, e) =a, oy=a,b axb=a; e,xb,e, =e, xe, a, b,=Eika, 6,ek 2 Ena1a=a×a=0 G×b)a=a1(e) Eiia, b, c,e k a.b.c C.a..bC,= b2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 b b b a a a e e e a b a e b e e e a b a b e i i j j i j i j ijk i j k = = = = ijka j ak = a a = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ijk i j k l l ijk i j l k l a b c a b e c e a b c e e = = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c c c b b b a a a a b c a b c = ijk i j l kl = ijk i j k = ( ) ( ) ( ) i i j j i j i j ai bj ij ai bi a b = a e b e = a b e e = =
例题1.展开下列求和式,(1)a1a;(2)a 解:(1)aa1=a1a1+a2a2+a13a3 (2) ajk l kaki t aiai arra =a1C1+a1221+a1331+a2112+a2a22+a23432 +a31a13+a32a23+a343
例题1. 展开下列求和式， 解： 1 1 2 2 3 3 (1).ai ai = a a + a a + a a 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 (2). a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a j k kj k k k k k k + + + = + + + + + = + + (1). ; (2). . ai ai a jkakj
例题2已知,下=+2元-5,币=37-1+k,求 (1)·;(2)v×w (4)l2×v;(4)×,产=xi+y+zk,是位置矢量 解:八.=小=小小+小5+小3小 ++2 30 v·W=vWw1=v11+v22+v33=1×3-2×1-5×1=-4 ×ⅳ三 2-5 =1(2×1-1×5)+j(-3×5-1×1)+k(-1×1-2×3) 3i-16 )J-7k
例题2. 已知, , 求: 是位置矢量. (1).v w; (2).v w; (3). v v; 1 2 (4). ; (4). ; (4). , , e v e v r v r xi yj zk = + + v i j k w i j k = + − = − + 2 5 , 3 . v w = vi wi = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 =13− 21− 51 = −4 1 2 5 3 1 1 (2 1 1 5) ( 3 5 1 1) ( 1 1 2 3) 3 16 7 i j k v w i j k i j k = − − = − + − − + − − = − − − 1 2 5 30 2 2 2 v v = vi vi = v1 v1 + v2 v2 + v3 v3 = + + = 解 :
F×=x (-5y-2=)+(+5x)j+(2x-y)k 2-5 11=i(i+2j-5k)= 1v=l1·ve1=,v;=v1 e1×v=e1xve1= Livie 6i3y2e3+6122=v,k-v2j=2k+5 e1×节=i×(+2j-5k)=27×j-5×k=2k+5
e1 v = e1 v j e j = 1 j v j = v1 = 1 e 1 v = i (i + 2 j − 5k ) = 1 v e v e v k v j k j e v e v e v e y z i i i j i j 123 2 3 132 3 2 2 5 1 1 1 = + = − = + = = e v i i j k i j i k k j 1 = ( + 2 − 5 ) = 2 − 5 = 2 + 5 x y z y z i z x j x y k i j k r v ( 5 2 ) ( 5 ) (2 ) 1 2 5 = − − + + + − − =
例题3.证明×(×)=v(·)-v(·v 证明:a×(×)=E1Mu,(v× E.u.& v,w ik imk mnO)n1厘nyv v.:v:-v::v =v(·w)-(l·v)
例题3. 证明 证明: u (v w) v(u w) w(u v) = − ijk j klm l m ijk lmk j l m ijk j k u v w u v w u v w u v w = = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) v u w w u v v u w wu v u v w i j j i j j il jm im jl j l m = − = − = −