4.15库塔条件和平板机翼绕流 平板机翼饶流(无环量) 茹柯夫斯基变换 平面 z平面 5 ie 一=Ce+ce -ie =ccos 实轴上的一段线段 注意:当5平面圆半径为a>c时,变换为z平面一椭圆
注意：当 平面圆半径为 时， 变换为 平面一椭圆。 4.15 库塔条件和平板机翼绕流 a c z 实轴上的一段线段 z 2 cos 2 ce ce c c z i i = + = + = − i 平面 = ce 平面 茹柯夫斯基变换 平板机翼饶流（无环量）
415库塔条件和平板机翼绕流 绕流复位势 平面,F(2)=({em+e") z平面 F()=U(,+,)-c2) C 十 2 驻点 5平面 =±ce x=±2 c Q z平面, 0
( ) 2 ( ) i i c F U e e − = + z ( ) 2 2 2 2 2 [( ( ) ) 2 2 ] ( ) 2 2 i i z z F z U c e c e z z c − = + − + + − 4.15 库塔条件和平板机翼绕流 平面, 平面, 绕流复位势 驻点 平面, z 平面, i = ce 2 cos 0 x c y = = U
4,15库塔条件和平板机翼绕流 库塔条件 上述平板机翼绕流中,前驻点位于平 板下表面,而后驻点则位于平板上表 面。在平板的前沿和后沿,出现了大 于丌角的绕流,由绕角流动一节分析知 ,流体绕过平板的前后缘时速度无穷 大,压强负无穷大,这在物理上是不 可能的。 实际机翼的前沿设计为有限厚度,具有 定的曲率,因此在机翼前沿实际速度 是有限的。后沿通常是尖的。要回避机 翼尖后沿出现速度无穷大的不实际流动 状况,可以设想围绕机翼有一顺时针方 向旋转的环量,环量大小正好把后驻点 移至后沿,与尖角点重合 库塔条件:具有尖后沿的机翼在小攻角来流绕流条件下,流体会自动调整 使后驻点与后缘尖角点重合
上述平板机翼绕流中，前驻点位于平 板下表面，而后驻点则位于平板上表 面。在平板的前沿和后沿，出现了大 于 角的绕流，由绕角流动一节分析知 ，流体绕过平板的前后缘时速度无穷 大，压强负无穷大，这在物理上是不 可能的。 4.15 库塔条件和平板机翼绕流 库塔条件 实际机翼的前沿设计为有限厚度，具有 一定的曲率，因此在机翼前沿实际速度 是有限的。后沿通常是尖的。要回避机 翼尖后沿出现速度无穷大的不实际流动 状况，可以设想围绕机翼有一顺时针方 向旋转的环量，环量大小正好把后驻点 移至后沿，与尖角点重合。 库塔条件：具有尖后沿的机翼在小攻角来流绕流条件下，流体会自动调整 使后驻点与后缘尖角点重合
4,15库塔条件和平板机翼绕流 起动涡 设机翼突然起动速度很快达 B 到U(从机翼上看,相当于 突然有无穷远来流绕过机翼 ),此时是无环量绕流(见 图A),在机翼的后沿点A流 动速度很大,压强则很低 显然当机翼下面的流体绕过A 图A 点流向后驻点B时,流动是由 低压区流向高压区,因此流 体将与物面分离,产生如图B 所示的逆时针方向旋转的涡 该涡是不稳定的,旋涡将 在尾部脱落(如图B),随流 体一起向下游运动。称流向 图B 下游的涡为起动涡
U 4.15 库塔条件和平板机翼绕流 起动涡 设机翼突然起动速度很快达 到 （从机翼上看，相当于 突然有无穷远来流绕过机翼 ），此时是无环量绕流（见 图A），在机翼的后沿点A流 动速度很大，压强则很低。 显然当机翼下面的流体绕过A 点流向后驻点B时，流动是由 低压区流向高压区，因此流 体将与物面分离，产生如图B 所示的逆时针方向旋转的涡 。该涡是不稳定的，旋涡将 在尾部脱落（如图B），随流 体一起向下游运动。称流向 下游的涡为起动涡。 A B 图B 图A
415库塔条件和平板机翼绕流 附着涡 设想在流场中作足够大的封闭流体线,包围机翼和剥落的旋涡。由开 尔文定理,在启动前,此流体线上环量为零,则此流体线上的环量将 始终保持为零。当有逆时针方向旋转的涡剥落时,在机翼上必然同时 产生一个强度相等方向相反的涡,使机翼成为有负环量的无旋流动 正是由于这个原因,后驻点B将向后缘点移动。在B点达到后缘点A前, 上述过程将继续进行,即不断有反时针旋涡流向下游,绕机翼的涡强 度不断增大,直至后驻点移到后缘点为止,这时上下两股流体在机翼 后缘汇合。称附着在机翼上的涡为附着涡。 图C
4.15 库塔条件和平板机翼绕流 附着涡 设想在流场中作足够大的封闭流体线，包围机翼和剥落的旋涡。由开 尔文定理，在启动前，此流体线上环量为零，则此流体线上的环量将 始终保持为零。当有逆时针方向旋转的涡剥落时，在机翼上必然同时 产生一个强度相等方向相反的涡，使机翼成为有负环量的无旋流动。 正是由于这个原因，后驻点B将向后缘点移动。在B点达到后缘点A前， 上述过程将继续进行，即不断有反时针旋涡流向下游，绕机翼的涡强 度不断增大，直至后驻点移到后缘点为止，这时上下两股流体在机翼 后缘汇合。称附着在机翼上的涡为附着涡。 − 图C
415库塔条件和平板机翼绕流 绕机翼环量的确定 当z平面内平板绕流的后驻点与 平板后缘角点重合时,则5平面 圆柱绕流的后驻点则应在圆柱后 缘点,即6=0的点 速度为U、攻角为a的均匀来流 绕流圆柱,且围绕圆柱有强度为 r的顺时针方向旋转的环量时绕 流复位势为, F()=U|9+e|+2h 丌C 复速度, W(5)=U(e i e)+ 2丌
z = 0 U ( ) c i e c F z U e i i ln 2 2 + = + − ( ) 2 2 1 ( ) 2 i i c i W U e e − = − + 4.15 库塔条件和平板机翼绕流 复速度， 速度为 、攻角为 的均匀来流 绕流圆柱，且围绕圆柱有强度为 的顺时针方向旋转的环量时绕 流复位势为， 当 平面内平板绕流的后驻点与 平板后缘角点重合时，则 平面 圆柱绕流的后驻点则应在圆柱后 缘点，即 的点。 绕机翼环量的确定
圆柱表面=ce w=Ueia-sei e-28+ire ie-a)_Ue e 2丌 2 2iU sin(0-a)+ 2丌C 2U sin( e 27c 驻点(在0=0点)=0→-2Usin(-a) T=4Ucsin a 于是复位势, F(5)=U i+ re+i2Ucsina In
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin 2 i i i i i i i i i R c i e i W U e e e Ue Ue e c c c i iU e u iu e c − − − − − − − − − = − + = − + = − + = − ( ) = − − − = c u U uR 2 2 sin 0 0 2 sin 0 ( ) 2 u U c = − − − = ( ) 2 2 sin ln i i c F U e e i Uc c − = + + i 圆柱表面 = ce 驻点 = 4Ucsin 于是复位势， ( =0 ) 在 点
当来流攻角为a时后沿点速度, 20 sin a 设顺时针方向环量I,在后沿点引起速度, C 要后沿点速度等于零则 2US1a+、 T=4 cU Sin a 2
2 sin 2 2 sin 0 =4 sin 2 U c U cU c − + − = 当来流攻角为 时后沿点速度， 设顺时针方向环量 ，在后沿点引起速度， 要后沿点速度等于零则 U
4,15库塔条件和平板机翼绕流 2平面饶流平板的复位势 将5=5+三)2-c2代入上述圆柱有环量绕流复势可得当后驻点在 平板后沿角点时的复位势, F()=U+ -la 2V2 i2Ucsin a In C
将 代入上述圆柱有环量绕流复势可得当后驻点在 平板后沿角点时的复位势， 2 2 ( ) 2 2 z z = + − c ( ) 2 2 2 2 2 2 2 { ( ) } 2 2 ( ) 2 2 1 2 sin ln ( ) 2 2 i z z c e i F z U c e z z c z z i Uc c c − = + − + + + − + − 4.15 库塔条件和平板机翼绕流 z 平面饶流平板的复位势
4,15库塔条件和平板机翼绕流 平板绕流升力 由库塔—茹柯夫斯基定理, PUT=4TpU-csina 升力系数, 2T sin a UL 上式中L=4c,为平板机翼弦长。在小攻角条件下,Snc≈C C,=2丌c 上式与实验测量结果吻合,说明库塔条件是正确的
平板绕流升力 2 Y U U c = = 4 sin 2 2 sin 1 2 l Y c U L = = L = 4c sin cl = 2 4.15 库塔条件和平板机翼绕流 上式与实验测量结果吻合，说明库塔条件是正确的。 上式中 ，为平板机翼弦长。在小攻角条件下， 升力系数， 由库塔—茹柯夫斯基定理