46偶极子流动 F(z)= 显然z=0处是上述函数的奇点
4.6 偶极子流动 显然 z ＝ 0 处是上述函数的奇点。 F( ) μ z z =
46偶极子流动 偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇 2+Em1- F(二) In(=+ 二 In 1 二 m8 ln1+2=+ 0|8 2 EE 2丌 me 1 F(二) 上式推导中用到,x<1时,m(+x)=x+Ox) 设imme=x E→0 F(二)
F( ) ln ln ln ln ( ) ln ln F( ) ε <<1 z 2 2 2 2 2 2 ε + m m m z +ε m z z z +ε (z - ε)= = 2π 2π 2π z - ε 2π ε - z m ε ε ε = + + + 2π z z z m ε ε m ε ε = + + = + 2π z z 2π z z mε z π z 0 0 0 = − = ln( ) ( )2 x <1 , 1+x = x+ x 时 o 0 m lim mε = π μ → → F( ) μ z z = 4.6 偶极子流动 偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇 上式推导中用到 , 设 m −m
46偶极子流动 流函数 F(二)= uz u(x-iy x y 令Y等于常数, y x+(y+ by 2y 流线是圆心在y轴且通过原点的圆族
F( ) 2 2 μ μz μ(x - iy) z = = z zz x + y = 2 2 y Ψ = -μ x + y 2 ( ) 2 2 2 2 μ x + y + y = 0 Ψ μ μ x + y+ = 2Ψ 2Ψ 4.6 偶极子流动 流函数 令 等于常数， 流线是圆心在 y 轴且通过原点的圆族
4.6偶极子流动 速度场 W(z)= dF u 2i0 (cos 0-i sin 0)e R (uR -iuo)e cos 6 sin 0 R 流场中流线的方向可依据点源、点汇的位置来确定,也可 根据a,ll方向而定。 上述流动称偶极子流动,处于流场中心的奇点称偶极子
W(z) (cos sin ) ( ) -2 i θ 2 2 -i θ 2 -i θ R θ dF μ μ = - = - e dz z R μ = - θ - i θ e R = u - i u e = cos sin R 2 θ 2 μ u = - θ R μ u = - θ R R θ u ,u 4.6 偶极子流动 速度场 流场中流线的方向可依据点源、点汇的位置来确定，也可 根据 方向而定。 上述流动称偶极子流动，处于流场中心的奇点称偶极子
46偶极子流动 强度为μ,位于点Z0的偶极子的复位势: F(z)=
强度为μ，位于点 z0 的偶极子的复位势： F(z) 0 μ z - z = 4.6 偶极子流动
4.7圆柱的无环量绕流 叠加原理 势函数和流函数满足的控制方程是线性的,因此它们的解具有可 叠加性。依据这一原理,上面给出的基本流动的复位势函数可以叠 起来给出较为复杂的流动问题的解
4.7 圆柱的无环量绕流 势函数和流函数满足的控制方程是线性的，因此它们的解具有可 叠加性。依据这一原理，上面给出的基本流动的复位势函数可以叠 加起来给出较为复杂的流动问题的解。 叠加原理
4.7圆柱的无环量绕流 均匀流与偶极子叠加 沿x方向的均匀流和在原点的偶 极子叠加给出圆柱绕流的解, F(z=U 圆方程 de F(z)=Uae°+2e (0 a+cos 6+i(Ua-sin 8 圆表面的流函数y=(Ua-2)sinb 显见,只要选4=Ua2,则在圆表面上平=0 流动图谱见附图 可见看出圆R=a把流场分为两部分:由于流体不可能穿越一条流线流动,可以 断定偶极子流动被包围在圆内,而均匀来流则被排斥在圆外。偶极子向上游的 流动由于受到均匀来流作用,折转方向流向下游,均匀来流流线则发生弯曲, 围绕圆R=a从圆外流过
显见，只要选 ，则在圆表面上 。流动图谱见附图。 可见看出圆R＝a把流场分为两部分：由于流体不可能穿越一条流线流动，可以 断定偶极子流动被包围在圆内，而均匀来流则被排斥在圆外。偶极子向上游的 流动由于受到均匀来流作用，折转方向流向下游，均匀来流流线则发生弯曲， 围绕圆R＝a从圆外流过。 4.7 圆柱的无环量绕流 F(z) μ Uz + z = iθ z = a e F(z) ( )cos ( )sin i θ - i θ μ U a e + e a μ μ U a+ θ +i Ua - θ a a = = 2 μ =Ua = 0 均匀流与偶极子叠加 沿x方向的均匀流和在原点的偶 极子叠加给出圆柱绕流的解， 圆方程 ( )sin μ Ψ = U a - θ a 圆表面的流函数
圆柱无环量绕流的复势函数 取 则圆柱无环量绕流的复势函数 F(z=Uz+
圆柱无环量绕流的复势函数 2 μ =Ua F(z) 2 μ Uz + z a =U z + z = ( ) 取 则圆柱无环量绕流的复势函数
47圆柱的无环量绕流 叠加流场是绕流圆柱的解 用一个半径为a的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入 流场并与圆R=a的流线相重合,将不会对圆内的偶 极子流动和圆外的均匀来流形成干扰。移去金属壳 内的偶极子流体,填充以固体材料形成一个固体圆 柱,圆外的流动将保持不变,也就是说速度为U的均 匀来流和强度为H=Ua2的偶极子流动叠加后在 R≥a的区域形成的流场即是速度为U的均匀 来流绕流R=a的圆柱流动
用一个半径为a的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入 流场并与圆R＝a的流线相重合，将不会对圆内的偶 极子流动和圆外的均匀来流形成干扰。移去金属壳 内的偶极子流体，填充以固体材料形成一个固体圆 柱，圆外的流动将保持不变，也就是说速度为U的均 匀来流和强度为 的偶极子流动叠加后在 的区域形成的流场即是速度为U的均匀 来流绕流 R＝a 的圆柱流动。 2 μ =Ua R a 4.7 圆柱的无环量绕流 叠加流场是绕流圆柱的解
4.7圆柱的无环量绕流 达朗贝尔佯谬 均匀来流绕流圆柱的速度场对x轴和y轴都是对称的 因此压强分布对x轴和y轴也是对称的,于是圆柱所 受流体作用力的合力为零,即圆柱不但不承受与气流 垂直的升力,也不承受沿流动方向的阻力 前者是和实际情况符合的,而后者则与实际不符, 这就是著名的达朗贝尔佯谬。这主要是由于没有考 虑粘性对流动的影响。在粘性流动中圆柱将承受由 于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界层 分离所产生的压差阻力。 尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有重要的理论意 义
前者是和实际情况符合的，而后者则与实际不符， 这就是著名的达朗贝尔佯谬。这主要是由于没有考 虑粘性对流动的影响。在粘性流动中圆柱将承受由 于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界层 分离所产生的压差阻力。 尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有重要的理论意 义。 4.7 圆柱的无环量绕流 达朗贝尔佯谬 均匀来流绕流圆柱的速度场对 x 轴和 y 轴都是对称的， 因此压强分布对 x 轴和 y 轴也是对称的，于是圆柱所 受流体作用力的合力为零，即圆柱不但不承受与气流 垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力