《高等流体力学》公式

6=e.e e.×e Eiker j Vφ 随体倒数Dn-ar +(V)a a e Vxa=(e.)x(a e)=e, Em V中=(x)(1) (nVy)=(n7++) =l-+1-+ 雷诺输运定理:对系统的随体倒数求法 oul DJ=「 ao a +()

随体倒数 ( ) D u Dt t     = +   (u u i v j w k i j k u v w ) ( ) x y z x y z          = + +  + + = + +           雷诺输运定理：对系统的随体倒数求法 [ ( )] [ )] V V k V V k D dv u dv Dt t D dv u dv Dt t x        = +     = +       （ ij i j  =  e e e e e e e i j k i jkl l jkl il jki ijk   =  = = = ( )      i j ijk k e e e  =  ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j i j i j i i e e e e x x x x x x            =  =  =       ( ) i i i i e e x x       = =   ( ) i i j j i i a a e a e x x      =  =       ( ) ( ) j j k i j j i j ijk k ijk i i i i j a a a a e a e e e e e x x x x         =  =  = =    

:速度梯度张量 应变率张量:表示微团的变形运动 1 au av 1 au aw 2(:ax 2( az ay 2 ax a ay a 旋转张量:表示旋转 0 质量守恒: +0(m)=00+, 第二那诺雷诺输运定律:O dead= ndv 动量守恒定律 Du. do po+p(ivi=V-o+pf 能量守恒定律: D(+2)2()+p

1、 i j u x           ：速度梯度张量 应变率张量：表示微团的变形运动 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ij u u v u w x y x z x v u v v w s x y y z y w u w v w x z y z z                + +                       = + +                         + +            旋转张量：表示旋转 3 2 3 1 2 1 0 0 0 ij a         −   =       − － 质量守恒： ( ) 0 k k u t x     + =   0 k k D u Dt x    + =  第二那诺雷诺输运定律： V V D D dv dv Dt Dt     =   动 量 守 恒 定 律 ： ( ) u u u f t     +  =  +  σ ij i i j Du f Dt x     = +  ij i i j i j j u u u f t x x        + = +    Du f Dt   =   + σ 能量守恒定律： ( ) 1 2 i i i j ij i i i i D q e u u u u f Dt x x          + = + −     23 1 a = − 31 2 a12 3 = − a = − ij ijk k a = − 

内能守恒:p一+puk N-S方程 Dax,+a2+pf1(=0时为欧拉方程) 内能方程: a aT Dt +pφ为耗损函数,表示流体变形时粘性应力 对单位体积流体的作功功率 内能方程其他形式:pT Dakx|+。Dh_Dp0w Dt Dt ax 注意这里:7d=a+p|=h- 09×谷 t ap 基本方程组: Dt p=p(p, 液液分界面条件:om-a++=0m=0m RR, 自由面的运动学边界条件:F(xyD)=0DE=0 定律=∮=手么对任何流体都成立 正压流体即密度仅仅是压力的函数

内能守恒： j i k ij k i i e e u q u t x x x        + = −     N－S 方程： 2 2 j j j j i Du u p f Dt x x      = − + +   （  = 0 时为欧拉方程） 内能方程： k k j j De T u p k Dt x x x        = − + +           为耗损函数，表示流体变形时粘性应力 对单位体积流体的作功功率 内能方程其他形式： j j Ds T T k Dt x x       = +         j j Dh Dp T k Dt Dt x x       = + +         注意这里： 1 1 Tds de pd dh dp     = + = −     基本方程组： ( ) 2 0 k k j j k i j j j k i j i k k k j j k u t x Du u p u u f Dt x x x x x x De T u u p k Dt x x x x           + =               = − + + + +                               = − + +               ( ) ( ) , , j j i j i i u u u x x x p p T e e T         + +          = =                  液液分界面条件： (1) (2) 1 2 1 1 0 nn nn R R      − + + =     (1) (2)   n n   = 自由面的运动学边界条件： F x y z t ( , , , ) 0 = 0 DF Dt = 定律 ( ) ( ) i i C t C t D Du Du dr dx Dt Dt Dt  =  =    对任何流体都成立 正压流体即 密度仅仅是压力的函数： p dp    = 

D∫a,n=0开尔文定律:对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的 物质周线上的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒 不努力方程 沿同一根流线或者涡线:(中+x+G=C面且为定常 势流++y、+G=0)同一个瞬时全场为常数 e+++G=C当流动为等熵,定常且外力有势时,总能量沿流线不变 (9.V=0 +(V)=W 在压强场未知情况下求解速度场和涡量场。 V()=9.g+v2i-V2(xn)已知速度场可利用以下方程求解压强w 二维势流 与方向无关,是点的函数:W() dF aF a ay 笛卡儿:W(x)=l-圆柱坐标:W=(2-iLn)e”0 均匀流:1)F(z)=czWa)=c=u-iv 2) F()=icz W(zF-1c=u-iv 3)F()=le=(a度角) 源::F()=clnz +iy=R R F(-)=ln(=--0)(强度为m,中心点为z0)

( ) 0 A t D ndA Dt  =  开尔文定律：对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的 物质周线上的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒. 不努力方程 沿同一根流线或者涡线： 2 2 dp u G C  + + =  而且为定常 势流: ( ) 2 dp G f t t        + + + =   同一个瞬时全场为常数 2 p u u e G C   + + + = 当流动为等熵，定常且外力有势时，总能量沿流线不变。 ( ) 0  = u 2 ( ) u t   +   =    在压强场未知情况下求解速度场和涡量场。 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 p u u u u   =  +  −   已知速度场可利用以下方程求解压强 W 二维势流 与方向无关，是点的函数： dF F Φ Ψ W(z)= = = +i dz x x x       笛卡儿： W z u iv ( ) = − 圆柱坐标： -iθ W = (u - i u )e R θ 均匀流：1） F(z)= c z W(z) = c = u - i v 2） F(z) =- i c z W(z)=- i c = u- i v 3） F -i (z)=Ve z （  度角） 源：：： F ln (z)= c z = iθ z = x+i y R e R θ c u = R u = 0      取 m c= 2π F( ) ln ( 0 ) m z z - z 2π = （强度为 m，中心点为 z0）

0 涡 In(Re) Y=-cIn r b-icIn R F 取c=znF()=2nl(0)=2x h(-5)(逆时针为正) 绕角流动F(z)=U =UR coSn0+iUR sinn ①=UR"cosn0 nUR u=-nUR Sin n0 0<< 0,t<0 0,.un<0 6=0 偶极子:F()=mn,Emm=x得a)= 流线方程:x2+(y+2)2 圆柱无环量绕流(均匀来流和偶极子叠加) F(Z=U( 有环量圆柱绕流(均匀来流和偶极子叠加) U/(1-,)cos F(z)=U+)+ln-速度:

涡： F( ) ln z ln( ) ln iθ z ic ic Re ic R = − = − = − cθ ln Φ = c θ Ψ = - c R    R θ u = 0 c u = R      取 Γ c= 2π F( ) ln( ) ln( ) 0 0 Γ Γ z -i z - z z - z 2π 2π i = = （逆时针为正） 绕角流动 F( ) n z U z = F( ) cos n sin cos sin n i n θ n n n n z U R e U R i U R Φ = U R nθ Ψ = U R nθ  = = +    nθ cos sin n-1 R n-1 θ u = n U R nθ u = -n U R nθ    R R θ π 0 0, u < 0 2n π π <θ < , u < 0, u < 0 2n 2  偶极子： F( ) ln ε + m z z 2π ε - z  =  0 m lim mε = π μ → → 得 F(z) 0 μ z - z = 速度： cos sin R 2 θ 2 μ u = - θ R μ u = - θ R      流线方程： 2 ( ) 2 2 μ μ x + y+ = 2Ψ 2Ψ       圆柱无环量绕流（均匀来流和偶极子叠加） 2 μ =Ua F(z) 2 a U z+ z = ( ) 有环量圆柱绕流 （均匀来流和偶极子叠加） F(z) ln 2 a iΓ z U(z+ )+ z 2π a = 速度： ( )cos ( )sin 2 R 2 2 θ 2 a u =U 1- θ R a Γ u = -U 1+ θ - R 2πR       n   = 0 n   =

升力和阻力 X-iY=iP. w'dz M=- Rel o =Wdz 留数的求法: 1)在二0的留数:F(=)=…+ +an+a1(2-0)+a22-=0) 中 的b 2)在曲线c中的积分∮F在=2x(R+R+…+R,)等于区域中奇点留数和乘以 例如:有环量圆柱绕流的升力和阻力 x=2PW()=0.202+n+ur,ma2,r 4兀2 只有奇点0,留数为U∠,所有X-iY=P2m/uUm=PUr 镜像法:F(=)=f(=)+/()实轴为界 )=f(=)+f(-=)虚轴为界 F(=)=f(=)+f 圆 保角变换:1)W(=)=()ddF()4w() 3)点涡、点源经保角变换后强度保持不变 茹柯夫斯基变换:=5+ →∞→z→5(无穷远处恒等变换) →0=2→5=0奇点=±c为临界点,不是保角

升力和阻力 0 2 C ρ X - iY = i W dz 2  0 2 c ρ M = - Re zW dz 2        留数的求法： 1） 在 0 z 的留数： ( ) ( ) F( ) ... ... 2 1 2 2 0 1 0 2 0 0 0 b b z + +a +a (z - z )+a (z - z ) z - z z - z = + + 中 的 1 b 2） 在曲线c中的积分 ( ) 1 2 n C F(z) dz = 2 π i R +R +...+R  等于区域中奇点留数和乘以 2i 例如：有环量圆柱绕流的升力和阻力 0 2 C ρ X - i Y = i W δz 2  W ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 3 2 2 U a U a iUΓ iUΓa Γ z =U - + + - - z z πz πz π z   只有奇点 0，留数为 iU  ，所有 ρ iUΓ X - i Y = i 2 π i = -i ρU 2 π        镜像法： F z f z f z ( ) = + ( ) ( ) 实轴为界 F z f z f z ( ) = + − ( ) ( ) 虚轴为界 2 ( ) ( ) ( ) a F z f z f z = + 圆 保角变换：1） ( ) ( ) ( ) ( ) dF z dF d d W z W dz dz d dz      = = = 3） 点涡、点源经保角变换后强度保持不变 茹柯夫斯基变换： 2 c z   = +   →   →z （无穷远处恒等变换） 0 dz d   →  →   = 0 奇点  = c 为临界点，不是保角

轴对称流动 ap,1oφ u=vo ar rae r-sinbu= de /sine a,v自动满足连续方程,称为 Stoks流函数。 性质 ∫dw=2xr(va-v)

轴对称流动 2 sin r r u     =  r u sin r     = −   自动满足连续方程，称为 Stoks 流函数。 性质： 2 2 ( ) B B A A Q d = = −       1 r r r u e e u e u e r r          =  = + = +  