《高等流体力学》第五章 轴对称运动（5.1-5.9）

第五章轴对称运动

第五章 轴对称运动

轴对称运动 鱼雷、火箭、炮弹、潜艇等的运动是轴对 称运动 轴对称流动中,任一通过对称轴的平面上 的流动图案都是相同的。 要形成轴对称流动,物体外形必须是轴对 称的,而且来流必须沿着对称轴方向 本章采用球坐标(r,,)描述轴对称 流动。由于轴对称,流动具有如下特点, 0uL.=0

轴对称运动 鱼雷、火箭、炮弹、潜艇等的运动是轴对 称运动。 轴对称流动中，任一通过对称轴的平面上 的流动图案都是相同的。 要形成轴对称流动，物体外形必须是轴对 称的，而且来流必须沿着对称轴方向。 本章采用球坐标（ ）描述轴对称 流动。由于轴对称，流动具有如下特点， r, , = 0 u = 0    r  

5.1速度势 在无旋流动中存在速度势 p u=vo=e+ 1 a9 e=urer tuge r00 p 1 a8 r00 对于不可压缩流体, p=0 (2a sin sin 0 a8 06

5.1 速度势 在无旋流动中存在速度势         e u e u e r e r u r r r      = +   +   =  = 1        =   =     r u r ur 1 对于不可压缩流体， 0 2   = sin 0 sin 1 1 2 2 2  =           +                r r r r r

5.2 Stokes流函数 Stokes流函数 平面流动的流函数满足连续方程。在三维流动中,一般无法找到一个 标量函数满足连续方程,但在轴对称运动条件下,这样的流函数是存 在的。 不可压缩流体在球坐标下的连续方程 l.+ sin 0 ue)=0 rsin e ae sin eu sin e ar 06 人 r- ur =h rSin e0u则v自动满足连续方程 V称 Stokes流函数

平面流动的流函数满足连续方程。在三维流动中，一般无法找到一个 标量函数满足连续方程，但在轴对称运动条件下，这样的流函数是存 在的。 5.2 Stokes 流函数 Stokes 流函数 不可压缩流体在球坐标下的连续方程 u = 0  ( ) (sin ) 0 sin 1 2 1 2 =   +       u r r u r r r ( sin ) ( sin ) 0 2 =   +      r  u r u r r 令      r sin ur = 2 r u sin r     = −   则 自动满足连续方程. 称 Stokes 流函数。 

5.2 Stokes流函数 无旋流动的 Stokes流函数方程 平面无旋流动条件下流函数满足拉氏方程, Stokes流函数在无旋条件下满足的 方程不是拉氏方程。 设无旋流动V×=0 rsn Beo sin 6 d 06 (rug)a0 r aya 0 using a 6o6 a-y sin a 1 ay 0 r00(sin a0 ay ctge ay 06r20e 通常通过求解中的拉氏方程得出不可压缩流体轴对称无旋运动的解。在有旋流动 中,势函数不存在,只有应用流函数才能找到一个标量方程来代替矢量形式的运 动方程

5.2 Stokes 流函数 无旋流动的 Stokes 流函数方程 平面无旋流动条件下流函数满足拉氏方程，Stokes流函数在无旋条件下满足的 方程不是拉氏方程。 设无旋流动  = u 0 ( )         −   =                 r r r u ru r r e u ru r e re r e r     0 sin sin 1 2 0 sin 1 sin 2 =                 −        −   =        r r r r r r e  0 sin sin 1 2 2 2  =          +         r r 0 1 2 2 2 2 2 2 =   +   −         r r ctg r 通常通过求解 的拉氏方程得出不可压缩流体轴对称无旋运动的解。在有旋流动 中，势函数不存在，只有应用流函数才能找到一个标量方程来代替矢量形式的运 动方程。 

5.2 Stokes流函数 Stokes流函数的性质 过对称轴的平面内任意两点流函数值的差乘以2丌,等于通过以这两点的 任意连线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量。 do=u, rde-uedr] 2rsin e royde+ dr2Trsin 0 B r-sin0 a8 raine ar de 2r oy de+ ov dr=2 dy dl urde sin e 2=27 dy=2z(vVB-vA) A A

5.2 Stokes 流函数 Stokes 流函数的性质 过对称轴的平面内任意两点流函数值的差乘以 ，等于通过以这两点的 任意连线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量。 2   2 2 sin 1 2 sin sin sin 2 2 r dQ u rd u dr r r d dr r r r r d dr d r                    = −     = +           = + =       ( )  = = − B A Q 2 d 2  B  A  rsin dl drrd dl r u rd u dr  A B

5.3势流方程的解 分离变量 =p(r,6)满足拉氏方程, dR 1 d sin e r dr Tsin 0 de de 0(,20 sin e 方程一边是r的函数,一边是b ar r sin a0 06 的函数,要恒等必需两边均等于常数, d 2dR p=R(r)(6) =(+1) r dr dr T d(2 dR r d d T dr( dr sin do sin 8 sin e (+1) de Tsin e de de 两边同乘以 式中l可为整数也可为非整数。 RT

5.3 势流方程的解 分离变量  = (r, ) 满足拉氏方程， sin 0 sin 1 1 2 2 2  =           +                r r r r r  = R(r)T( ) sin 0 sin 2 2 2  =       +          d dT d d r R dr dR r dr d r T RT r 2 两边同乘以        = −          d dT d d dr T dR r dr d R sin sin 1 2 1 方程一边是 r 的函数，一边是  的函数，要恒等必需两边均等于常数， ( 1) 1 2  = +      l l dr dR r dr d R sin ( 1) sin 1  = +      − l l d dT d d T     式中 l 可为整数也可为非整数

5.3势流方程的解 勒让德方程 sin0+(+1)T=0 sin e de de ≈(cos)为第二类勒让德函数,当 有值发散,所以应取 x=cOs、oadx D,=0 SIn ae ax de P(cosO)是第一类勒让德函数,当1不 dT +l(+1)T=0 为整数时,其在cosθ=±1时发散。 dx lx 取l=0,1,2, 上式为勒让德方程,通解为 7(6)=C1P(cos)l取整数 T(0)=C P(cos0)+D,e,(cos 0)

勒让德方程 5.3 势流方程的解 sin ( 1) 0 sin 1  + + =      l l T d dT d d     x = cos d x dx x   = −   =      sin (1 ) ( 1) 0 2 + + =       − l l T dx dT x dx d () (cos) (cos) Tl = Cl Pl + Dl Ql () (cos) Tl = Cl Pl cos = 1 (cos) Pl l = 0, 1, 2,  是第一类勒让德函数，当 l 不 为整数时，其在 时发散。 取 l 取整数。 上式为勒让德方程，通解为 (cos) Ql Dl = 0 cos = 1 为第二类勒让德函数，当 时对所有的 l 值发散，所以应取

5.3势流方程的解 欧拉方程 R的方程, dr dR +2r (+1)R=0 c 为欧拉方程,对于非负整数,欧拉方程通解可写为, R(r)=ar B

5.3 势流方程的解 欧拉方程 2 ( 1) 0 2 2 2 + − l l + R = dr dR r dr d R r 为欧拉方程，对于非负整数，欧拉方程通解可写为， 1 ( ) + = + l l l l l r B R r A r R 的方程

5.3势流方程的解 势函数通解 根据线性方程解的叠加原理,势函数的通解可由勒让德方程的解和欧 拉方程的解叠加而成, B 叭(r,O)=∑4r+20|P(cos) 勒让德函数或称勒让德多项式的表达式为, P(x) 2 0 dx 其前3项分别是, B0(x)=1 (x)=x P2(x)

5.3 势流方程的解 势函数通解 根据线性方程解的叠加原理，势函数的通解可由勒让德方程的解和欧 拉方程的解叠加而成，   = +         = + 0 1 ( , ) (cos ) l l l l l l P r B  r  A r  勒让德函数或称勒让德多项式的表达式为， 其前3项分别是， ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 = x − dx d l P x l l l l P0 (x) =1 P (x) = x 1 (3 1) 2 1 ( ) 2 P2 x = x −