第四章二维势流
第四章 二维势流
理想不可压缩流体流动一基本方程组 忽略流动的粘性和可压缩性,连续方程和N-S方程可化简为 V×Li=0 2+(V)=2Vyp+ 如果p=常数,上述4个方程包含4个未知数p,方程组是封闭的。由于忽略 了流体的可压缩性,流体动力学问题和热力学问题可分开来解,连续方程和动 量方程不再需要和能量方程联立求解,但压强和速度仍然耦合在一起,需要 同时解出
理想不可压缩流体流动―基本方程组 如果ρ=常数，上述4个方程包含4个未知数 、p，方程组是封闭的。由于忽略 了流体的可压缩性，流体动力学问题和热力学问题可分开来解, 连续方程和动 量方程不再需要和能量方程联立求解，但压强和速度仍然耦合在一起，需要 同时解出。 ( ) u = 0 u 1 + u u = - p+ f t ρ u 忽略流动的粘性和可压缩性，连续方程和N-S方程可化简为
理想不可压缩流体流动—基本方程组的边界条件 粘性流动采用的是固壁上的无滑移条件,由于理想流体动量方程中失掉了高 阶粘性项,欧拉方程比N-S方程低了一阶,她就不需要象粘性流方程组那样 多的边界条件。对理想流体采用法向无穿透条件,壁面上允许存在切向滑移 速度, u n=Un 上述边界条件相当于要求固体壁面是流场中的一条流线。 固壁静止时, li·n=0 无穷远边界条件, r→>∞,l→>1
理想不可压缩流体流动—基本方程组的边界条件 u n =U n u n =0 r u u , → → 粘性流动采用的是固壁上的无滑移条件，由于理想流体动量方程中失掉了高 阶粘性项，欧拉方程比N-S方程低了一阶，她就不需要象粘性流方程组那样 多的边界条件。对理想流体采用法向无穿透条件，壁面上允许存在切向滑移 速度， 固壁静止时， 上述边界条件相当于要求固体壁面是流场中的一条流线。 无穷远边界条件
势流 势流流场中处处涡量为零,称势流。Ω=0或V× 在重力场作用下的理想不可压缩流体,如果绕流物体的流动起始于无旋 流动,开尔文定理保证流动始终保持无旋,即势流。 速度势函数 V×=0◇ti=Vq ①称速度势函数 不可压缩流体 V·ti=0-V.V④=0 在不可压缩流体条件下Φ满足拉普拉斯方程
Ω=0 u =0 = u u = 0 Φ → u =0 Φ=0 势流 势流 流场中处处涡量为零，称势流。 或 。 在重力场作用下的理想不可压缩流体，如果绕流物体的流动起始于无旋 流动，开尔文定理保证流动始终保持无旋，即势流。 速度势函数 不可压缩流体 Φ称速度势函数。 在不可压缩流体条件下Φ满足拉普拉斯方程
势流基本方程组 V④=0 +2+VV中+gz=f1 ot P 2 边界条件 0④ 在静止固壁上, on 无穷远处, r→>o,l→>llo 势流方程组与一般理想不可压缩流动方程组相比在数学上有了较大的简化: 后者有四个方程,而前者只有两个方程。 欧拉方程是非线性方程,Vφ=0是线性方程,线性方程一个突岀优点是 解具有可叠加性。势流伯努利方程也是非线性的,但不存在求解困难 后者求解过程中,Lp耦合在一起需联立求解,对于势流P不再 耦合在一起,可分开求解:先求出Φ,ⅱ=V￠,即可求得速度场,再求 解伯努利方程得到压强场
势流基本方程组 2 Φ = 0 Φ p 1 + + Φ Φ+ gz = f(t) t ρ 2 Φ = 0 n r u u , → → 2 Φ = 0 u, p u, p u=Φ 边界条件 在静止固壁上 ， 无穷远处， 势流方程组与一般理想不可压缩流动方程组相比在数学上有了较大的简化： •后者有四个方程，而前者只有两个方程。 •欧拉方程是非线性方程， 是线性方程，线性方程一个突出优点是 解具有可叠加性。势流伯努利方程也是非线性的，但不存在求解困难。 •后者求解过程中， 耦合在一起需联立求解，对于势流 不再 耦合在一起，可分开求解：先求出Φ， ，即可求得速度场，再求 解伯努利方程得到压强场
拉氏方程解的可叠加性 V=0 如Φ,φ,是解,则 d=c④,+C, 也是解,其中C1,C2是不全为零的常数 在后续章节会经常用到线性方程的这一性质
也是解，其中 是不全为零的常数。 在后续章节会经常用到线性方程的这一性质。 2 Φ = 0 Φ ,Φ1 2Φ = c Φ +c Φ 1 1 2 2 1 2 c ,c 拉氏方程解的可叠加性 如 是解，则
41流函数 流函数 不可压缩流体平面流动的连续方程 au av 定义 y 则函数平自动满足上述连续方程,平称流函数
4.1 流函数 u v + = 0 x y Ψ u = y Ψ v = - x 流函数 不可压缩流体平面流动的连续方程 则函数Ψ自动满足上述连续方程，Ψ称流函数 定义
流函数y与涡量Q 41流函数 对于xoy平面的二维流动, @=QK oy au 代入 20(aaay a a-p ax ax Oy ay Q=-Vy 如流动无旋则: V=0 流函数从满足连续方程出发而定义,因此适用于无旋和有旋流动, 在无旋条件下平满足拉式方程。 势函数Φ从满足无旋条件出发而定义,因此只适用于势流。在不可压 缩流体条件下Φ满足拉式方程
Ω 4.1 流函数 Ω = Ωkv u Ω = - x y 2 2 2 2 Ψ Ψ Ψ Ψ Ω = - - = - + x x y y x y 2 Ω = - Ψ 2 Ψ = 0 流函数Ψ从满足连续方程出发而定义，因此适用于无旋和有旋流动， 在无旋条件下Ψ满足拉式方程。 势函数Φ从满足无旋条件出发而定义，因此只适用于势流。在不可压 缩流体条件下Φ满足拉式方程。 流函数Ψ 与涡量 对于xoy平面的二维流动 , 代入Ψ, 如流动无旋 则：
流函数性质1 41流函数 v= const的线是流线。 P=Y(x, y) 空间任意相邻两点间的流函数变化 ay y dye dx+dy=-vdx+udy 若两点取在y= const的同一条曲线上, dy=-v dx+u dy=0 dx 上式即流线方程。 y= const表示一个流线族
4.1 流函数 Ψ =Ψ x,y ( ) Ψ Ψ dΨ = dx+ dy = -vdx+udy x y Ψ = const dΨ = - v dx+u dy = 0 Ψ dy v = dx u Ψ = const 流函数性质1 Ψ= const. 的线是流线。 空间任意相邻两点间的流函数变化， 若两点取在 的同一条曲线上， 上式即流线方程。 表示一个流线族
流函数性质2 41流函数 在两条流线间流动的流体流量等 于这两条流线的流函数值之差 y=y. 通过dl的流体流量 1 O=-vdx + udy y= y O AB vdx +udy ay ay -dx+-dy B∫A dy=y-p x
B A B B 2 1 A A Q = -vdx+udy Q = -vdx+udy Ψ Ψ = dx+ dy = dΨ =Ψ -Ψ x y 4.1 流函数 流函数性质2 在两条流线间流动的流体流量等 于这两条流线的流函数值之差。 通过 dl 的流体流量 u dy v dx dl Ψ =Ψ1 Ψ =Ψ2 A B