郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 渐近法 §12-1 渐近法概述 §12-2 力矩分配法的基本概念 §12-3 单结点的力矩分配 §12-4 多结点的力矩分配

渐近法 20212/21

2021/2/21 1 第十二章

§12-1渐近法概述 1、线性代数方程组的解法:直接法渐近法 力学建立方程,数学渐近解 2、结构力学的渐近法(不建立方程式,直接逼近真实受力状态。其 突出的优点是每一步都有明确的物理意义 3、位移法方程的两个特点: (1)每个方程最多是五项式 k (2)主系数大于副系数的总和,即kz>∑k k 适于渐近解法。 不建立方程组的渐近解法有 (1)力矩分配法:适于连续梁与无侧移刚架 (2)无剪力分配法:适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法:适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 2021/2/21 它们都属于位移法的渐近解法。 2

2021/2/21 2 1、线性代数方程组的解法: 直接法 渐近法 2、结构力学的渐近法  力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其 突出的优点是每一步都有明确的物理意义。 3、位移法方程的两个特点: (1)每个方程最多是五项式； (2)主系数大于副系数的总和，即 kii > kij， 适于渐近解法。 4、不建立方程组的渐近解法有： (1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法。 kii kik kij kir kis §12-1 渐近法概述

§12-2力矩分配法的基本概念 理论基础:位移法; 计算对象:杆端弯矩; 力矩分配法 计算方法:逐渐逼近的方法; 一、转动刚度S:适用范围:连续梁和无则移刚架 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 Sp=4i SAB=3i AB 0 SA与杄的(材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长)及远 端支承有关,而与近端支承无关。 2021/2/21

2021/2/21 3 §12-2 力矩分配法的基本概念 力矩分配法 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 1 SAB=4i 1 SAB=3i SAB =i 1 SAB =0 SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远 端支承有关， 而与近端支承无关。 一、转动刚度S：

二、分配系数设A点有力矩M,求MB、M和MAD A Br如用位移法求解 于是可得 AD iab MAB=4iB0A-=SABE MR=5ABMI AC MAC=LC0=S4C0A ∑S C 4D=3i4DE4=SADe M MA==ACM AD M LAB ∑ m=0 M=(SB+SC+SAD)6 ∑ A A AC M M M -AD Sn+sts AD AD ∑ A MA=·M ∑=1 分配系数 2021/2/21 4

2021/2/21 分配系数 4 SAB = 4i 1 SAB= 3i 1 1 SAB= i 二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD C D A B iAB iAC iAD  A M 如用位移法求解： AB AB A SAB A M = 4i  =  AC AC A SAC A M = i  =  AD AD A SAD A M = 3i  =   M MAB MAC MAD  = 0 A m M SAB SAC SAD  A = ( + + )  = + + = A AB AC AD A S M S S S M  M S S M A AD AD  = 于是可得 M S S M A AB AB  = M S S M A AC AC  =  M Aj =  Aj M  = A Aj Aj S S    =1

三、传递系数 AB = =4 LAI B BA iap e B 近端 远端 AB AB 2 B AB =ripe AB M B AB 0 A H AB AB LAB UA BA AB UA B BA AB B 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面,各杆远端 弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。 2021/2/21 5

2021/2/21 5 三、传递系数 MAB = 4 iAB A MBA = 2 iAB A 2 1 = = AB BA AB M M C MAB = 3iABA = = 0 AB BA AB M M C MAB= iABA MBA = - iAB A = = −1 AB BA AB M M C 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端 弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。 A A l B 近端 远端 A B A A A B

§12-3单结点的力矩分配—基本运算 B 固端弯矩带本身符号 C M BC BC A C MB= MBA+ MBO B M感器McP B M A C AB 0 MRA=UB4 ( MB) 最后杆端弯矩: MBC=HBC·(-MB) MBA- MBAP+M BA MBc=MBCP+MBC 2MB+M然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图,即得最后弯矩图

2021/2/21 6 ——基本运算 A B C MAB MBA MBC A B C MAB P MBA P MBC P MB MB MBA MBC MB= MBA+MBC A B C -MB MBA  MBC  MAB  0 -MB MBA  MBC  ( ) MBA BA −MB  =   ( ) MBC BC −MB  =   + = 最后杆端弯矩： MBA = MBA P+ MBA  MBC = MBC P+ MBC  MAB= MAB P+ MAB  然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 固端弯矩带本身符号 §12-3 单结点的力矩分配

(1)B点加约束 167.2 5.7M图(Nm 200×6 90 8=-150kN.m A C MBA=150kN 20×62 3m 6m MBC= -90kN.m 8 200N6020kNm g=MBA+MC=60kN·m (2)放松结点B,即加-60进行分配 A 150 150 90 设i=EM计算转动刚度: BA 0.5710.429 4 分配系数:AB =0.571 A-172 34.3 LB-257—0 4i+3i 0.429 0.5710.429 7i 分配力矩 A"-150 150z 90 C MBA=0.571×(-60)=-34.3 17.2 343-2570 MBC=0429×(-60)=-257 167.2 1157-1157 0(3)最后结果。合并前面两个过程 2022/21

2021/2/21 7 例1. 用力矩分配法作图示连续梁 的弯矩图。 3m 3m 6m EI EI 200kN 20kN/m （1）B点加约束 A B C 200kN 20kN/m MAB= MBA= MBC= = − k Nm  − 150 8 200 6 150kNm = − k Nm  − 90 8 20 6 2 MB= MBA+ MBC= 60kNm -150 150 -90 （2）放松结点B，即加-60进行分配 60 A B C -60 设i =EI/l 计算转动刚度： SBA=4i SBC=3i 分配系数： 0.571 4 3 4 = + = i i i  BA 0.429 7 3 = = i i  BC 0.571 0.429 分配力矩: MBA  = 0.571(−60) = −34.3 MBC  = 0.429(−60) = −25.7 -17.2 -34.3 -25.7 0 + (3) 最后结果。合并前面两个过程 A B C 0.571 0.429 -150 150 -90 -17.2 -34.3 -25.7 0 -167.2 115.7 -115.7 0 167.2 115.7 300 90 M图(kN·m) A B C =

§12-4多结点的力矩分配 渐近运算 B C A McB mMO 多D AB BC CD mBA mBc mcBeal 放松,平衡了 固定 固定 /放松,平衡了 放松,平衡了 固定 2021/2/21 8

2021/2/21 8 §12-4 多结点的力矩分配 A B C D B C MAB MBA MBC MCB MCD MB MC mBA mBC mCB 放松，平衡了 -MB MC ’ 固定 放松，平衡了 -MC ’ 固定 固定 放松，平衡了 ——渐近运算

例1用力短分配法列表计算图示连续梁 6 20kN/m 100kN 21 E=l IB E12 El D lBC 8 4 6m 4 6m D 040.6 0.6670.333 4× m-60 60-100 100 4× 33.4 667-333 4 分147 29.444 22 配 与 7.3 147-7.3 =04 传1.5 294.4 2.2 递 -0.7 1.5-0.7 =0.6 0.2 0.304 Scp =4 M436 926-92 41.3-41.3 Sn =3 26 43.6 41.3 A2021 B yM图(kNmy)4 HHUTUTINTTTTIT 0.667 133.1 ACD=0.33

2021/2/21 9 C B 例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 A B C D 6m 4m 4m 6m EI=1 EI=2 EI=1 20kN/m 100kN 6 1 i AB = 4 1 8 2 i BC = = 6 1 i CD =        =  = =  = 1 4 1 4 3 2 6 1 4 BC BA S S        = = + = 0.6 0.4 3 2 1 3 2 BC BA          =  = =  = 2 1 6 1 3 1 4 1 4 CD CB S S        = = + = 0.333 0.667 2 1 1 1 CD CB    0.4 0.6 0.667 0.333 m -60 60 -100 100 分 配 与 传 递 -33.4 -66.7 -33.3 14.7 29.4 44 22 -7.3 -14.7 -7.3 2.9 4.4 2.2 -0.7 -1.5 -0.7 0.3 0.4 1.5 0.2 Mij-43.6 92.6 -92.6 41.3 -41.3 0 43.6 92.6 133.1 41.3 A B C D 21.9 M图（kN·m）

20kN/m 100kN A EFI B E=2 E/=1D Dm m 米4m m 92.6 43.6 IB M图(kNm 219 133.1 51.8 56.4 B Q图(kN) 68.2 43.6 求支座反力68211564 2021/2/21 1246

2021/2/21 10 A B C D 6m 4m 4m 6m EI=1 EI=2 EI=1 20kN/m 100kN 43.6 133.1 41.3 21.9 M图（kN·m） 92.6 A B C D A B C D 51.8 68.2 56.4 43.6 6.9 Q图（kN） 求支座反力 68.2 56.4 B 124.6