第十三章 矩阵位移法
1 第十三章
矩阵代数复习 1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为m行和n列,称为mxn阶矩阵。 2 m 2、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵,即n=n时,称为n阶方阵。 3、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵,如: A 2 13 In 由单列组成的矩阵称为列矩阵,如 e uuuuuud
2 矩阵代数复习 1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。 A= a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 L L M O M L é ë ê ù û ú 2、方阵 一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为n 阶方阵。 3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如： A=[a11 a12 a13 · · · a1n ] 由单列组成的矩阵称为列矩阵，如： A= a a am 11 21 1 ┇ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú
4、纯量仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。 5、矩阵乘法两个规则: (1)两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘,即 An,n B n 当p=时才能相乘 2 ueb, u AB=e 题2 共形 ea2 2×22×1 eb, uea a12u BA=A 非共形 1 ue2 2×12×2 (2)不具有交换律,即B1BA
3 4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。 5、矩阵乘法 两个规则： （1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即 Am B C p l ´p l ´n m´n = 当 = 时才能相乘 A B= a a a a b b 11 12 21 22 11 21 é ëê ù ûú é ëê ù ûú 共形 2× 2 2×1 B A= b b a a a a 11 21 11 12 21 22 é ëê ù ûú é ëê ù ûú 非 共形 2×1 2 ×2 （2）不具有交换律，即 AB ¹ BA
6、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换,所得的阶矩阵称之为 原矩阵的转置矩阵,如 aa 其转置矩阵为AT 11 12 2 32 31 当连乘矩阵的乘积被转置时,等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若 A=BC D 则 A =DC B 7、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵,用0表示。 若AB=0,但不一定A=0或B=0
4 6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为 原矩阵的转置矩阵，如： A= a a a a a a 11 12 21 22 31 32 é ë ê ù û ú 其转置矩阵为 A T = é ë ê ù û ú a a a a a a 11 21 31 12 22 32 当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若 A=B C D 则 A T =D T C T B T 7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。 若 AB=0，但不一定 A=0 或B=0
8、对角矩阵对角矩阵是除主对角元素外,其余元素全为零的方阵,如: 000 0 00.0 000 0 m 9、单位矩阵单位矩阵是一个对角矩阵,它的非零元素全为1用I表示,如 0 000 0100 000 任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵,即 AlFA TA=A
5 8、对角矩阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如： D= a a amm 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O é ë ê ù û ú 9、单位矩阵 单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如 I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 O é ë ê ù û ú 任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI=A IA=A
10、逆矩阵在矩阵运算中,没有矩阵的直接除法, 除法运算由矩阵求逆来完成。例如,若 AB=C B=A c 此处A1称为矩阵A的逆矩阵。 个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义:AA1=A1A=I 矩阵求逆时必须满足两个条件: (1)矩阵是一个方阵。 (2)矩阵的行列式不为零,即矩阵是非奇异矩阵(行列式为零的矩 阵称为奇异矩阵)。 11、正交矩阵若一方阵A每一行(列)的各个元素平方之和等于1,而 所有的两个不同行(列)的对应元素乘积之和均为零,则称该矩阵为正 交矩阵,则 cos a A sin a cos a 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵,即A1=A′
6 10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若 AB=C 则 B=A -1 C 此处A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。 一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义： A A -1 = A -1 A =I 矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩 阵称为奇异矩阵）。 11、正交矩阵 若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而 所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正 交矩阵，则 A= cos sin sin cos a a - a a é ë ê ù û ú 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A -1 = A T
§13-1概述 矩阵位移法的理论基础是传统的位移法,只是它的表达形式采用矩阵 代数,而这种数学算法便于编制计算机程序,实现计算过程的程序化。 矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法; 矩阵位移法的两个基本步骤是 (1)结构的离散化;(2)单元分析;(3)整体分析, 任务 意义 单元建立杆端力与杆端位移 用矩阵形式表示杆 分析间的刚度方程,形成单 件的转角位移方程 元刚度矩阵 整体由变形条件和平衡条件 用矩阵形式表示位 分析建立结点力与结点位移 移法基本方程 间的刚度方程,形成整 体刚度矩阵
7 §13-1 概 述 矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵 代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。 一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法； 矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析， 任务 意义 单元 分析 建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程 整体 分析 由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵 用矩阵形式表示位 移法基本方程
二、杆端位移、杆端力的正负号规定 般单元:指杆件除有弯曲变形外,还有轴向变形和剪切变形的单元, 杆件两端各有三个位移分量, 这是平面结构杆件单元的一般情况。 符号规则:图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标,局部座标的x 座标与杆轴重合;图(b)表示的杆端位移均为正方向。 EAl x单元编号 杆端编号 局部座标 11 杆端位移编号 1M1 杆端力编号
8 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量， 这是平面结构杆件单元的一般情况。 符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x 座标与杆轴重合； 1 2 e E A I l x y (a) 图(b)表示的杆端位移均为正方向。 单元编号 杆端编号 局部座标 1 2 1 u 1 v 1 2 2 u 2 v (b) 杆端位移编号 1 2 X1 Y1 M1 M2 X2 (c) 杆端力编号 二、杆端位移、杆端力的正负号规定 一般单元：
(1)单元杆端位移向量 (2)单元杆端力向量 11 1M1 M (e) 1) , F 3) (3) 凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的
9 1 2 1 u 1 v 1 2 2 u 2 v 1 2 X1 Y1 M1 M2 X2 ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) (6) (5) (4) (3) (2) (1) ( ) e e e v u v u = = ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) (6) (5) (4) (3) (2) (1) ( ) e e e M Y X M Y X F F F F F F F = = （1）单元杆端位移向量 （2）单元杆端力向量 凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的
§13-2单元刚度矩阵(局部座标系) 进行单元分析,推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。 现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆 端力时的一组方程,可以用“△→>F”表示,由位移求力称为正问题。 般单元 在单元两端加上人为控制的附加约束,使基本杆单元的两端产生任意指 定的六个位移,然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响,分别推导轴向 变形和弯曲变形的刚度方程
10 现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆 端力时的一组方程，可以用“ F ”表示，由位移求力称为正问题。 在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指 定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。 1 e 2 1 u 2 u 2 v 1 v 1 2 X1 e Y1 e M1 e X2 e M2 e e 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向 变形和弯曲变形的刚度方程。 §13-2 单元刚度矩阵(局部座标系) 进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。 一、一般单元