第九章 虚功原理与结构位移计算 2021/2/21
2021/2/21 1 第 九 章
§91应用虚功原理求刚体体系的位移 结构位移计算概述 计算位移的目的:(1)刚度验算,(2)超静定结构分析的基础 产生位移的原因:(1)荷载(2)温度变化、材料胀缩(3)支座沉降、制造误差 以上都是绝对位移 以上都是相对位移广义位移 202121位移计算虽是几何问题,但是用虚功原理解决最方便
2021/2/21 2 §9-1 应用虚功原理求刚体体系的位移 一、结构位移计算概述 计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（1）荷载 c c 1 t 2 1 t t （2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差 AV BV 以上都是绝对位移 以上都是相对位移 广义位移 位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
二、虚功原理 荷载由零增大到P1,其作用点的位移也由零增大到 对线弹性体系P与A成正比 4, P2 元功:dT=P·d B 11 T==B1△ △ 12 再加P2P2在自身引起的位移A2上作的功为: 22=P2△22 在A1过程中,P1的值不变,12=PA12△12与P无关 实功是力在自身引起的位移上所作的功。如T1,T2 l、实功与虚功 实功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12, 如力与位移同向,虚功为正,反向时,虚功为负 产生位移的原因 2021/2214K 位移发生的位置
2021/2/21 3 二、虚功原理 1、实功与虚功 实功是力在自身引起的位移上所作的功。如T11，T22， 实功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 P1 Δ P2 11 Δ22 Δ12 荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到 Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。 Δ P Δ11 P1 元功： 再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功为： 在Δ12过程中，P1的值不变， Δ12与P1无关 dT O A B ΔKj 位移发生的位置 产生位移的原因 dT = P d 11 1 11 2 1 = = T dT P 22 2 22 2 1 T = P T12 = P1 12
、广义力与广义位移 作功的两方面因素:力、位移。与力有关的因素,称为广义力S。与位移有 关的因素,称为广义位移A。 广义力与广义位移的关系是:它们的乘积是虚功。即:T=SA 1)广义力是单个力,则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量 2)广义力是一个力偶,则广义位移是它所作用的截面的转角。 3)若广义力是等值、反向的一对力P T=P△4+P△B=P(△A+△B)=P△P B P 这里A是与广义力相应的广义位移。 B 表示AB两点间距的改变,即AB两点的相对位移C m m 4)若广义力是一对等值、反向的力偶m T=mA+mapB=m(4+(B)=mA 这里A是与广义力相应的广义位移。 B 表不金两截面的相对转角。 4
2021/2/21 4 2、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有 关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量 P Δ m β 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。 3）若广义力是等值、反向的一对力P P P t t A B 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 ΔA ΔB 表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶m A B Δ m m 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 A B 表示AB两截面的相对转角。 T = PA + PB ( ) = P A + B = P T = m A + mB ( ) = m A +B = m
三、虚力原理虚设力系求刚体体系位移 已知c1求A C △=? 设虚力状态 R,·a+P.b=0 虚功方程 C 1·1+R, R b 小结:(1)形式是虚功方程,实质是几何方程; (2)在拟求位移方向虛设一单位力,利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系; (3)特点是用静力平衡条件解决几何问题。 202122单位荷载其虚功正好等于拟求位移
2021/2/21 5 a b A C B 1 c = ? P=1 A B C a b R1 三、虚力原理 已知 1 c 求 虚功方程 设虚力状态 a b R1 a + Pb = 0 R1 = − 1 + R1 c1 = 0 1 c a b = 小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系； （3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。 单位荷载其虚功正好等于拟求位移。 ——虚设力系求刚体体系位移
四、支座位移时静定结构的位移计算 已知位移cA求1)C点的竖向位移A(2)杆CD的转角 C A B C A (2)1·B A 0 A B C 21 多线 多多器 B=一,c B 所得正号表明位移方 多线 向与假设的单位力方向 致。 求 (1)沿所求位移方向加单位力,求出虚励力; 骤解(2)建立虚功方程1+>R 2021/221 步 (3)解方程得A=-∑R·c定出方向 6
2021/2/21 6 四、支座位移时静定结构的位移计算 （1）C点的竖向位移 c （2）杆CD的转角 l 3 2l 3 l A B C D A B C D 1 3 1 3 2 A B C D 1 2l 1 l 2 2l 3 已知位移 A c 求: c A c ( ) 0 3 1 1 1c − c D = c A c 3 1 = ( ) 0 2 1 2 1 − cA = l A c 2l 1 = 所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。 求 解 步 骤 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； （3）解方程得 k k = − R c 定出方向。 （2）建立虚功方程 1 + Rk ck = 0
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因例2、悬臂梁在截面B由于某种原因 产生相对转角d0,试求A点在-i向的产生相对剪位移l,试求A点在i-i向 位移A 的位移A B de A B A ka米a B A B A ka米a A A B a米a M=1·sina·a =1·sna 虚功方程:1△-M.d6=0 dn=0 2021/2/21 =M·d0 77
2021/2/21 7 B d A a a m a a B A d m 1 a a A B M i i M =1sin a 虚功方程：1m − M d = 0 m = M d B A i i B A d Q Q 1 A Q Q =1sin 1Q − Q d = 0 Q = Q d 例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 位移 m 。 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 的位移 Q
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移机试求A点在 工-工方向的位移A。 B c 由平衡条件: N=1·cosa B 虚功方程 1·△Ax-N·d2=0 A △=N·d 当截面B同时产生三种相对位移时,在-i向所产生的位移△ 即是三者的叠加,有 A=4M+A+AN=Md8+2dn+ Nan 2021/221 8
2021/2/21 8 例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d试求A点在 ｉ－ｉ方向的位移 N 。 B A B A i i N N B A 1 N N 由平衡条件： N =1 cos 虚功方程： 1N − N d = 0 N = N d 当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移， 即是三者的叠加，有： = M +Q +N = Md +Qd + Nd d
§9-2结构位移计算的一般公式—变形体的位移计算 由变形体虚功原理来推导; 推导位移计算公式的两种途径 由刚体虚功原理来推导-局部到整体 局部变形时的位移计算公式 基本思路:在刚性杆中,取微段d设为变形体,分析局部变形 所引起的位移。 s ds d2 d ds c 7 7 y。 Q de 2021/2/21 (1)三种变形 R
2021/2/21 9 §9-2 结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算 推导位移计算公式的两种途径{ 由变形体虚功原理来推导； 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。 一、局部变形时的位移计算公式 基本思路： ds d d d R i i d ds d ds d d R ds R 1 = （ 1）三种变形： 在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形 所引起的位移
77 y。 R :d6 (2)微段两端相对位移: d K R M,N, O 1=E·dsam=yds 续基本思咯:设d→>O,微段的变形以截面B左右两端的相对位移的 形式出现,即刚体位移,于是可以利用刚体虚功原理求位移。 (3)应用刚体虚功原理求位移dA-即前例的结论。 dA=4M+AN+40=MdO+ Ndn+ odi 21或d=(Mx+NE+Qy。)s
2021/2/21 10 ds R ds d = = d = ds d = ds ds d d d R i i d ds d ds d d R ds 1 M ,N,Q （2）微段两端相对位移： 续基本思路：设 ds →0, 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的 形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 （3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。 d = M +N +Q = Md + Nd +Qd 或 d ( M N Q )ds = + +
