经典分子动力学方法 中国科学院固体物理研究所 计算材料科学研究室 范巍
经典分子动力学方法 中国科学院固体物理研究所 计算材料科学研究室 范巍
分子动力学基本原理 一个体系有N个原子 体系的状态由这N个原子的位置{r;和动量{p} 或速度{v;}来标。 体系的能量为H({r;,p}) ·体系的运动方程为 p H H at a 分子动力学的主要目的是解上面的方程求得体系状态 相空间演化的轨迹{rp}o,rp},r1,rp}s 进而可计算我们感兴趣的物理量的值Q{rp})
分子动力学基本原理 • 一个体系有N个原子 • 体系的状态由这N个原子的位置{r i}和动量{p i } 或速度{v i}来标志。 • 体系的能量为H({r i,p i}) • 体系的运动方程为 H r p t i i ∂ ∂ = − ∂ ∂ H p r t i i ∂ ∂ = ∂ ∂ 分子动力学的主要目的是解上面的方程求得体系状态 相空间演化的轨迹{r i p i }t0,{r i p i }t1,{r i p i }t2,{r i p i }t3,…… 。 进而可计算我们感兴趣的物理量的值Q({r i,p i})
在实际的应用中,我们把上面的哈密顿方程化为下面的 牛顿方程,并且用位置r和速度v做为描述体系的参量。 H 2m+V({r}) V(G}) V(r:})是原子间相互作用势,通过解上面的方 程我们可以得到体系在相空间得由轨迹,进而 求得物理量得平均值[t(1),(2)t(3).tM Q=2Q({,(m).(m=1 t(m)
在实际的应用中，我们把上面的哈密顿方程化为下面的 牛顿方程，并且用位置 r i和速度 v i做为描述体系的参量。 ({ }) 2 1 1 2 i N i i i H = ∑ m v + V r = ({ }) 2 2 i i dt i d m V r r i r ∂ ∂ = − V({ ri})是原子间相互作用势，通过解上面的方 程我们可以得到体系在相空间得由轨迹，进而 求得物理量得平均值[t(1),t(2),t(3),…t(M)] ({ , } )....( 1,..., ) 1 ( ) Q r v ( ) m M M Q t m = ∑ i i t m =
积分牛顿方程的方法() 1 Verlet法则 r(t+h)-2r (t)+r(t-h V({})+O(h)…(A OI r(t+h)r(t-h +O(h)…(B) 2h *由前两个时刻的位置,根据方程(A)推得下一个时刻得位置 速度由方程(B)计算速度。 需要连续记录两个时刻得位置
积分牛顿方程的方法(I) 1.Verlet法则 ({ }) ( )......( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 2 V r O h A h r r t h r t r t h m i i i i i i + ∂ ∂ = − + − + − ( )......( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 O h B h r t h r t h v t i i i + + − − = *由前两个时刻的位置，根据方程(A)推得下一个时刻得位置 速度由方程(B)计算速度。 *需要连续记录两个时刻得位置
积分牛顿方程的方法(ID) 2 Verlet速度法则 r(t+h)-r() F(t h v(1)+h……(A) 2 v, (t+h)=v(t)+ F(t+h)+F(t hn…(B) 2 需要知道上一个时刻得位置,速度和力,首先由方程(A)计算 新得位置,然后计算新得力F(t+h),再由由方程(B)计算新时 刻得速度,需要储存前一个时刻的位置,速度和力
积分牛顿方程的方法(II) 2.Verlet 速度法则 .........( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) h A m F t v t h r t h r t i i i i = + + − ........( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) h B m F t h F t v t h v t i i i + + + = + 需要知道上一个时刻得位置，速度和力，首先由方程(A)计算 新得位置，然后计算新得力F(t+h)，再由由方程(B)计算新时 刻得速度，需要储存前一个时刻的位置，速度和力
积分牛顿方程的方法(I 3 Leap Frog法则 (+h)-v(t-是h F(t)……() h r(t+h-r(t) V(t+h)…(B) h (t) v(t+,h)+v(t-h) 需要知道上一个时刻得位置r1(t),中间时刻的速度 V1(t-(/2h)和力F;(t),首先由方程(A)计算 Ⅴ1(t/2)h),然后由方程(B)计算新时刻得位置 r;(t+h),再由方程(C)计算V;(t)
积分牛顿方程的方法(III) 3.Leap Frog法则 ( )......... ( ) ( ) ( ) 2 1 v t h B h r t h r t i i i = + + − ( )......... ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 F t A h v t h v t h m i i i i = + − − ........( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 C v t h v t h v t + + − = 需要知道上一个时刻得位置 r i(t)，中间时刻的速度 v i(t-(1/2)h)和力F i(t)，首先由方程(A)计算 v i(t+(1/2)h),然后由方程(B)计算新时刻得位置 r i(t+h)，再由方程(C)计算 v i(t)
积分牛顿方程的方法(V 4 Gear Predictor-Corrector法则 r(t+h)-r(t-h =v(t)……() ch v(t+h)-v()_F(t+h)+F:(t) h (B) r(t+h)-r(1)v(t+h)+v( h 首先由方程(A)初步预测新的位置r:P(t+h),并且计算 力F;(t+h)。然后根据方程(B)计算新的速度v;(t+h) 再由方程(C)计算最后新的位置r;(t+h)
积分牛顿方程的方法(IV) 4.Gear Predictor-Corrector法则 .........( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) B F t h F t h v t h v t m i i i i i + + = + − ( )......... ( ) 2 ( ) ( ) v t A h r t h r t h i i p i = + − − .........( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) C v t h v t h r t h r t i i i + + i = + − 首先由方程(A)初步预测新的位置r i p(t+h),并且计算 力F i(t+h)。然后根据方程(B)计算新的速度v i(t+h). 再由方程(C)计算最后新的位置r i(t+h)
原子间相互作用势v(r}) 两体势( Lennard- Jones, Morse) 惰性气体、简单金属。 原子内嵌势( Embed atom methods) 简单金属,过渡金属 类原子内嵌势 Johnson, Mei potential, Glue potential. Finnis-Sutton Potential 紧束缚势( Tight binding) Tersoff, Brenner, stillinger-Weber potential 半导体
原子间相互作用势V({r i}) • 两体势 (Lennard-Jones,Morse) 惰性气体、简单金属 。 • 原子内嵌势 (Embed Atom Methods) 简单金属，过渡金属 • 类原子内嵌势 Johnson, Mei potential, Glue Potential, Finnis-Sutton Potential • 紧束缚势 (Tight Binding ) • Tersoff,Brennerd,Stillinger-Weber Potential 半导体
两体势 Lennard-Jones Morse M.J.Weins, Surf. Sci. 31, 138(1972) L.A. Girifalco and G.V. Weizer, Phys. Rev, 114, 687(1959) ∑4(z)2-() ∑le -2P0(-1) P0(-1) 1< 冲击势 吸引势
两体势 Lennard-Jones Morse M.J.Weins,Surf. Sci. 31, 138(1972) L.A.Girifalco and G.V.Weizer, Phys.Rev, 114,687(1959) 4 [( ) ( ) ] 12 6 ij ij r r i j V σ σ = ∑ ε − < [ 2 ] 2 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 − − < − − = ∑ − rij r rij r V e e i j ρ ρ ε 冲击势 吸引势
冲击(排斥)部分(阻止原子靠的过近) 原子间平衡距离 吸引势部分(约束原子不散开) 其它原子势尽管数学形势不同,基本上由这两部分组成
cr ac 冲击(排斥)部分(阻止原子靠的过近） 原子间平衡距离 吸引势部分(约束原子不散开) 其它原子势尽管数学形势不同，基本上由这两部分组成