二、单自由度体系自由振动微分方程的解 k my=0…()→计+0y=0(O=yVm (t)=Csin@t+C2cos@t T y(O)=o→C1=0 y(0)=y→ 21010/ Vo/a v(t)=yo cost+osin at y(t)=a sin(@t+a)
二、单自由度体系自由振动微分方程的解 ( ) m k 0 w = 2 m&y&+ky =0LL(a) &y&+w y = y(t )=a sin(wt+a) ( ) cos sin 0 0 w w = w + t v y t y t (0) 0 2 0 y = y C = y ( ) sin cos 1 2 y t =C wt+C wt (0) 0 0 1 w = = v y& v C y(t) t y0 －y0 y(t ) t v0 /ω －v0 /ω T t a －a T α/ω
自振周期计算公式 T=2丌 2丌 st k v g 园频率计算公式:k「1 8 Vm ms wδV△n 些重要性质: (1)自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关,与 外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a (2)自振周期与质量的平方根成正比,质量越大,周期越 大(频率越小);自振周期与刚度的平方根成反比,刚度越 大,周期越小〔频率越大);要改变结构的自振周期,只有 从改变结构的质量或刚度着手。 (3)两个外形相似的结构,如果周期相差悬殊,则动力性 能相差很大。反之,两个外形看来并不相同的结构,如果其 自振周期相近,则在动荷载作用下的动力性能基本一致
其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上 沿振动方向施加的力。 Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视δ、k、 Δst 三参数中哪一 个最便于计算来选用。 自振周期计算公式： 圆频率计算公式： 一些重要性质： （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与 外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越 大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越 大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有 从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性 能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其 自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。 st g W g m m k = = = = w 1 k g m T st = 2 = 2
例4、图示三根单跨梁,E/为常数,在梁中点有集中质量m, 不考虑梁的质量,试比较三者的自振频率。 12 12 12mm12 12 解:1)求δ 2 48EI 768EI 192EI 48E 768E 192EI m 00 7m33 据此可得:o1:02:03=1:1.512:2 结构约束越强其刚度越大刚度越大其自振动频率也越大
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 m m m 解：1）求δ EI l 48 3 1 = P=1 3l /16 5l /32 l / P=1 2 EI l l l l l EI l 768 7 ) 32 5 16 2 3 2 (2 6 1 3 2 1 = − = EI l 768 7 3 2 = EI l 192 3 3 = 3 1 1 1 48 ml EI m = = w 3 2 2 7 1 768 ml EI m = = w 3 3 3 1 192 ml EI m = = w 据此可得：ω1 ׃ ω2 ׃ ω3= 1 ׃ 1.512 ׃ 2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大
例5、求图示结构的自振圆频率 解法1:求k0=1h k El 3El Moa=kh= Mdc=3-0 与→0O El BEI k m…… 2 k 3EI Mhi 解法2:求δ lI 1 h 2h lh bEN e2 3 3E m mlh
1 θ 例5、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k θ=1 /h MBA=kh = MBC k l h m I→∞ EI B A C lh EI l EI 3 =3 = mh l EI m k 2 3 w = = 2 3 lh EI k = 1 h 解法2：求 δ EI lh h lh EI 3 3 2 2 1 2 = = 2 11 1 3 mlh EI m = = w
例6、求图示结构的自振频率 解:求k gEl BEI k El k1=k+ k 3B/3+k 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 °如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时,所有刚节点 都不能发生转动(如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。 2EI 兩端刚结的杆的侧移刚度为 ·端铰结的杆的侧移刚度为: BEI
例6、求图示结构的自振频率。 l EI m k 1 k k11 11 k 3 3 l 解：求 k EI 11 3 3 l EI k = k + m k m k l EI + = = 3 3 11 w •对于静定结构一般计算柔度系数方便。 •如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。 3 12 l EI 一端铰结的杆的侧移刚度为： 3 3 l EI 两端刚结的杆的侧移刚度为：
五、阻尼对自由振动的影响 忽略阻尼影响时所得结果大体上反映实际结构的振动规律。 忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性,与外因无关。 简谐荷载作用下有可能岀现共振。 自由振动的振幅永不衰减 自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。 产生阻尼的原因:结构与支承之间的外摩擦;材料之间的内摩 擦;周围介质的阻力。 阻尼力的确定:总与质点速度反向大小与质点速度有如下关系: ①与质点速度成反比(比较常用,称为粘滯阻尼)。 ②与质点速度平方成反比(如质点在流体中运动受到的阻力)。 ③与质点速度无关(如摩擦力)。 粘滯阳尼力的分析比较简单,(因为R()=-Cy) 其他阻尼力也可化为等效粘滯阻尼力来分析
五、阻尼对自由振动的影响 忽略阻尼影响时所得结果 大体上 能不能 反映实际结构的振动规律。 忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。 产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩 擦；周围介质的阻力。 阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系： ①与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 ②与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 ③与质点速度无关（如摩擦力）。 粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=－Cy ). 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析
振动模型 有阻尼的自由振动,动平衡方程: my+cy+ky=0 (15.14) y 6n,5=%mo(阻比) j+2o+O2y=0 (15.16) 设解为:y=(e 特征方程为:x2+22+2=0 1)2<1(低阻尼)情况 元=0( 5=2 =-5±io1其中On=y y=el( -1cOSO t+C2sio)低阻尼体系的自振圆频率 ot Vo toyo y=e Vo coS@rt+ sino. t
振动模型 y ky m & y & k m cy & y 有阻尼的自由振动，动平衡方程： m & y & + cy & + k y = 0LLL(15.14) w w m c m k 2 = , = ( 阻尼比） ( 1) 2 l =w − ± − 2 0 2 2 ( )= l + wl +w = lt 设解为：y t Ce 特征方程为： 1)ξ<1（低阻尼）情况 2 l =−w iwr 其中 wr =w 1− y e (C t C t) r r t w w w = 1 cos + 2 sin − + = + − t v y y e y t r r r t w w w w w cos sin 0 0 0 c 2 0 (15.16) & y & + wy & +w 2 y = LLL 令 低阻尼体系的自振圆频率
y=e asin(@ t+a) ae ot 2(v0+5oy0)2 a=y tga v+5y0 低阻尼yt线 ①阻尼对自振频率的影响 ● ,=0√l-2<o,随个而↓ 当ξ<02,则存 在09600<1。在 工程结构问题中, 若001<<0.1,可近 似取: T=T 无阻尼y曲线
0 0 0 2 2 2 0 0 0 ( ) sin( ) v y y tg v y a y y e a t r r r t w w a w w w a w + = + = + = + − ae-ξωt t y t y 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 ①阻尼对自振频率的影响. w =w 1− w, 随 而 2 r 当ξ<0.2，则存 在0.96<ωr /ω<1。在 工程结构问题中， 若0.01<ξ<0.1，可近 似取: wr =w, Tr =T
②阻尼对振幅的影响 振幅qe如随时间衰减,相邻两个振幅的比 ykH=e37=常数振幅按等比级数递减 k 经过一个周期后,相邻两振幅v和yk+的比值的对数为: hyk=57=、3π称为振幅的对数递减率 Vk+ 如2<02则一≈1,∴5= O In y Yk 2I o yk+ 2 yk+ 设k和Vk+是相隔Ⅵ个周期的两个振幅则: In 工程中常用此 2myk+n方法测定阻尼
r T k k e T y y w w w w 2 ln ln 1 = = = + 称为振幅的对数递减率. 1 1 ln 2 1 ln 2 1 0.2 1, + + = = k k k r r k y y y y w w w w 如 则 k n k y y n + = ln 2 1 设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则: 经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为: 工程中常用此 方法测定阻尼 ②阻尼对振幅的影响. 振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比 + = − T =常数 k k e y y 1 w 振幅按等比级数递减
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共训水平力P=98kN,测得侧移A40=05cm, 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=15s及 个周期后的侧移41=04cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c 1.0.5 解∵nyk+12z040035 - In = 9.8kN 2丌2丌 4.189s T1.5 P9.8×10 k= 196×104N/ A00.005 c=25m0=25m022k 2×0.0355×196×10 33220N·s/m=3322Ns/cm 4.189
EI=∞ m 例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m 9.8kN ，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 解： 0.0335 0.4 0.5 ln 2 1 ln 2 1 1 = = = + k k y y N m A P k 196 10 / 0.005 9.8 10 4 3 0 = = = 1 4.189 1.5 2 2 − = = = s T w = w 2k c=2mw= w 2mw 2 33220 N s/m 332.2N s/cm 4.189 2 0.0355 196 104 = = =