第十三章动能定理
第十三章 动能定理
S1力的功 度量力在一段路程上对物体作用的积累效应 ·结果:物体的机械能发生变化 常力的功 力矢量与位移矢量的数量积 F S W=FS=FScoSO
§1 力的功 • 度量力在一段路程上对物体作用的积累效应。 • 结果：物体的机械能发生变化。 一、常力的功 S W=F·S=FScosφ 力矢量与位移矢量的数量积。 v F φ
二、变力的功 质点M在力F的作用下 作曲线运动, M→M',ds=MM",dr=MM F M 力F与质点的无限小位移dr的 k 数量积,称为力的元功 y SW=Fdr -FdscosP ds与dr为同阶无穷小 若将F与r沿坐标轴分解,则 F=Xi+rj+zk, dr=dxitdvi+dzk SW=Fdr= Xdx+Ydy+ zdz 元功的解析表达式 (Xdx Idy+ Zdz) 功的解析表达式」
二、变力的功 • 质点M在力F的作用下 作曲线运动， x o z y r dr F φ M1 M2 τ M→M' ，ds = MM' ， 力F与质点的无限小位移 dr 的 数量积，称为力的元功。 δW =F·dr ds 与 dr为同阶无穷 小 ds dr = MM' δW = F·dr = Xdx+Ydy+Zdz F=Xi+Yj+Zk ，dr =dxi+dyj+dzk ， r F M1 M2 ds r F M1 M2 ds r F M1 M2 ds dr M φ τ 功的解析表达式 元功的解析表达式 M' =Fdscosφ ds 与 dr为同阶无穷 小 ds 与 dr为同阶无穷 小 ds 与 dr为同阶无穷小! i j k 若将F与r沿坐标轴分解，则
几种常见力的功 重力的功 M 设质点由M1运动到M2, 重力的在坐标轴上的投影为 X=0,Y=0,z-P 对于质点系,有 特点:重力的功只与重心的起止位置的高度差有关 而与路径无关
P 三、几种常见力的功 ⒈重力的功 特点：重力的功只与重心的起止位置的高度差有关 而与路径无关。 x z y o 设质点由M1运动到M2， z1 z2 M X=0，Y=0，Z=－P 重力的在坐标轴上的投影为 P M 对于质点系，有 M1 M2 即
2.弹性力的功 设弹簧原长为l,刚度系数为k, M 则弹性力为 MI d 弹性力的元功为 点M由M1到M2时,弹性力的功为
r1 ⒉ 弹性力的功 设弹簧原长为l，刚度系数为k， 则弹性力为 M M1 M2 r2 r l r1 O M M1 M2 r2 r1 M M1 M2 r2 r1 M M1 M2 r2 l r F δ1 F δ2 δ ∴弹性力的元功为 点M由M1到M2时，弹性力的功为 δ2
结论 弹性力的功为 式中δ1-初始位置弹簧变形量 δ-了位置弹簧变形量 弹性力的功的特点 弹性力的功只与起止位置弹簧的变形 量有关而与路径无关
结 论 • 弹性力的功为 弹性力的功只与起止位置弹簧的变形 量有关而与路径无关。 • 弹性力的功的特点 式中1-----初始位置弹簧变形量； 2 -----末了位置弹簧变形量；
3.定轴转动刚体上作用力的功 力F=F+F+F2 刚体转动时,力F和F2方向上无位移, F和F不作功 力F的元功为δW=Fdr=Fds FoRdo 式中R为力F作用点A到转轴的距离 又M2()=M(F)=FR=M2 y 力F的元功为8W=Md 刚体从角q1转到a2时, 力F作的功为 Wp- M(F)d
o1 ⒊定轴转动刚体上作用力的功 力 F = Fτ+Fr+Fz F Fz z x y o r ∵ 刚体转动时，力Fr和Fz 方向上无位移， δW = F·dr = Fτds = Fτ R d ∴力 F的元功为 δW = Mzd ∴ Fr和Fz 不作功。 Fr F ω F r Fr F F r Fr F F r Fr F ∴力 Fz F的元功为 A 式中 R为力F作用点A到转轴的距离。 又 Mz(F) = Mz(F) = F R = Mz 刚体从角1转到2时， 力 F 作的功为
4.力偶的功 M F ds MEFr d δW=Fd+F0=Prd 即力偶M的元功为 δW=Ma 当刚体转过角q时 力偶M的功为
⒋力偶的功 当刚体转过角时, 力偶M的功为 M M=Fr r F F' d δW = Fds+F’· 0 = Fr d 即力偶M的元功为 δW = Md M=Fr F F' d M=Fr F F' d M=Fr F F' d M ds
5.平面运动刚体上力系的功 设刚体在力系F1、F2、F作用下作 平面运动, 在M内,刚体质心位移ds,转角dg, d 则M的位移dr=drc+dric SWi=Fi dri=Fi drc+ Fi dric Fic dric=Fi cosB- M C- do-MFido ∴平面运动刚体上力系的元功 W=∑W=∑Fdre+∑M(Fhd 力F对质心之矩 或⑧W=FRdr+Mcd 力系的主矢 力系对质心之主矩
⒌平面运动刚体上力系的功 • 设刚体在力系F1、F2、…Fn作用下作 平面运动， Fi θ dric drc 在dt内，刚体质心位移drc， d C dri = drC +driC δWi = Fi ·dri Mi FiC · driC = Fi cosθ·MiC ·dφ=Mc(Fi)d 力Fi对质心之矩 θ Fi dric drc d C Mi Fi dric drc d C Mi Fi dric drc d C Mi = Fi ·drc + Fi · driC ∴平面运动刚体上力系的元功 δW=∑δWi = ∑ Fi ·drc + ∑ Mc(Fi)d δW = FR '·dr 或 c +MC d 力系的主矢 力系对质心之主矩 则Mi的位移 转角d ， 力系的主矢 力系对质心之主矩 力Fi对质心之矩
结论 平面运动刚体上力系的元功 OW=FR drc +Mc do 平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论质心简化所得的力和力偶作功之和
结 论 δW = FR '·drc +MC d 平面运动刚体上力系的功等于力系向 质心简化所得的力和力偶作功之和。 结 论 •平面运动刚体上力系的元功 •平面运动刚体上力系的功