第七章粘性流体 动力学基础 在研究粘性系数较小的流体在流速不大的 情况下,可以近似地看成是理想流体流动,用 前面讲的欧拉运动微分方程以及第六章理想流 体的势流理论来讨论。但若流体的粘性影响不 可忽略时,就不能用上述理论,要采取其他的 方法,也就是本章将讲述的内容
第七章 粘性流体 动力学基础 在研究粘性系数较小的流体在流速不大的 情况下，可以近似地看成是理想流体流动，用 前面讲的欧拉运动微分方程以及第六章理想流 体的势流理论来讨论。但若流体的粘性影响不 可忽略时，就不能用上述理论，要采取其他的 方法，也就是本章将讲述的内容
第一节纳维尔-斯托克斯 方程 粘性流体中的应力 粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。 在粘性流体表面上任取一点N,过N作微元面积△A 其外法线方向矢量为n,切线方向为,N点的表面应力 分为法向应力p和切向应力τ,pn和τ随微元面积A在空 间的位置而变化。在直角坐标系中将p和沿x,y 个坐标轴分解成9个应力分量,即(nrn (注意:应力符号中的下标,下标第一个字母表示作用面的法线方 向,第二个字母表示应力作用线的指向。) 在这9个分量中,rn=rm, a,=r2,因此只 有6个独立分量
第一节 纳维尔-斯托克斯 方 程 一 粘性流体中的应力 粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。 在粘性流体表面上任取一点N，过N作微元面积ΔA， 其外法线方向矢量为 ，切线方向为 ，N点的表面应力 分为法向应力pn和切向应力τ， pn和τ随微元面积ΔA在空 间的位置而变化。在直角坐标系中将pn和τ沿x，y，z三 个坐标轴分解成9个应力分量，即 。 （注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方 向，第二个字母表示应力作用线的指向。） 在这9个分量中， ， ， ，因此只 有6个独立分量。 n zx xy zz yx yy yz xx xy xz p p p xy yx = xz zx = yz zy =
二粘性流体的运动方程 在粘性流体的任意点A附近,取一棱边平行 于坐标轴的平行六面体微团,其边长分别为dx dy、dz,表面应力在y轴上分量如图 y轴上合力为 )d+d-(n+xd)h(1) +T- dxdy-(T dz )dxdy+ pYdxdydz )dxdydz prdxdydz 流体微园质量与y轴加速度的乘积为 prdxdydz 由牛顿第二定律(1)=(2),化简
二 粘性流体的运动方程 在粘性流体的任意点A附近，取一棱边平行 于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、 dy、dz，表面应力在y轴上分量如图。 y轴上合力为： （1） 流体微团质量与y轴加速度的乘积为 （2） 由牛顿第二定律（1）=（2），化简 dxdydz Ydxdydz y z p x dz dxdy Ydxdydz z dxdy dx dydz x dy dxdz dydz y p p dxdz p xy yy z y z y z y z y xy xy xy yy yy yy + + + = − + + − + + − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) dt dv Ydxdydz y
aT ap a du 对于x、轴同理有 d u (3) dt 方程(3)就是以应力表示的粘性流体运动微分方程,通 常X、Y、Z作为已知量,不可压缩流体P已知,方程应 包含六个应力及三个速度分量,共9个未知数。而方程 (3)加上连续性方程也只有4个方程,无法求解,必须 找出新的补充关系式
对于x、z轴同理有 （3） 方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通 常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应 包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程 （3）加上连续性方程也只有4个方程，无法求解，必须 找出新的补充关系式。 dt dv y z p x Y xy yy zy x = + + − ( ) 1 = + + − = + + − dt dv z p x y Z dt dv x y z p X xz yx z z z xx yx z x x ( ) 1 ( ) 1
三应力与变形速度的关系 白牛顿内摩擦定律知,切应力与速度梯度关系为 dn 在层流中取正方形流体微元面积abcd,流层间存在相对 边线的转角为0=k轻时间d后变成abcd,ab 速度,在运动中必然变形 那么角变形速度为 牛顿内摩擦定律也可以写成x=d v+dv d
三 应力与变形速度的关系 由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为 （4） 在层流中取正方形流体微元面积abcd，流层间存在相对 速度，在运动中必然变形，经时间dt后变成a ’b ’ c ’d ’ ，ab 边线的转角为 ， ，那么角变形速度为 ，牛顿内摩擦定律也可以写成 dn dv = − d dn dvdt d = tgd = dn dv dt d = dt d = −
流体微团绕轴的剪切角速度为 de 流体微团各表面上的切应力为 =-2AE Ov (5) ry==ry=-H(+,)=-2/ av a 法向应力的大小与其作用面的方位有关,实际问题中 法向应力用平均值p作为某点的压力p=1(pn+pn+D2),可 认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加 压应力,即pa=P+P Pu=p+p p.= p+p
流体微团绕z轴的剪切角速度为 流体微团各表面上的切应力为 （5） 法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中， 法向应力用平均值p作为某点的压力 ，可 认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加 压应力，即 ， ， xy x y x v y v d = 2 + =（ ） = − + = = − = − + = = − = − + = = − xz x z xz z x yz y z yz z y xy x y xy yx x v z v y v z v x v y v ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 1 xx yy zz p = p + p + p ' pxx = p + pxx ' yy yy p = p + p ' pzz = p + pzz
附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到: aa_a (6) 方程(6)称为广义牛顿内摩擦定律 Pr= p-2u 因此 Py=p-2p p==p-2 由不可压缩流体的连续性方程,将方程(7)中三个式子 相加后平均得到,正好验证了前面的论述
附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到: (6) 方程（6）称为广义牛顿内摩擦定律。 因此 (7) 由不可压缩流体的连续性方程 ，将方程（7）中三个式子 相加后平均得到，正好验证了前面的论述。 = − = − = − z v p y v p x v p z zz y yy x xx 2 2 2 ' ' ' = − = − = − z v p p y v p p x v p p z zz y yy x xx 2 2 2
四 Navier-stokes方程 将方程(5)、(7)代入方程(3),对于x轴方向的方程为 du )+-[( 化简 ) 方程右边第三项引入 Laplace算子 第四 项由连续性方程判断应该等于0,最后得到 同理 (8 方程(8)就是不可压缩流体的 Navier-stokes方程,简称 N-S方程。该方程是一个二阶非线性偏微分方程组,目前 尚无普遍解,但对于一些简单流动可化成线性方程求解
四 Navier-Stokes方程 将方程（5）、(7)代入方程（3），对于x轴方向的方程为： 化简 方程右边第三项引入Laplace算子 ，第四 项由连续性方程判断应该等于0，最后得到 同理 （8） 方程（8）就是不可压缩流体的Navier-Stokes方程，简称 N-S方程。该方程是一个二阶非线性偏微分方程组，目前 尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解。 dt dv x v z v x z v y v x y v p x X x x y x z x = + − + + − + − − { ( 2 ) [ ( )] [ ( )]} 1 dt dv z v y v x v z x v y v x v x p X x x x x y z x = + + + + + + − [( )] [( )] 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z + + = + = − + = − + = − dt dv v z p Z dt dv v y p Y dt dv v x p X z z y y x x 2 2 2 1 1 1
第二节边界层的 基本概念 用NS方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解, 工程上涉及到大雷诺数流动,要寻求新的近似方法。 在实际流体绕流固体时,固体边界上的流速为0,在 固体边界的外法线方向上的流体速度从0迅速增大, 界附近的流区存在相当大的速度梯度,在这个流区入 性作用不能忽略,边界附近的流区称为边界层(或附 层),边界层外流区,粘性作用可以忽略,当作理想流 体来处理
第二节 边界层的 基本概念 用N-S方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解， 工程上涉及到大雷诺数流动，要寻求新的近似方法。 在实际流体绕流固体时，固体边界上的流速为0，在 固体边界的外法线方向上的流体速度从0迅速增大，在边 界附近的流区存在相当大的速度梯度，在这个流区内粘 性作用不能忽略，边界附近的流区称为边界层（或附面 层），边界层外流区，粘性作用可以忽略，当作理想流 体来处理
注意: 1.对于平板绕流,边界层外缘,对于弯曲固壁,边界层外缘 2.边界层的外边界线与流线不重合,外流区域中的流体质点可以连续地穿过边界层的外缘 进入边界层内。 如图,平板丽万均匀釆流的速度v,从平板丽缘开始形 成边界层,其厚度沿流增加。在边界层外缘附近流速渐 近于当地外流速度。认为边界层厚度是沿表面法线方向 从到的一段距离。 边界层定义:绕流物体表面上一层厚度很小且其中 动具有很大法向速度梯度的流动区域。 0.99V 层流边界层 过渡区域 紊流边界层
如图，平板前方均匀来流的速度v∞，从平板前缘开始形 成边界层，其厚度沿流增加。在边界层外缘附近流速渐 近于当地外流速度。认为边界层厚度是沿表面法线方向 从到的一段距离。 边界层定义：绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流 动具有很大法向速度梯度的流动区域。 注意： 1. 对于平板绕流，边界层外缘，对于弯曲固壁，边界层外缘。 2. 边界层的外边界线与流线不重合，外流区域中的流体质点可以连续地穿过边界层的外缘 进入边界层内