《结构力学》课程教学资源（PPT教案课件）第九章 位移法

构力 第九23

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第九章位移法 D§91概述 §9-2等截面直杆的转角位移方程 D§93位移法的基本未知量和基本结构 §9_4位移法的典型方程及计算步骤 §9-5直接由平衡条件建立位移法基本方程 P§96对称性的利用

2 第九章 位 移 法 §9—1 概述 §9—2 等截面直杆的转角位移方程 §9—3 位移法的基本未知量和基本结构 §9—4 位移法的典型方程及计算步骤 §9—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §9—6 对称性的利用

§9—1概述 力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。力法于十九世纪末开始应用, 位移法建立于上世纪初。 力法以多余未知力为基本未知量, 由位移条件建立力法方程,求出内力后再 计算位移。 位移法以某些结点位移为基本未 知量,由平衡条件建立位移法方程,求出 位移后再计算内力。 返回

3 §9—1 概 述 力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。力法于十九世纪末开始应用， 位移法建立于上世纪初。 力法—— 位移法——以某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力。 以多余未知力为基本未知量， 由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移。 返 回

位移法的基本概念 以图示刚架为例予以说明 刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。在刚结点1处发生转 §2 角Z1,结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁(见图)。 其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 2 这两种情况下的内力均可以由力法 求。同理,13杆可以视为一根一端 EI=常数 固定另一端铰支的梁(见图)。而 在固定端1处发生了转角Z1,其内 力同样由力法求出。 可见,在计算刚架时,如果以 Z1为基本未知量,设法首先求出Z1, 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。(

4 位移法的基本概念 以图示刚架为例予以说明 1 2 3 EI=常数 P 2 l 2 l 刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。 Z1 Z1 在刚结点1处发生转 角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。 1 P Z1 2 其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 求。同理， 13杆可以视为一根一端 固定另一端铰支的梁（见图）。 1 3 Z1 而 在固定端1处发生了转角Z1，其内 力同样由力法求出。 可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。 Z1 返 回

由以上讨论可知,在位移法中须解 决以下问题: (1)用力法算出单跨超静定梁在杆 端发生各种位移时以及荷载等因素作 用下的内力。 (2)确定以结构上的哪些位移作为 基本未知量。 (3)如何求出这些位移。 下面依次讨论这些问题。 返回

5 由以上讨论可知，在位移法中须解 决以下问题： （1）用力法算出单跨超静定梁在杆 端发生各种位移时以及荷载等因素作 用下的内力。 （2）确定以结构上的哪些位移作为 基本未知量。 （3）如何求出这些位移。 下面依次讨论这些问题。 返 回

§9—2等截面直杆的转角位移方程 本节解决第一个问题。 用位移法计算超静定刚架时,每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时,要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力。为了应 用方便,首先推导杆端弯矩公式 如图所示,两端固定的等截 面梁除受荷载及温度变化外, t1B 两支座还发生位移:转角φA EI 2 qB及侧移△啭角QA、q顺时 A 针为正,△A则以整个杆件顺 时针方向转动为正。 在位移法中,为了计算方便,弯 矩的符号规定如下:弯矩是以对杆 端顺时针为正对结点或对支座以∈ 返回

6 §9—2 等截面直杆的转角位移方程 本节解决第一个问题。 用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便，首先推导杆端弯矩公式。 如图所示，两端固定的等截 面梁， A B L EI P t1 t2 A′ B′ A B AB 除受荷载及温度变化外， 两支座还发生位移：转角 A、 B及侧移△AB转角。A、 B顺时 针为正， △AB则以整个杆件顺 时针方向转动为正。 在位移法中，为了计算方便，弯 矩的符号规定如下：弯矩是以对杆 端顺时针为正(对结点或对支座以 逆时针为正图中所示均为正值。 )。 MAB A MBA B 返 回

用力法解此问题,选取基本 B 结构如像余未知力为1、Ⅹ2。 力法典型方程为 δ1X1+62xX2+△P+△t+△1△=A BAL 821X1+62X2+△2p+△2t+△2△=qB PB 为计算系数和自由项,作M1 M2、Mp图。由图乘法算出: X L L δ 11 3EⅠ 3EI 图 12 1 6El 0Ⅹ B 2P=O X M2图 EI L EL L 图 由图知△1△=△2=BAB AB 这里,βAB称为弦转角,顺时针为828 正。△1、△2由第七章公式计算

7 A B L EI P t1 t2 A′ B′ A B AB 用力法解此问题，选取基本 结构如图。 P t1 t2 X1 X2 X3 多余未知力为X1、X2。 力法典型方程为 11X1+12X2+ △1P+ △1t+ △1△=A 21X1+22X2+ △2P+ △2t +△2△=B 为计算系数和自由项，作 、 、MP图。 M1 图 1 M2 图 1 MP图 XA XB  由图乘法算出： ， ， AB 由图知 这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。△1t、 △2t 由第七章公式计算。 返 回

将以上系数和自由项代入典型方程,可解得 4EⅠ 2EL 6EI 20 EIa△t X=PA+ (B-2 AAB-72(2XB-xA h X2=4F ZEI 6EI 2 HI△t PB+A △AB+m2(2xA-X)+ h El 令i 称为杆件的线刚度。此外,用MA代替X1,用 MBA代替2,上式可写成 6 MAB=4iQA+2iqB-△B+M AB (9-1) M2△=40B+29<3Da+MAB 式中 20 EIa△t MA= AB 2(2XB XA ∠0 EIa△t 9-2) M、(s)+ Ma2M爆此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用三 弯矩,称为固端弯矩

8 将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1 = X2 = 令 称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用 MBA代替X2，上式可写成 MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－ (9—1） 式中 (9—2） 是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端 弯矩，称为固端弯矩。 返 回

6 ab= 41(PA+2i ( PB △ AB +M AB 6 MBA=41B+21A△B+M F AB 式(9-1)是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式,通常 称为转角位移方程。 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图),其转角位移方程 可由式(9-1)导出,设B端为铰支,则因 Mba 41 B+2i (p 6 △B+MB=0 P 3 有q=-(4-,△g EI 2 2 可见,φp可表示为A、△AB的函数。将 此式代入式(9—1)第一式,得 MA=30-3△+Mm(93)(转角位移方程 式中MF=M-MBA 3ox3EIa△t 杆端弯矩求出后,杆端剪力便不难由平衡条件求出 h (94)(固端弯矩)

9 MAB= 4iA+2iB __ MBA= 4iB +2iA __ (9—1） 式(9—1）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常 称为转角位移方程。 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)，其转角位移方程 可由式(9—1）导出，设B端为铰支，则因 A B EI P t1 t2 l MBA= 4i B +2i A __ =0 可见，B可表示为A、△AB的函数。将 此式代入式(9—1)第一式，得 MAB=3iA (9—3）（转角位移方程） 式中 （9—4）（固端弯矩） 杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。 有 返 回

§9-3位移法的基本未知量和基本结构 1.位移法的基本未知量 在位移法中,基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时,应首先确定独立的角位移和线位移数目。 (1)独立角位移数目的确定 由于在同一结点处,各杆端的转角都是相等的,因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处,其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角,由上节可 知,它们不是独立的,可不作为基本未知量。 这样,结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。 例如图示刚架 独立的结点角位移 数目为2。 返回

10 §9—3 位移法的基本未知量和基本结构 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。 (1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。 1.位移法的基本未知量 这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。 例如图示刚架 1 2 3 4 5 6 独立的结点角位移 数目为2。 返 回