第六章理翘流体动力 实际流体都有粘性,在流体力学研究中,为了简 化问题,引进了理想流体这一假设的流体模型,理想 流体的粘度为0。在实际分析中,如果流 很小 且质点间的相对速度又不大时,粘性应力 把这类流体看成是理想流体。理想流体一般不存在热 传导和扩散效应。 理想流体除了对研究流体运动规律具有理论意义,而 且对解决某些工程实际问题具有指导意义。本章将对 理想流体运动作较为详细的探讨
第六章 理想流体动力学 实际流体都有粘性，在流体力学研究中，为了简 化问题，引进了理想流体这一假设的流体模型，理想 流体的粘度为0。在实际分析中，如果流体粘度很小， 且质点间的相对速度又不大时，粘性应力是很小的， 把这类流体看成是理想流体。理想流体一般不存在热 传导和扩散效应。 理想流体除了对研究流体运动规律具有理论意义，而 且对解决某些工程实际问题具有指导意义。本章将对 理想流体运动作较为详细的探讨
第一节平面势流 平面流动是指对任一时刻,流场中各点的速度都 平行于某一固定平面的流动,并且流场中物理量(如 温度、速度、压力、密度等)在流动平面的垂直方向 上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标及 时间有关。 在实际流动中,并不存在严格意义上的平面流动 而只是一种近似。如果流动的物理量在某一个方向的 变化相对其他方向上的变化可以忽略,而且在此方向 上的速度很小时,就可简化为平面流动问题处理。 后面讨论的都是平面势流,势流(有势流动)就 是无旋流动,其流场中毎个流体微团不发生旋转,角 速度 =0
第一节 平面势流 平面流动是指对任一时刻，流场中各点的速度都 平行于某一固定平面的流动，并且流场中物理量（如 温度、速度、压力、密度等）在流动平面的垂直方向 上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标及 时间有关。 在实际流动中，并不存在严格意义上的平面流动， 而只是一种近似。如果流动的物理量在某一个方向的 变化相对其他方向上的变化可以忽略，而且在此方向 上的速度很小时，就可简化为平面流动问题处理。 （图1） 后面讨论的都是平面势流，势流（有势流动）就 是无旋流动，其流场中每个流体微团不发生旋转，角 速度 = 0
图 1 绕冀型的流动
第二节速度势函数和 流函数 速度势函数 有势流动(无旋流动)流体微团角速度O=0,或 O=021+0,j+k=0 得到 尽少0全微分存在的充分必要条件: 若u=xyz1的各偏导数都存在且)=0 连续,则有 Ov a 所以 dx+dy+dz+ 上式成立,意味着在流云 分的充分必要条件,用(x,yz表示,该函数的全微分 为 定常流动,不考虑 和=+,h+里的影响,提爹变(1)
第二节 速度势函数和 流函数 一 速度势函数 有势流动（无旋流动）流体微团角速度 ，或 得到 所以 上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足全微 分的充分必要条件，用Φ(x,y,z,t)表示，该函数的全微分 为： (1) = 0 =x i + y j +z k = 0 ( ) 0 2 1 = − = z v y v y z x ( ) 0 2 1 = − = x v z vx z y ( ) 0 2 1 = − = y v x vy x z z v y vz y = x v z vx z = y v x vy x = d v dx v dy v dz = x + y + z 定常流动，不考虑 t的影响，t是参变 量 全微分存在的充分必要条件： 若u=f(x,y,z,t)的各偏导数都存在且 连续，则有 dt t u dz z u dy y u dx x u du + + + =
Φ函数的全微分、的Nx心B (2) 比较(1)和(2)式,得到 av (3) 定义函数Φ(x,yz称为势函数,由Φ可计算得到速度 根据伯努利方程得到流场中压强的分布
Φ函数的全微分 （2） 比较（1）和（2）式，得到 （3） 定义函数Φ(x,y,z,t)称为势函数，由Φ可计算得到速度， 根据伯努利方程得到流场中压强的分布。 dz z dy y dx x d + + = x v x = y v y = z v z =
速度势函数的特性 1势函数的方向导数等王速度在该方向上的 2存在势函数的流动一定是无旋流动 3等势面与流线正交 4不可压缩流体中势函数是调和函数
速度势函数的特性 1 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影 2 存在势函数的流动一定是无旋流动 3 等势面与流线正交 4 不可压缩流体中势函数是调和函数
特性1 空间曲线上任取一点M(x,,),M点处流体质点速度分 量为、V、V2,取速度势函数的方向导数 as ax ds ay ds az ds 其中:a acp 而 cos(s, x) cos(s, y) ds ac 则a=".0.x)+",o0s,y)+".,3)= 速度的分量v、vv分别在曲线s的切线上的投影之和 等于速度矢量本身的投影vs 速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速 度分量
特性1 空间曲线s上任取一点M(x,y,z)，M点处流体质点速度分 量为vx、vy、vz，取速度势函数的方向导数 其中： ， ， 而 ， ， 则 速度的分量vx、vy、vz分别在曲线s的切线上的投影之和 等于速度矢量本身的投影vs。 速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速 度分量。 ds dz ds z dy ds y dx s x + + = x v x = vy y = z v z = cos(s, x) ds dx = cos(s, y) ds dy = cos(s,z) ds dz = x y z s v s x v s y v s z v s = + + = cos( , ) cos( , ) cos( , )
特性2 设对某一流动,存在势函数Φ(xyzt),流动的角 速度分量 ac a ag 类似的推出 0 可见,流场存在速度势函数则流动无旋,因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在
特性2 设对某一流动，存在势函数Φ(x,y,z,t)，流动的角 速度分量 类似的推出 可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在。 [ ( ) ( )] 0 2 1 ( ) 2 1 = − = − = z y z z y v y vz y x y =z = 0
特性3 等势面:在任意瞬时t,速度势函数取同一值的点构 成流动空间一个连续曲面,Φ(x2y,zt0=常数。 在等势面上取一点O,并在该面上过0任取一微元矢 量dL=di+d+dk,求与点O处速度的标量积。 vdL=(vr i+vr j+v, k).(dxi+dyj+dzk) adp =v d+v dy+v, dz d r_ agp dy+-dz =dg 因为Φ(x,y,zt0=C,所以d=0 得到vdi 这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的 又因为速度矢量与流线方向一致,推出流线与等势面垂 直
特性3 等势面：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构 成流动空间一个连续曲面，Φ(x,y,z,t0)=常数。 在等势面上取一点O，并在该面上过O任取一微元矢 量 ，求 与点O处速度 的标量积。 因为Φ(x,y,z,t0)=C ，所以 dΦ=0 得到 这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂 直。dL = dxi +dy j+dzk d L v = + + = + + = = + + + + d dz z dy y dx x v dx v dy v dz v d L ( v i v j v k ) ( dxi dy j dzk ) x y z x y z v d L = 0
特性4 不可压缩流体的连续性方程为 对于有势流动∞=,,A=,,= a2①a①a2① 即v=0,满足 Laplace方程。而满足 Laplace方程的函数 就叫做调和函数
特性4 不可压缩流体的连续性方程为 对于有势流动 ， ， 即 ，满足Laplace方程。而满足Laplace方程的函数 就叫做调和函数 = 0 + + z v y v x vx y z x v x = y v y = z v z = 0 2 2 2 2 2 2 = + + x y z 0 2 =