告构力学 第四
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第四章静定拱 §4-1概述 §4-2三铰拱的数解法 §4-3三铰拱的合理拱轴线
2 第四章 静 定 拱 §4-1 概述 §4-2 三铰拱的数解法 §4-3三铰拱的合理拱轴线
§4-1概述 1.拱的概念:杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产 生水平反力的结构。 2拱常用的形式三较拱 两铰拱M无铰拱 3.拱的特竖向荷载作用下会产生水平反力(推 力),截面上主要承受压力,应力分布均匀。 4.拱的各部分名称 拱顶拱轴线 拱 拱高f拱 f 趾 高跨比 起拱线 L 跨度L 返回
3 §4—1 概述 1. 拱的概念： 2 .拱常用的形式 3. 拱的特点： 4. 拱的各部分名称 跨度L 起拱线 拱顶 拱 拱高ƒ 趾 拱 趾 拱轴线 高跨比 L f 杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产 生水平反力的结构。 在竖向荷载作用下会产生水平反力（推 力），截面上主要承受压力，应力分布均匀。 三铰拱 两铰拱 无铰拱 返 回
§4-2三铰拱的数解法 1.支反力的计算 a b1 支反力计算同三铰刚架。 2 由∑MB=0及∑MA=0 Pb 得VA a B 长 L V ∑Pa1 (b) B L P 2 由∑X=0可得HA=HB=H 取左半拱为隔离体,由∑M=0有VL1-P1-a1)-Hfo 人 Li -P a 可得 H (c) 以上三式可写成: 式中 VA VOM为 BB(4-1)相应简支梁的有关量 H 值。 回
§4—2 三铰拱的数解法 1. 支反力的计算 支反力计算同三铰刚架。 由 ∑MB=0 及 ∑MA=0 得 VA= L Pb i i VB= L Pa i i 由 ∑X=0 可得 HA=HB=H 取左半拱为隔离体，由∑MC=0 有 VAL1－P1 (L1－a1 ) －Hf=0 可得 H= f V L P (L a ) A 1 − 1 1 − 1 （a） （b） （c） 以上三式可写成： f M H V V V V 0 C 0 B B 0 A A = = = （4－1） 式中 0 C 0 B` 0 VA` V M 为 相应简支梁的有关量 值。 → ← VA VB H A B H C f L L1 L2 a1 P1 a2 P2 b1 b2 ↑ ↑ VA 0 ↑ ↑ 0 VB A P1 B C P2 返 回
2.内力的计算 用截面法求任一截面K(xy)的内力 取AK段为隔离体,截面K的弯矩为 M=VAx-P1(x-a1一HyH B H 即M=M一Hy(内侧受拉为正)FMN B 截面K上的剪力为 Q=VACOSP-P1 COSPp-Hsin H (VA-P cos p hsinG =Q°cosφ- Hsing 截面K上的轴力(压为正)为 2 N=Qsinφ+Hcosφ Q为相应简支梁的剪力 综上所述 M=M一Hy Q=Q os p-Hsing(4-2) 返回 N-Qsinφ+Hcos
5 2. 内力的计算 用截面法求任一截面K(x,y)的内力。 y 取AK段为隔离体, 截面K的弯矩为 M=[VAx－P1 (x－a1 )] －Hy 即 M= M 0 －Hy （内侧受拉为正） 截面K上的剪力为 Q=VAcos－P1 cos －Hsin =(VA－P1 ) cos － Hsin = Q0cos － Hsin 截面K上的轴力(压为正）为 N=Q0sin + Hcos 综上所述 M= M 0 －Hy Q=Q0cos － Hsin N=Q0 sin + Hcos (4－2) K Q0为相应简支梁的剪力 → ← H A B H C a1 P P2 1 x y x A K → V↑A H VA↑ N ↑ Q M VB K 返 回
例4-1作三铰拱的内力图。拱轴为抛物线,其方程 4f 为y=2x(L-x) q=14kN/m P=50kN 解 1.先求支座反力 由式(4一1)得 L=8X1.5m=12 B VA=75.5kN↑ 75.5kN 58.5kN VB=58.5kN↑ q=14kN'm H=50.25kN→ A文 17+++V+ 2按式(4-2)计算各。° 0 B 截面的内力。为此,将拱轴沿水平方向八等分(见图), 计算各分段点的M、Q、N值。 以1截面为例:将L=12m、f=4m代入拱轴方程 得
6 x(L x) L 4f y 2 = − 解： 1. 先求支座反力 由式（4－1）得 75 5kN 12 14 6 9 50 3 V V 0 A A = + = = V↑A ↑ VB → ← ↑ ↑ 例 4－1 作三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，其方程 为 VA=75.5kN↑ 58 5kN 12 14 6 3 50 9 V V 0 B B = + = = VB=58.5kN↑ 50 25kN 4 75 5 6 14 6 3 f M H 0 C = − = = H=50.25kN→← 75.5kN 58.5kN 2. 按式（4—2）计算各 截面的内力。为此，将拱轴沿水平方向八等分（见图）， 计算各分段点的M、Q、N值。 以1截面为例：将 L=12m、f=4m 代入拱轴方程 得 1 H H 。 VA 0 VB 0 返 回
4×4 q=14kN/m y 2x(12-x)=(12-x)址 12 9 P=50kN tep= dy=2(6-x) dx 9 50.25 50.2N 代入x1=1.5m得 H y1=1. 75m tgop= L=8X15m=12m 75.5kN 58.5kN 据此可得q1=450sinq1=0.707csq1=0.707 于是由式(42)得 M1=M-11=(75:5×1:5-14×15×2)-50:25×1:75=96kNm Q1= Qr cOS (p1-Hsnq1=(755-14×1.5)×0.707-5025×0·707=3:0kN N1=Q1sinq1+ Icono1=(755-14×15)×0707+5025×0707=74-0k 返回
7 V↑A ↑ VB → ← 75.5kN 58.5kN 50.25kN 50.25kN x y o 1 2 3 4 (12 x) 9 x x(12 x) 12 4 4 y 2 − = − = (6 x) 9 2 dx dy tg = = − 代入 x1=1.5m 得 y1=1.75m tg1=1 据此可得 1=450 sin 1=0.707 cos 1=0.707 于是由式（4—2）得 ) 50 25 1 75 9 6kN m 2 1 5 M M Hy (75 5 1 5 14 1 5 1 0 1 1 − = = − = − Q Q cos 1 Hsin 1 (75 5 14 1 5) 0 707 50 25 0 707 3 0kN 0 1 1 = − = − − = N1=Q1 0 sin 1+Hcon1=(75·5－14×1·5) ×0·707+50·25×0·707=74·0kN H H 返 回
§4-3三铰拱的合理拱轴线 1.合理拱轴线的概念:拱上所有截面的弯矩都等于零, 只有轴力时,这时的拱轴线为合理拱轴线。 2.合理拱轴线的确定: 由式(4-2)的第一式得 M=Mo-Hy=0 由此得y= M (4-4) H 上式表明,三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支 梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时,只需求出相应 简支梁的弯矩方程式,除以常数H便得到合理拱轴线方 返回 程
8 §4－3 三铰拱的合理拱轴线 1.合理拱轴线的概念：拱上所有截面的弯矩都等于零， 只有轴力时，这时的拱轴线为合理拱轴线。 2.合理拱轴线的确定： 由式（4－2）的第一式 得 M=M0－Hy=0 由此得 H M y 0 = （4－4） 上式表明，三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支 梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出相应 简支梁的弯矩方程式，除以常数H便得到合理拱轴线方 程。 返 回
例4-2求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的 合理拱轴线。 解: 相应简支梁的弯矩 方程为 MOQL X X一 qx L-X 2 22 由式(4-1)得 H= f 8f c 于是由式(4-4)有 M 4f y =2X(L-x)合理拱轴线为抛物线 返回
9 例 4－2 求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的 合理拱轴线。 解： x y x 相应简支梁的弯矩 方程为 M0= qx(L x) 2 1 2 qx x 2 qL 2 − = − 由式（4－1）得 8f qL f M H 0 2 C = = 于是由式（4－4）有 x(L x) L 4f H M y 2 0 = = − 合理拱轴线为抛物线 返 回