郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十五章 结构的动力计算（15.4-5.6）

§15-4两自由度体系的自由振动 一、刚度法 D=/1-@m) k12 特征方程 k21 (k22-om, 频率方程 (k1-2m1)k2-O2m2)-k12k21=0 k k ,k k1k2-k12k2 m m2 最小圆频率称为第一(基本园频率: 第二圆频率 (1)主振型 72 21 Y II k12 k1-1m1 BY 12 ku-@,m

1 ( )( 2 ) 12 21 0 2 1 22 2 k11 − m k − m − k k = 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 m m k k k k m k m k m k m k −  −               +          = + （1）主振型 1 1 2 11 1 12 21 11 C k m k Y Y = − = −  2 1 2 11 2 12 22 12 C k m k Y Y = − = −  m1 m2 Y21 Y11 Y12 Y22 最小圆频率称为第一(基本)圆频率： 1 2——第二圆频率 0 ( ) ( ) 2 2 21 22 1 12 2 11 = − − = k k m k m k D   特征方程 频率方程 §15-4 两自由度体系的自由振动 一、刚度法

二、柔度法 D 0 21 令 2-(61m1+62m2)A+(612mm2-62621mm2)=0 A1=k61m1+2m2)√(Gm+O2m2)2-4(6 12021)1n 2 主振型 62m212 2

2 0 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 = − − =       m m m m D 令 2 1   =  1 1 2 2 1 2 2 1 1 2  2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 4( ) 2 1  =  m + m   m + m −   −  m m 2 2 1 1 1 1     = = 主振型 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1       − = − − = − m m Y Y m m Y Y 二、柔度法 ( 11 1 22 2 ) ( 11 22 1 2 12 21 1 2 ) 0 2  −  m + m  +   m m −  m m =

主振型及主振型的正交性 a, m O2m12 22 21 12 )2 m 22 第一主振型 第二主振型 由功的互等定理: (m11)Y12+(m2Y21)Y2=(mO2Y12)1+(m2O2Y2)Y21 整理得:(2-02)(m1Y1H12+m2H21Y2)=0 因a1≠O2,则存在 m112+m2Y21Y2 0…………(15.51) 两个主振型相互正交,因与质量有关,称为第一正交关系

3 三、主振型及主振型的正交性 m1 m2 1 11 2 1 mY 2 21 2 1 m Y Y11 Y21 1 12 2 2 mY 2 22 2 2 m Y 由功的互等定理： 整理得： m1 m2 Y12 Y22 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 (m Y )Y + (m  Y )Y = (m Y )Y + (m  Y )Y ( )( 1 11 12 2 21 22 ) 0 2 2 2 1 − mY Y + m Y Y = 因 1 2 ，则存在： 0 (15.51) m1 Y11Y12 +m2 Y21Y22 =  两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。 第一主振型 第二主振型

由功的互等定理: (m104Y1)12+(m2OY21)Y2=(mO2Y12)Y1+(m2O2Y2)21 m1112+m212=0…………(15.51) 上式分别乘以o12、O2,则得: (mc21)X12+(m2O2Y21)Y2=0 2 1211 +(m2O Y2,)Y 22 21 0 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零 第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功,其能量 不会转移到其它主振型上,不会引起其它主振型的振动; 各个主振型能单独存在,而不相互千扰

4 由功的互等定理： 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 (m Y )Y + (m  Y )Y = (m Y )Y + (m  Y )Y 0 (15.51) m1 Y11Y12 +m2 Y21Y22 =  上式分别乘以ω1 2 、ω2 2，则得： ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 22 21 2 12 11 2 2 2 1 2 21 22 2 11 12 2 1 2 1 1 + = + = m Y Y m Y Y m Y Y m Y Y     第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零； 第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量 不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰

§15-5两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 y2+k2y1+k2y2=P() P2(t)=Psinet po(o +kun,+ki2y2=P(t H P(t=psinet 在平稳阶段,各质点也作简诸振动:y(t)= sinet y2(t=Y, sinet (k1-62m1)1+k12Y2=B1Y1=D1D0 k21+(k22-62m2)Y2=P2Y2=D2Do k1=0m1 D1=Pk2-0m2)k122 12 k21k2- D2=P10m)k2 如果荷载频率θ与任一个自振频率 D 2重合,则D=0,当D1、D k2 22-Om 不全为零时,则出现共振现象

5 §15-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 y1 (t) y2 (t) P1 (t) P2 (t) P t P t P t P t   ( ) sin ( ) sin 2 2 1 1 = 如 = 在平稳阶段，各质点也作简谐振动： y t Y t y t Y t   ( ) sin ( ) sin 2 2 1 1 = = 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ) k Y k m Y P k m Y k Y P + − = − + =   0 2 2 21 22 1 12 2 11 = − − = k k m k m k D   Y1=D1 /D0 Y2=D2 /D0 2 2 21 22 1 12 2 11 0 k k m k m k D   − − = ( ) 2 12 2 2 D1 =P1 k22− m −k P 如果荷载频率θ与任一个自振频率 ω1、 ω2重合，则D0=0, 当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象 ( ) 1 21 1 2 D2 =P2 k11− m −k P 0 0 2 2 21 1 22 2 1 1 11 1 12 2 + + = + + = m y k y k y m y k y k y .. .. ( ) ( ) 2 1 P t P t

例:质量集中在楼层上m1、m2,层间侧移刚度为k、k2 解:荷载幅值:P=P,P2=0,求刚度系数: Ku=ktk,k lI 2-2 k12=-k2 k2 P(k2-62m2) Psinet 、D,Pk2 DQ=k+-02mnk2-02m2) k1 当 k=k2=k 2 Plk-0-m Pk 3k k Do=m2(0+---02+-,) 1-m.0 m2(62-01)-02) k )(1 k (1--2)(1--2) )(1-2) 6

6 2 2 21 22 1 12 2 11 0 k k m k m k D   − − = ( ) 2 12 2 2 D1 =P1 k22− m −k P ( ) 1 21 1 2 D2 =P2 k11− m −k P m2 m1 k2 k1 例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数： k11=k1+k2 , k21 =－k2 , k22=k2 , k12 =－k2 当m1=m2=m，k1=k2=k Psint ( ) 0 2 12 2 2 1 22 0 1 1 D P k m k P D D Y − − = =  0 2 2 2 ( ) D P k − m 0 1 21 1 2 2 11 0 2 2 ( ) D P k m k P D D Y − − = =  0 2 D Pk ( )( ) 2 2 2 2 1 2 2 0 1 2 D = k +k − m k − m −k ( ) 0 2 12 2 2 1 22 0 1 1 D P k m k P D D Y − − = = ( ) 0 2 12 2 2 1 22 D P(k − )m −k P 0 2 D P k− m ( ) 0 1 21 1 2 2 11 0 2 2 D P k m k P D D Y − − = =  D0 Pk ( )( ) 2 2 2 0 D = 2k− m k− m −k 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 m k m k = + =     2 4 2 2 m  −3k m +k ) 3 ( 2 2 2 4 2 m k m k m  −  + ( ( ) ) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 4 =m ( − )(+ ) +  2 2 2 2 1 2 2 =m  −  − (1 )(1 ) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2     =m   (1 − )(1 − ) 2 2 2 2 1 2 2 2 2     = − − m k m (1 )(1 ) 1 2 2 2 2 1 2 2 1      − − − = k m k P Y (1 )(1 ) 1 2 2 2 2 1 2 2    − − = k P Y

1-mke k(1-0021-0) k (1-02)(1-02) 20 20 6 6 0 3.0 3.0 两个质点的 -2.0 20 位移动力系 数不同。 当O=0618y%m=01和O=1618√%m=02时,和Y2趋于无穷大 可见在两个自由度体系中,在兩种情况下可能出现共振。 也有例外情况

7 1 2 1 (1 )(1 ) 1 2 2 2 2 1 2       = − − − = k m k P Y 2 2 (1 )(1 ) 1 2 2 2 2 1 2      = − − = k P Y 3.0 -2.0 -3.0 0 0.618 3.0 1.618 2.0 1.0 -1.0 k P Y1 m k  3.0 -2.0 -3.0 0 0.618 3.0 1.618 2.0 1.0 -1.0 k P Y2 m k  两个质点的 位移动力系 数不同。 当 1 2 1 2 0.618 1.618 ,Y Y m k m  = k = 和 = = 时 和 趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况

如图示对称结构在对称荷载作用下。 Psinet Psinet k1=k2,k2=k22 1/3 13 13 与a相应的振型是 12-_A12 k2-2m=k1-O2m=k12=k21 22 当0=02,D0=0,也有 对称体系在对称荷载作用下时 只有当荷载频率与对称主振型的自 D=Pk2-02m2}k,F振频率相等时才发生共振;当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相 D2=P2k1-02m)k24等时不会发生共振同理可知:对 称体系在反对称荷载作用下时,只 不会有当荷载频率与反对称主振型的自 共振振频辜相等时才发生共振

8 l/3 l/3 l/3 m m Psinθt Psinθt 如图示对称结构在对称荷载作用下。 11 22 12 21 k = k , k = k 与ω2相应的振型是 12 k 2 k11−2 m − 22 12 Y Y = =－1 12 21 2 11 2 2 22 2  k − m=k − m=k =k 当θ=ω2 ，D0=0 ，也有： ( ) 2 12 2 2 D1 =P1 k22− m −k P ( ) 1 21 1 2 D2 =P2 k11− m −k P ( ) 0 1 2 2 =P k2 2 −2 m −k P = ( ) 0 21 2 =P k11−2 m −k P= 0 2 2 0 1 1 , D D Y D D Y = = 不会趋于无穷大，不发生共振， 共振区只有一个。 对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振

荷载幅值产生的静位移和静内力 yst2P/k emy yn2=P/层间剪力:Q1=P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值 stI amy, 6 k 1 k (1-02X(1-02) Y 层间动剪力: (1-02)(1 Q1=P+0m(1+Y2) Bo=1+,"(B1+B2) P(1+,(B1+B2) k 由此可见,在多自由度体系中,没有一个统一的动力系数

9 k k P yst1 yst2 =P/k 荷载幅值产生的静位移和静内力 yst1= yst2 =P/k 层间剪力: Qst1= P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值 θ 2mY2 θ 2mY1 (1 ( )) ( ) 1 2 2 1 2 2 1     = + + = + + k m P Q P m Y Y 1 2 1 (1 )(1 ) 1 2 2 2 2 1 2       = − − − = k m k P Y 2 2 (1 )(1 ) 1 2 2 2 2 1 2      = − − = k P Y 1 ( ) 1 2 2 1     = + + k m Q 由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。 层间动剪力:

例15-9:质量集中在楼层上m、m2,层间侧移刚度为k1、k2 k1=k1+k2,k21=-k2,k22=k2,k12=-k2 =p3-6m)2= Psinet D=(k1+k2-02m1(k2-02m2)-k2 k 当k2=m202,Y1=0,D 这说明在右图结构上适当加以m2、k2系统 可以消除m的振动(动力吸振器原理)。 Psinet 设计吸振器时,先根据m的许可振幅Y2,选定 k1 ,再确定m 吸振器不能盲目设置,必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。 10

10 例15-9： m2 m1 k2 k1 质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 k11=k1+k2 , k21 =－k2 , k22=k2 , k12 =－k2 Psint ( ) 0 2 2 2 1 D P k m Y − = 0 2 2 D Pk Y = 2 2 2 2 1 2 2 0 1 2 D = (k + k − m )(k − m ) − k 2 2 2 1 0 2 2 2 2 , 0 , , k 当 k =m  Y = D =−k Y =− P m1 k1 Psint m2 k2 这说明在右图结构上，适当加以m2、k2系统 可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。 吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。 设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定 2 2 Y P k = ，再确定 2 2 2  k m =