郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十三章 矩阵位移法（13.3-13.5）

矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的两个基本步骤是 (1)结构的离散化;(2)单元分析;(3)整体分析 任务 意义 单元建立杆端力与杆端位移 用矩阵形式表示杆 分析间的刚度方程,形成单 件的转角位移方程 元刚度矩阵 整体由变形条件和平衡条件 用矩阵形式表示位 分析建立结点力与结点位移 移法基本方程 间的刚度方程,形成整 体刚度矩阵

1 一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析， 任务 意义 单元 分析 建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程 整体 分析 由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵 用矩阵形式表示位 移法基本方程

二、杆端位移、杆端力的正负号规定 般单元:指杆件除有弯曲变形外,还有轴向变形和剪切变形的单元, 杆件两端各有三个位移分量, 符号规则:图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标,局部座标的x 座标与杆轴重合;图(b)表示的杆端位移均为正方向。 EAl x单元编号 杆端编号 局部座标 11 杆端位移编号 1M1 杆端力编号

2 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量， 符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x 座标与杆轴重合； 1 2 e E A I l x y (a) 图(b)表示的杆端位移均为正方向。 单元编号 杆端编号 局部座标 1 2 1 u 1 v 1 2 2 u 2 v (b) 杆端位移编号 1 2 X1 Y1 M1 M2 X2 (c) 杆端力编号 二、杆端位移、杆端力的正负号规定 一般单元：

局部座标系中的单元刚废方程=k区 局部座标系的单元刚度矩阵 (1)(2)(3)(4)(5)(6) l=1W1=1a=12=1v2=12=1 EA EA 0 0 0 12EⅠ6EI 12EⅠ6EI (2)0 0 6EI4EⅠ (3)0 6El 2EI 0 F 只与杆件本身性质有 EA EA 4 0 0 0 关而与外荷载无关 12EⅠ-6EI 012E-6EⅠ (6) 6E 2EI -6EI 4EI

3 F  k   e e e 局部座标系中的单元刚度方程 EA l 6EI l2 6EI l2 EA l 12EI l3 12EI l3 4EI l 2EI l e k  e = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 0 0 0 0 0 0 6EI l2 0 6EI l2 0 -EA l -6EI l2 -6EI l2 EA l -12EI l3 12EI l3 2EI l 4EI l 0 0 0 0 0 0 -6EI l2 0 6EI l2 0 u1  1 1 v1  1 1  u2  1 1 v2  1  2  只与杆件本身性质有 关而与外荷载无关 局部座标系的单元刚度矩阵

§13-3单元刚度矩阵(整体座标系) 单元座标转换矩阵 正交矩阵 X x{P=[7 X 区P=门2 X )9[7y2 X cos a sin a 00 00|X1 sin a cos a 00 001 00 cosa sina OX2 Y, 00 -sin a cos a OY 座标转换矩阵 000 0

4 §13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)  x y e X1 Y1 M1 X2 x y X1 Y1 M1 X2 Y2 M2                              2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 M Y X M Y X M Y X M Y X         e e e F TF e e 座标转换矩阵 一、单元座标转换矩阵 正交矩阵 [T] -1 =[T]T F T  F T  e e   T   e e      T T ⓔ ⓔ

整体座标系中的单元刚度矩阵 k]°=[7]k[门 三、单元刚度矩阵的性质 (1)单元刚度系数的意义 代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第个杆端力分量。 2)单元刚度矩阵区°是对称矩阵,即k=k (3)一般单元的刚度矩阵|是奇异矩阵;因此它的逆矩阵不存在 从力学上的理解是,根据单元刚度方程区区P 由勾2→园e有一组力的解答(唯一的,即正问题 由P→区P如果}不是一组平衡力系则无解;若是 组平衡力系,则解答不是唯一的,即反问题

5 三、单元刚度矩阵的性质 （1）单元刚度系数的意义 ij k e —代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。 （2）单元刚度矩阵 k  是对称矩阵， e 即 ij ji k  k 。 （3）一般单元的刚度矩阵 k  是奇异矩阵； e 因此它的逆矩阵不存在 从力学上的理解是，根据单元刚度方程 F  k   e e e  F 由 e e 有一组力的解答(唯一的)，即正问题。 F  由 e e 如果 F e 不是一组平衡力系则无解；若是一 组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。 [k] = [T]T k e [T] e 二、整体座标系中的单元刚度矩阵

§13-4连续梁的 4i,A 2i,A 整体刚度矩阵① 按传统的位移法21△2 - 4l1+B)A2 2i2∧ 每个结点位 移对{F的单 4i2 独贡献 l1 传统位移法 F2}=2i141+422i2△ 根据每个结点位移 对附加约束上的约束 30224i2△3力{F的贡献大小进 {F}=[肉]{△} 行叠加而计算所得

6 §13-4 连续梁的 整体刚度矩阵 按传统的位移法 i1 i 1 2 2 1 4i11 2i11 0 i1 i 1 2 2 2 2i12 2i22 (4i1+4i2)2 i1 i 1 2 2 3 0 2i23 4i23 每个结点位 移对{F}的单 独贡献 F1 F2 F3 4i1 2i1 0 2i1 4i1+4i2 2i 0 2 2i2 4i2 1 2 3 = {F}=[K]{} 根据每个结点位移 对附加约束上的约束 力{F}的贡献大小进 行叠加而计算所得。 传统位移法

单元集成法的力学模型和基本概念 分别考虑每个单元对{F的单独贡献,整体刚度矩阵由单元直接集成 l2 F=[FOFO FS] 略去其它单元的贡献。 单元①对结点力{F的贡献 令i2=0,则F3① 4121「△1 (b) ①(-2i14i1△ 2 4i12i10 4i12i10 F ① =2i14 △△△ 2i14i10 000 000 F}{K{4} 单元①的贡献矩阵7

7 一、 单元集成法的力学模型和基本概念 分别考虑每个单元对{F}的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成 i1 i 1 2 2 1 2 3 {F} F3 1 = [ F1 1 F2 1 1 ]T F1 1 F2 1 F3 1 令 i2 =0，则 F3 1 =0 [k] = 4i1 2i1 4i1 2i 1 1 F1 1 F2 1 = 4i1 2i1 4i1 2i1 1 2 （a） （b） F1 1 F2 1 F3 1 = 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 1 2 3 1 {F} =[K] {} 1 [K] = 1 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 单元 1 的贡献矩阵 单元 1 对结点力{F}的贡献 略去其它单元的贡献

②2 ① FP=[P2F2F3JT设1=0,则F2=0 单元②对结点力{F的贡献 4i22 略去单元的贡献。 2i4i2 000 2}=04121△2[K=042 F}2=Kf2{△A} 单元②的贡献矩阵

8 i1 i 1 2 2 1 2 3 F1 2 F2 2 F3 2 [k] = 4i2 2i2 4i2 2i 2 2 F1 2 F2 2 F3 2 = 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 1 2 3 2 {F} =[K] {} 2 设 i1 =0，则 F1 2 =0 [K] = 2 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 单元  的贡献矩阵 {F} F3 2 = [ F1 2 F2 2 2 ]T 单元对结点力{F}的贡献 略去单元的贡献

F}-[K{△} F}2=Kf2{A} 10 000 K K 000 根据单元⑩和单元②分别对结点力{F的贡献,可得整体刚度方程: F}={F+{F}=([K]+[){4} F}=K]{} 整体刚度矩阵为: k=(1+x12=∑k 单元集成法求整 体刚度矩阵步骤: kP→[K][K

9 1 {F} =[K] {} 1 [K] = 1 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 2 {F} =[K] {} 2 [K] = 2 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 i1 i 1 2 2 1 2 1 2 [K]=（[K] +[K] ）= 1 2 [K] e e [k] [K] [K] e e {F}={F} +{F} =（[K] +[K] ）{} 1 2 {F}=[K]{} 整体刚度矩阵为： 单元集成法求整 体刚度矩阵步骤： 根据单元和单元分别对结点力{F}的贡献，可得整体刚度方程：

≥区]二[冈 2i14 =2141 000 2 2i14i1+422 000 4i22i211 04i22i2 02 2i24 k 2i24i 4i12 整体刚度矩阵:[K]=2h4(1+2)22 0 2 2

10 [k] [K] [K] e e 1 2 [k] = 4i1 2i1 4i1 2i 1 1 [K] = 1 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 [k] = 4i2 2i2 4i2 2i 2 2 [K] = 2 4i2 2i2 4i2 2i2 0 0 0 0 0 1 2 1 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 2i2 2i2 4i2 [K]= 4i1 2i1 4(i1+i2) 2i1 0 2i2 0 2i2 4i2 4i1+4i2 整体刚度矩阵: