§15-4两个自由度体系的自由振动 、刚度法(1)两个自由度体系 y2() 22 m2y2+0 K y1() y1( m11—K1 K Kul k12 m1i1+K1=0 K1=k1y1+k12y2 m2y2+k2=0 K=k 21 +k22 m1元y1(t)+k1y1(t)+k12y2(t)=0 m212(1)+k21y1(t)+k2y2(t)=0 两自由度体系自由振动微分方程
1 §15-4 两个自由度体系的自由振动 一、刚度法 （1）两个自由度体系 m1 m2 y1(t) y2(t) m1 m2 1 1 m y 2 2 m y K2 K1 K2 K1 y1(t) y2(t) 1 21 k 11 k 1 12 k 22 k m1y 1 K1 0 m2 y 2 K2 0 1 11 1 12 2 K k y k y 2 21 1 22 2 K k y k y ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 21 1 22 2 1 1 11 1 12 2 m y t k y t k y t m y t k y t k y t 两自由度体系自由振动微分方程
m1y1(t)+k1y1(1)+k2y2(1)=0 (t)+k21y1(t)+k2y2(1)=0 设解为y()=H1sin(ot+a) y1() 常数 V2(t)=Y2 sin(ot+a) y2(t), 1)在振动过程中,两个质点具有相同的频率和相同的相位角; 2)在振动过程中,两个质点的位移在数值上随时间而变化, 振动过程中,结构位移形状保持不变的振动形式,称为主振型。 (k1-om)+k122=01 K12 k21H1+(k2-Om2)Y2=0 当然Y=Y2=0为其解,为了求得不全为零的解,令 k1-m) 2 特征方程 0 k 2-Om2 频率方程 (k1-O2m1)(k2-O2m2)-k2k21=0
2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 21 1 22 2 1 1 11 1 12 2 m y t k y t k y t m y t k y t k y t 设解为 ( ) sin( ) ( ) sin( ) 2 2 1 1 y t Y t y t Y t 2 1 2 1 ( ) ( ) Y Y y t y t =常数 ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 21 1 22 1 1 12 2 2 11 k Y k m Y k m Y k Y 当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令 0 ( ) ( ) 2 2 21 22 1 12 2 11 k k m k m k D 特征方程 频率方程 ( )( ) 0 2 12 21 2 1 22 2 k11 m k m k k 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角； 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化， 振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式，称为主振型
(k1-O2m1)k2-o2m2)-k12k21=0 +22 ku,k22 ku 11221221 最小圆频率称为第一(基本圆频率:O1O2—第二圆频率 (1)主振型 1-m1)1+k 1212= 0 21 ku-afm, 211 (k2-03m2)Y2=0 12 k 12 Y22 ku1-ofm 由此可见: 多自由度体系如果按某个主振型自由振动,其振动形式保持 不变,此时,多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 (2)按主振型振动的条件:初位移或初速度与此振型相对应; 实际上,多自由度体系在零时刻的y或v通常不能完全与某一振型相对应
3 ( )( ) 0 2 12 21 2 1 22 2 k11 m k m k k 1 2 11 22 12 21 2 2 22 1 11 2 22 1 2 11 2 1 2 1 m m k k k k m k m k m k m k （1）主振型 1 1 2 11 1 12 21 11 C k m k Y Y 2 1 2 11 2 12 22 12 C k m k Y Y （2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应； m1 m2 Y21 Y11 Y12 Y22 ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 21 1 22 1 1 12 2 2 11 k Y k m Y k m Y k Y 最小圆频率称为第一(基本)圆频率：1 2——第二圆频率 由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持 不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应
(3)一般振动 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 y1(t)=A1sin(O1+a1)+A2Y2si(O2t+a2)多自由度体 12()=Y2sin(o1+a)+A2Y2Sin(2t+a)系自由振动 的振型分解 例7:设图示刚架横梁刚度为无限大,层间侧移刚度分别为k和 k2,试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。 k2=k2 k2 k1=k1+k2 2=-k2 k 解:(1)求频率方程中的刚度系数 k1=k1+k2k12=k21=k2k2k2
4 例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。 m1 m2 k1 k2 解：（1）求频率方程中的刚度系数 1 21 2 k k 11 1 2 k k k 1 12 2 k k 22 2 k k k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 （3）一般振动 ( ) sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) 2 2 21 1 1 2 22 2 2 1 1 11 1 1 2 12 2 2 y t A Y t A Y t y t AY t A Y t 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 多自由度体 系自由振动 的振型分解
(2)求频率k1k1+k2k12=k21=-k2k2=k2 代公式(k1-O2m1)(k2-m2m2)-k12k21=0 (k1+k2-O2m1)(k2-O2m2)-k2=0 若有m1=m2=m k k 0.38197 2.61803 K,=k2=k 1.61803 k O,=0.61803 (3)求主振型 1.618 ●0.618 K12 Yr k 1.0 1.0 2k-0.38197k1.618 Y12 k ,2k-2618030618 第1振型 第2振型
5 m k m k 0.38197 2.61803 2 2 2 1 m k m k 0.61803 1.61803 1 2 （3）求主振型 1.618 1 2 0.38197 : 1 2 11 1 12 21 11 1 k k k k m k Y Y 0.618 1 2 2.61803 : 22 12 2 k k k Y Y 1.618 1.0 1.0 0.618 第1振型 第2振型 （2）求频率 ( )( ) 0 2 2 2 2 1 2 2 k1 k2 m k m k ( )( ) 0 2 12 21 2 1 22 2 k11 m k m k k k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 代公式 若有 k k k m m m 1 2 1 2
(2)求频率(k1+k2-o3m)(k2-2m2)-k2=0 若有m1=mm2[(n+1)k2-02mm2](k2-Om2)-k2=0 k,=nk, 4,1k O (2+)千1++ (3)求主振型 k, 12 10 ,n+ 41 22 12 2 n+ 12 2-O2m2 若n=90则第一振型和第二振型分别为: 可见当顶端质点的质量和刚度很小时,顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中,将这种因顶端质点质量和刚度突变,而导致顶端巨 大反应的现象,称为鞭梢效应 如:屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间,女儿墙或屋顶建筑物等。6
6 2 2 2 2 2 1 4 1 ) 1 (2 2 1 m k n n n （3）求主振型 2 2 22 1 12 11 21 1 : k m k Y Y （2）求频率( )( ) 0 2 2 2 2 1 2 2 k1 k2 m k m k 若有 1 2 1 2 k n k m nm [( 1) ]( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 n k2 nm k m k 4 1 2 1 n 2 2 22 2 12 12 22 2 : k m k Y Y 4 1 2 1 n 若 n=90 则第一振型和第二振型分别为： 1 10 1 9 可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨 大反应的现象，称为鞭梢效应。 如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等
二、柔度法 在自由振动过程中任意时刻t,质量m1、 m2129均()m2的位移y1(0、n2(0)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。 m人y(0y(t)=-mi()61-m212(2)2 y2(1)=-m1j1(1)21-m212(62 设解为y1(t)=Y1Sin(Ot+a) y2(t)=Y2 sin(ot+a 此时惯性力 幅值 m, 1()=m, oY, sin (ot+a) om.Y m,y,(t)=m,oY, sin(at +a o m,I2 =(0m21)61+(o3m2y2)2主振型的位移幅值等于主 Y2=(OmY1)621+(o2m2Y2)O2 振型惯性力幅值作用下产 生的静力位移
7 二、 柔度法 m1 m2 y1(t) y2(t) 2 2 m y 1 1 m y 1 1 1 11 2 2 12 y (t) m y (t) m y (t) 2 1 1 21 2 2 22 y (t) m y (t) m y (t) 设解为 ( ) sin( ) ( ) sin( ) 2 2 1 1 y t Y t y t Y t 此时惯性力 ( ) sin( ) ( ) sin( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 m y t m Y t m y t m Y t 幅值 2 2 2 1 1 2 m Y m Y 2 2 12 2 1 1 11 2 1 Y ( m Y ) ( m Y ) 2 2 22 2 1 1 21 2 2 Y ( m Y ) ( m Y ) 在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、 m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。 主振型的位移幅值等于主 振型惯性力幅值作用下产 生的静力位移
m2;- Y2Y1=(O2mnY1)1+(om2Y2)2 2mx-mnx12=(0m)21+(m2)2令 寻不全 11 D 0令 x2-(1m1+2m2)+(O1O2m1m2-12021mm2)=0 1m1+62m2)±VG1m1+62m2)2-4(162-O12821)mm2 2 主振型1 21 11
8 m1 m2 Y1 Y2 2 2 2 m Y 1 1 2 m Y ) 0 1 ( ) 0 1 ( 21 1 1 22 2 2 2 11 1 2 1 12 2 2 m Y m Y m Y m Y 当然解 Y1=Y2=0， 为了求得不全 为零的解，令 0 1 1 21 1 22 2 2 11 1 2 12 2 m m m m D 令 2 1 ( 11 1 22 2 ) ( 11 22 1 2 12 21 1 2 ) 0 2 m m m m m m 11 22 12 21 1 2 2 11 1 22 2 11 1 22 2 2 1 ( ) ( ) 4( ) 2 1 m m m m m m 2 2 1 1 1 1 主振型 2 2 11 1 12 2 22 12 2 1 11 1 12 2 21 11 1 1 m m Y Y m m Y Y 2 2 12 2 1 1 11 2 1 Y ( m Y ) ( m Y ) 2 2 22 2 1 1 21 2 2 Y ( m Y ) ( m Y )
例9试求图示梁的自振频率和主振型,梁的E/已知。 解:(1)计算频率 2 ai=n, a2 a E 4ED a2 6El El El mUE m=09671 2=3203 (2)振型 11 0.5a 2 0.277X2,361 0.277 第一振型 第二振型
9 0.5a 例9. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。 1 2 a a a m m 解：（1）计算频率 1 a M1 1 M2 EI a EI a EI a 6 , 4 , 3 22 3 12 21 3 11 1 3 2 3 0.967 3.203 ma EI ma EI （2）振型 3.61 1 0.277 1 22 12 21 11 Y Y Y Y 1 0.277 1 3.61 第一振型 第二振型
、主振型及主振型的正交性 Y22 O m 由功的互等定理: (mO2H1)K12+(m2O2y21)Y2=(mo2Y12)Y1+(m2O2Y2)Y2 整理得: )(m1112+m2Y21Y2)=0 因O1≠02 则存在: mi 1112 +ml2121 12 =0 (15.51) 两个主振型相互正交,因与质量有关,称为第一正交关系
10 三、主振型及主振型的正交性 m1 m2 1 11 2 1 m Y 2 11 2 1 m Y Y11 Y21 1 12 2 2m Y 2 22 2 2m Y 由功的互等定理： 整理得： m1 m2 Y12 Y22 22 21 2 12 11 2 2 2 21 22 1 2 2 11 12 2 1 2 1 1 (m Y )Y (m Y )Y (m Y )Y (m Y )Y ( )( ) 0 1 11 12 2 21 22 2 2 2 1 m Y Y m Y Y 因 1 2 ，则存在： 0 (15.51) m1Y11Y12 m2Y21Y22 两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系