郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十三章 矩阵位移法（13.6-13.9）

§13-6等效结点荷载 结构体系刚度方程: {F}=[K]{4}…(1) 表示结点位移{和结点力{F之间的关系,反映了结构的刚度性质,而 不涉及原结构上作用的实际荷载,并不是原结构的位移法基本方程。 位移法基本方程 k11+k12A Ku.4.+F Iny IP k,141+k2,+ +F nanp kn141+kn242+ +k nn- n +InP [K]{A}+{Fp}={0} (2) 将(1)式代入(2)式:{F}+{F}={0} (3) 基本体系在结点位移单独作 基本体系在荷载单独作用下 用下产生的结点约束力。 生的结点约束力

1 §13-6 等效结点荷载 结构体系刚度方程： {F}= [K]{} ………………(1) 一、位移法基本方程        k11 1+ k12 2+ · · · · · · · · · ·+ k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 +· · · · · · · · · ·+ k2n n+F2P=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · kn1 1+ kn2 2+· · · · · · · · · ·+ knn n+FnP=0 [K]{} +{FP} ={0} …………...………(2) 将(1)式代入(2)式： {F} +{FP} ={0} …………..………(3) 表示结点位移{}和结点力{F}之间的关系，反映了结构的刚度性质，而 不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。 基本体系在荷载单独作用下 产生的结点约束力。 基本体系在结点位移单独作 用下产生的结点约束力

[K]{A}={F} P 二、等效结点荷载的概念 原荷载 等效结点荷载{P} 结点结束力—{F} 结点结束力—{F} 显然{P}={F}…解决了计算等效结点荷载的问题 等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力

2 二、 等效结点荷载的概念 结点结束力——{FP } 结点结束力——{FP } 原荷载 等效结点荷载{P} 显然 {P}=–{FP }………解决了计算等效结点荷载的问题 等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力 [K]{} = {F} {FP} = +

(1)局部座标单元的等效结点荷盐P 、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载{P} Fp[X M, Xn y M i Pe=Fp (2)整体座标单元的等效结点荷载{P}e (3)结构的等效结点荷载{P}

3 三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载{P} (1)局部座标单元的等效结点荷载{P} e e     T FP = XP1 YP1 MP1 XP2 YP2 MP2 e {P} e = −FP  e (2)整体座标单元的等效结点荷载{P} e P T  P T = e e (3) 结构的等效结点荷载{P} x y

4.8kN/ 4 Xn,=0 Xn,=0 Rx单元1 12 12 PI 10 Xa=0 8k X 单元2:1=4 P2 4 B 5 0 0 0 12 4 10 0 0 0 12 4 2 10 10 4 0+4 4 2|12+0 12 3 90 10 10

4      − = − = 10 120 10 120 P FP 1 1 1 2 x y 1 2 3 4 8kN 4.8kN/m AB C 5m 2.5m 2.5m 单元1:  = − = − = 10 12 0 1 1 1 PPP MYX  == − = 10 12 0 2 2 2 PPP MYX 单元2:  === 540 111PPP MYX  = − == 540 222 PPP MYX  2 = 90     = 400321  1     = 000321  2   =   = 0000 4321 P 12 10-10 +4 +0-5    −−− = 10 120 10 120 FP 1    − = 540540 FP 2        − = − = 504504 P T P T F 2 2 2  −105 124

813-7计算步骤和算例开始 程序设 原始数据、局部码、总码 计框图 端力万 (Pi 求单元常数 单元刚度 矩阵[kje [ {} 解方程{}={P} 求出结点位移{A} 求杆端力 P=区体+ 结束 [K]{A}={F}{Fp}

5 [K] 求单元常数 {} [T] {P} 原始数据、局部码、总码 解方程[K]{}={P} 求出结点位移 {} 开始 单元刚度 矩阵 k e 单元固 端力 FP  e 结束 §13-7 计算步骤和算例 [K]{} = {F} {FP} + = 程序设 计框图 求杆端力 F = k   +FP  e e e e

例求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面,横梁b2xh2=0.5m×126m,立柱 b1h1=0.5m×1m。 (1)原始数据、局部码、总码(设E=1)2 小3 A 4 B D 12m 柱4=05m2,l 1=6m, E/1 3 EA =694×103, =83.3×10 2B1=139×103.4B1=278×103.6B1=694x10 312El1=231×103 梁A2=063m2,l2 12=12m2 E 52.5×10 =694×10-3 2B2=139×1034B2 278×103,0 3.47×10 312E/2 =0.58×10 6

6 例. 求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b2×h2=0.5m ×1.26m，立柱 b1 ×h1=0.5m ×1m。 （1）原始数据、局部码、总码（设E=1） 3 1 3 1 1 1 1 4 1 2 1 , 6 , 6.94 10 , 83.3 10 24 1 0.5 , − − = = = =  =  l EA l EI A m I m l m 12m 6m A B q=1kN/m C D 3 3 1 3 1 2 1 3 1 1 3 1 1 1 2.31 10 12 6.94 10 , 6 27.8 10 , 4 13.9 10 , 2 − − − − =  =  =  =  l EI l EI l EI l EI A B C D 1 2 x 3 y 1 3 4 2 5 6 {0} {0} 柱 梁 3 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 , 12 , 52.5 10 , 6.94 10 12 1 0.63 , − − = = = =  =  l EI l EA A m I m l m 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 0.58 10 12 3.47 10 , 6 27.8 10 , 4 13.9 10 , 2 − − − − =  =  =  =  l EI l EI l EI l EI

(2)形成局部座标系中的单元刚度矩阵k° 单元1和3 83.3 0 83.30 0 2.316.94 2.316.94 6.9427.8 0-69413.9 103× 83.30 0 83.3 0 0 2.31-6.940 31-6.94 06.9413.90 6.9427.8 52.5 52.50 0 单元2[k=103× 00 0.583.470 0.58347 3472780 34713.9 52.50 52.5 0.58-3.4700.58-3.47 0 34713.90 34727.8 (3)计算整体座标系中的单元刚度矩阵[° k]=[7[k°[ 8

8 （2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵 k e 单元1和3 =10-3×                   − − − − − − − − 0 6.94 13.9 0 6.94 27.8 0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 83.3 0 0 83.3 0 0 0 6.94 27.8 0 6.94 13.9 0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 83.3 0 0 83.3 0 0 =10-3×                   − − − − − − − − 0 3.47 13.9 0 3.47 27.8 0 0.58 3.47 0 0.58 3.47 52.5 0 0 52.5 0 0 0 3.47 27.8 0 3.47 13.9 0 0.58 3.47 0 0.58 3.47 52.5 0 0 52.5 0 0 单元2 （3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵 e [k] [k] = [T] T k e [T] e 2 [k] – 1 [k] = – 3 [k] –

0000 单元1和3 100000 的座标转换 00 矩阵[7 000 000010 (=900) 000-100 00000 2.31 694-2.310 6.94 083.30 83.30 的2==1=0×210.6012-928 94027.8694 13.9 6.94 3.30 6940139694 单元2(α=0°) 5250 52.50 00.583470-058347 KP=[kP=103×0 347278 34713.9 2.50 0-0.58-3470058347 034713:903479278

9 单元1和3 的座标转换 矩阵 （=900）                     − − = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 T 1 [k] = =10 [k] = [T] T k -3× 1 [T] 3                   − − − − − − − − 6.94 0 13.9 6.94 0 27.8 0 83.3 0 0 833 0 2.31 0 6.94 2.31 0 6.94 6.94 0 27.8 6.94 0 13.9 0 83.3 0 0 83.3 0 2.31 0 6.94 2.31 0 6.94 单元2 （=0°） 2 [k] k 2 = =10-3×                   − − − − − − − − 0 3.47 13.9 0 3.47 27.8 0 0.58 3.47 0 0.58 3.47 52.5 0 0 52.5 0 0 0 3.47 27.8 0 3.47 13.9 0 0.58 3.47 0 0.58 3.47 52.5 0 0 52.5 0 0

(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵K x=p23000 B 2345 5600 54.810 694-52.50 083883470-0.58347 k/~694347560-347139 10 -52.50 054810 6.94 0-0.58-347083.88-347 03.47139-694347556

10 (4)用单元集成法形成整体刚度矩阵[K] A B C D 1 2 x 3 y 1 3 4 2 5 6 {0} {0}     T  = 1 2 3 4 5 6 2     T  = 1 2 3 0 0 0 1     T  = 4 5 6 0 0 0 3   3 10 0 3.47 13.9 6.94 3.47 55.6 0 0.58 3.47 0 83.88 3.47 52.5 0 0 54.81 0 6.94 6.94 3.47 55.6 0 3.47 13.9 0 83.88 3.47 0 0.58 3.47 54.81 0 6.94 52.5 0 0 −                    − − − − − − − − − − − − K =

(5)求等效结点荷载{P} 3 B B 12m 单元1 0-100000 单元固端约束力 (=90°) 1000003 p-四园 10003 0 0000-1010 1003 00000 303 按单元定位向量一 000

11 （ 5）求等效结点荷载 { P } 12m 6m A B q=1kN/m C D A B C D 1 2 x 3 y 1 3 4 2 5 6 {0} {0}    − = 330330 FP 1 单元固端约束力 单元1 （ =90 ° ）        − =  −   − − = − = − 303303 330330 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 P T P T F 1 1 1 按单元定位向量     = 000321  1    − = 000303 P