第三章 静定梁
第三章 静 定 梁
主要任务:要求灵活运用隔离体的平衡条件,熟练掌握静定 梁内力图的作法。 分析方法:按构造特点将结构拆成杆单元,把结构的受力分析 问题转化为杆件的受力分析问题。 §3-1单跨静定梁的内力分析 截面上内力符号的规定: 轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的 N合力,使杆产生伸长变形为正,画轴力图 要注明正负号; 剪力一截面上应力沿杆轴法线方向的 Q 合力,使杆微段有顺时针方向转动趋势的 为正,画剪力图要注明正负号; 弯矩—截面上应力对截面形心的力矩 M之和,不规定正负号。弯矩图画在杆件受 拉一侧,不注符号
主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定 梁内力图的作法。 分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析 问题转化为杆件的受力分析问题。 §3-1 单跨静定梁的内力分析 一、截面上内力符号的规定： 轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的 合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图 要注明正负号； 剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的 合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的 为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩—截面上应力对截面形心的力矩 之和, 不规定正负号。弯矩图画在杆件受 拉一侧，不注符号。 N N Q Q M M
用截面法求指定截面内力 计算如图所示结构截面1的内力 先计算左截面的内力,可取截面1以左 2Pa a隔离体进行分析 P 根据静力平衡条件求截面未知力 1.5c 1.5a ∑x=0N2=P ∑y=0Q2+P=0∴Q ∑M1=0M1+P×1.5a=0∴M1=-1.5Pa 计算右截面的内力也可取截面1以左隔 +NI 离体进行分析。在这个隔离体上有集 1.5a 中力矩2Pa,三个未知力为: Q ∑x=0N=P 2P ∑y=0Q+P=0Q=-P N 1.5c P ∑M1=0M1-2Pa+P×1.5a=0 Q ∴M1=0.5P
二、用截面法求指定截面内力 先计算左截面的内力，可取截面1以左 隔离体进行分析。 P P P P 1.5a M Z 1 N Z 1 Q Z 1 x N P Z 0 1 y Q P Q P Z Z 0 1 0 1 M M P a M Pa Z Z 1 0 1 1.5 0 1 1.5 M U 1 N U 1 Q U 1 2Pa 计算右截面的内力,也可取截面1以左隔 离体进行分析。在这个隔离体上有集 中力矩 2Pa，三个未知力为： x N P U 0 1 y Q P Q P U U 0 1 0 1 M Pa M M Pa P a U U 0.5 0 2 1.5 0 1 1 1 P 2Pa 1 a 1.5a 1.5a P 计算如图所示结构截面 1 的内力 P P 1.5a 根据静力平衡条件求截面未知力：
计算截面2的内力 现取截面2左边的隔离体进行 2P 分析,根据三个平衡条件就可得出 截面2上的三个未知力: 1.5a 1.5a P也可取截面2右边隔离体计算 P 2 1.5a 1.5a P M=-Pa 计算截面3的内力 N2=0 23=P, 此时应取截面3以上的隔离体进行 分析比较简单 N
M a 2 N2 Q2 a P 1.5a 1.5a 2Pa P P P 1 2 3 (a) P P 1.5a (d) 1.5a 2 2Pa P N2 M 2 Q2 . , , 2 2 2 M Pa Q P N P N3 P a P Q3 M 3 现取截面 2 左边的隔离体进行 分析，根据三个平衡条件就可得出 截面 2 上的三个未知力： 此时应取截面 3 以上的隔离体进行 分析比较简单。 . , 0, 3 3 3 M Pa Q P N 计算截面 2 的内力 也可取截面 2 右边隔离体计算 计算截面 3 的内力
、荷载、内力之间的关系(平衡条件的几种表达方式) 水平杆件下侧 q (1)微分关系d 受拉为正 q x 竖向杆件右侧 受拉为正 d q dM M+dm M+△M x vvvF M (2)增量关系△Q=-P kdx yo+do (3)积分关系由dQ=-qdx q() MB 9(x 由dM=Qdx Q a=M+∫o
三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式） q(x) d x Q Q+dQ M M+dM （1）微分关系 q dx dQ Q dx dM q dx d M 2 q 2 d x （2）增量关系 Q Q+Q M M+M d x P m Q P M m （3）积分关系 q(x) QA QB MA MB 由d Q = – q·dx B A x x QB QA q(x) dx 由d M = Q·dx B A x x MB M A Q(x) dx 水平杆件下侧 受拉为正； 竖向杆件右侧 受拉为正
几种典型弯矩图和剪力图 P q 多b 1/2 1/2 1/2 1/2 屾HI llllll ITT ql m Pl 1、集中荷载作用点 2、集中力矩作用点 3、均布荷载作用段 M图有一夹角,荷载向M图有一突变,力矩M图为抛物线,荷载向 下夹角亦向下; 为顺时针向下突变;下曲线亦向下凸 Q图有一突变,荷载向Q图没有变化。 Q图为斜直线,荷载向 下突变亦向下。 下直线由左向右下斜
几种典型弯矩图和剪力图 l /2 l /2 m l /2 l /2 P l q 2 P 2 P l m 2 ql 2 ql 4 Pl 2 m 2 m 8 2 ql 1、集中荷载作用点 M图有一夹角，荷载向 下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载向 下突变亦向下。 2、集中力矩作用点 M图有一突变，力矩 为顺时针向下突变； Q 图没有变化。 3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸； Q 图为斜直线，荷载向 下直线由左向右下斜
§3-2分段叠加法作弯矩图 M MB 象 A B 分段叠加法的理论依据: B 假定:在外荷载作用下,结构 A 构件材料均处于线弹性阶段。 图中:OA段即为线弹性阶段 AB段为非线性弹性阶段 O M M=M+M
§3-2 分段叠加法作弯矩图 YA YB MA MB q M + q P A B q MB NA YA YB NB MA MA MB YA YB q MB MA M M M M M MB MA MA M MB M M 分段叠加法的理论依据： 假定：在外荷载作用下，结构 构件材料均处于线弹性阶段。 A B O 图中：OA段即为线弹性阶段 AB段为非线性弹性阶段
4kN m 4kN 8kN.m 2kN/m 3m a 3m 3 h (1)集中荷载作用下 (1)悬臂段分布荷载作用下 4kNm 6kN.m (2)跨中集中力偶作用下 (2)集中力偶作用下 4kNm 4kN m 2kN m 4kN'm (3)叠加得弯矩图 (3)叠加得弯矩图 4kNm E.m 4kN.m 4kN m 2kN m LuL
3m 3m 4kN·m 4kN 4kN·m 4kN·m 2kN·m 4kN·m 6kN·m 3m 3m 8kN·m 2kN/m 4kN·m 2kN·m 4kN·m 4kN·m 6kN·m 4kN·m 2kN·m （1）集中荷载作用下 （2）集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图 （1）悬臂段分布荷载作用下 （2）跨中集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图
分段叠加法作弯矩图的方法: (1)选定外力的不连续点(集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的 始点和终点)为控制截面,首先计算控制截面的弯矩值 (2)分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时,弯矩图为连接控制截面弯 矩值的直线;当控制截面间存在荷载时,弯矩图应在控制截面弯矩值作出的 直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。 例:利用叠加法求作图示梁结构的内力图。 分析]该梁为简支梁,弯矩控制截 P=8kN 面为:C、D、F、G 9=4 kN/mm=16kNm B 叠加法求作弯矩图的关键是1CDEF 计算控制截面位置的弯矩值 Im Im 2m2m Im lm 解:(1)先计算支座反力 (2)求控制截面弯矩值 R=17KN R=7KN 取AC部分为隔离体,可计算得:MC=17×1=17kN 取GB部分为隔离体,可计算得:M′=7×1=7kN
分段叠加法作弯矩图的方法： （1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的 始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值； （2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯 矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的 直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。 1m 1m 2m 2m 1m 1m q=4 kN/m A B C P=8kN m=16kN.m D E F G 例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。 [分析] 该梁为简支梁，弯矩控制截 面为：C、D、F、G 叠加法求作弯矩图的关键是 计算控制截面位置的弯矩值 解：（1）先计算支座反力 RA 17 kN 7 （2）求控制截面弯矩值 RB kN 取AC部分为隔离体，可计算得： 取GB部分为隔离体，可计算得： MC 171 17kN 7 1 7 r M G kN
P=8kN g=4 kN/mm=16kNm Qc=17 B MC=17 CD E FG Im 2 P=8KN A D D FG B 象 4 26 23 B G=-7 30 M=7 QG7 M图(kNm) 17 G OKN m 9 B : B 8 CD 7 Q图(kN)
1m 1m 2m 2m 1m 1m q=4 kN/m A B C P=8kN m=16kN.m D E F G A C D E F G B A B C D E F G 17 A C l QC MC 17 17 C l C M Q 17 13 P=8kN A D m=16kN.m G B 4 26 7 G B QG r MG 7 7 r G G M Q 7 8 23 15 30 8 M图（kN.m） 17 9 7 + _ Q图（kN）